《概率论与数理统计教程》沈恒范著-期末复习重点

《概率论与数理统计教程》期末复习提要

第一章随机事务与概率

1.事务的关系AuBAuBABA-BAAB=(/)

2.运算规则(I)A\JB=B\JAAB=BA

(2)(AU3)DC=AU(8DC)(AB)C=A(BC)

(3)(AD8)C=(A058O(AB)UC=(AUC)(BUC)

(4)A'UB=ABAB=B

3.概率P(4)满意的三条公理及性质:

(I)O<P(A)<1(2)P(Q)=1

(3)对互不相容的事务人,…,A〃，有P(〔jAD=fP(A«)(〃可以取oo)

k=\t=l

(4)尸3)=0(5)P(7)=1-P(A)

(6)P(A-B)=P(A)-P(AB)^AuB》"P(B-A)=P(B)—P(A),P(A)<P(B)

(7)P(AuB)=P(A)+P(B)-P(AB)

(8)uBoC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(AB。

4.古典概型：基本领件有限且等可能

5.几何概率

6.条件概率

(1)定义：若P(B)>0,则P(A|B)=曳"

尸(3)

(2)乘法公式：P[AB)=P(B)P(A\B)

若5,当,…凡为完备事务如.P(用)>0•则有

(3)全概率公式：P(A)=tp(g)P(A|8j)

r=l

(4)Bayes公式：P(Bk\A)='()/(*与)

2P(B)P(A\B，)

<=i

7.事务的独立性：A,B独立oP(Ab)=P(A)P(B)(留意独立性的应用)

其次章随机变量及其分布

I.离散随机变量：取有限或可列个值，2乂=西)=/乙满意(1)pf>0,(2)W>，=l

I

(3)对随意OuH,P(XED)=

i-.x^D

2.连续随机变量：具有概率密度函数/*),满意(1)/(x)>0,f(x)dx=1；

rb

(2)P(a<X<b)=[f(x)dx；(3)对随意awR,P(X=a)=0

3.几个常用随机变量

名称与记号分布列或密度数学期望方差

两点分布B(l,p)P(X=1)=p,P(X=0)=^=1—/?ppq

二项式分布p)p(x=k)=C：p、"i,k=0,12…明npnpq

乃

Poisson分布P(A)P(X=Q=e〃下火=0,1,2,…22

J_q

几何分布G(p)p(X=k)=q"'p,k=l,2,…>)

Pp~

f(x)=-5—,a<x<b,a+b

匀称分布U(a,〃)

h-a212

11

指数分布4%)/(x)=Q弋x>0

T不

i一(a―

正态分布N(4«2)a2

4.分布函数F(x)=P(X<x),具有以下性质

(1)尸(-oo)=0,F(+x))=l；(2)单调非降；(3)右连续；

(4)P(a<X<b)=F{b)-F(a),特殊P(X>a)=1-尸(a)；

(5)对离散随机变量，"X)=ZP，；

i:x(<x

(6)对连续随机变量，/(工)=[]/(/)力为连续函数，且在/(x)连续点上，F(x)=f(x)

5.正态分布的概率计算以中(幻记标准正态分布N(0,l)的分布函数，则有

(1)0(0)=0.5；(2)①(一幻=1一①")；(3)若乂~N3b2),则/⑶二①(上当;

a

（4）以〃〃记标准正态分布N（O,1）的上侧a分位数，则尸（X>（）=a=l-①（%）

6.随机变量的函数Y=g（X）

（1）离散时，求y的值，将相同的概率相加；

（2）X连续，g（x）在X的取值范围内严格单调，且有一阶连续导数，则

4（y）=/x（gT（y））l（gT。））），若不单调，先求分布函数，再求导。

第三章随机向量

I.二维离散随机向量，联合分布列尸（x=x,,y=），,•）=〃『边缘分布列

P(X=演)=必，P[Y=y})=/%有

(1)PgNO：(2)Z%=1；⑶Pi=EPij'Pj=£Pij

ijJi

2.二维连续随机向量，联合密度/(x,)，)，边缘密度/x(x),/y(y),有

(1)/(x,y)>0；(2)匚匚八")=1；⑶P((X,Y)eG)=jjGf(x,y)dxdy：

(4)fxM=rf(x,y)dy,fY(y)=Vf(x,y)dx

•*-<OJ-30

3.二维匀称分布/*,），）=；词'O'）'）£G,其中机（G）为G的面积

0,其它

4.二维正态分布（X,y）〜其密度函数（牢记五个参数的含义）

/（X,y）=—Jw导』口21-2/~2一+上算

且X~N（〃],b；）,Y〜旦（4。；）；

5.二维随机向量的分布函数b（x,），）=P（XWx,yWy）有

<1）关于X,），单调非降；（2）关于X,），右连续；

（3）/（乂-00）=F（-co,y）=F（-oo,-oo）=0；

(4)F(+oo,+oo)=1,F(X,-K»)=Fx(x),F(+oc,y)=FY(y)；

(5)P(M<X<x2,y]<YW%)=/"2，>2)一£(修，必)一尸。2，%)+尸(内，)'1)；

(6)对二维连续随机向量，

oxdy

6.随机变量的独立性工,丫独立0斤。,)，)=&(幻居，6，)

(1)离散时X,Y独立<=>Pij=p,.p.j

(2)连续时X,y独立=以x,y)=fxMfY(y)

(3)二维正态分布x,y独立。夕=0,且X+Y~N(〃|

7.随机变量的函数分布

(I)和的分布Z=X+y的密度fz⑶=匚/(Z-y,y)dy=匚f(x,z-x)dx

(2)最大最小分布

第四章随机变量的数字特征

1.期望

(1)离散时E(X)=£XR,E(g(X))=Zg(xJPi；

ii

⑵连续时E(X)=jxf(x)dx,E(g(X))=£g(x)f(x)dx：

(3)二维时E(g(X,r))=Zg@"j)P〃E(g(X"»=OZS^y)f[x,y)dxdy

i，j88

(4)E(C)=C；(5)E(CX)=CE(X)；

(6)E(X+y)=E(X)+E(K)；

(7)X,y独立时，E(XY)=E(X)E(Y)

2.方差

(1)方差D(X)=E(X-E(X)y=E(X2)-(EX)?,标准差cr(X)=JO(X)；

(2)O(C)=0,D(X+C)=D(X)；

(3)D(CX)=C2D(X)；

(4)x,y独立时,D(x+y)=D(x)+zxn

3.协方差

(1)o?v(x,r)=E[(x-E(x))(y-E(y))]=E(XY)-E(X)E(Y)；

(2)Cov(X,Y)=Cov(Y,X),Cov(aXybY)=abCov(X9Y)；

(3)Cov(X[+X2,K)=Cov(Xx,K)+Cov(X2,Y)；

<4)Cn，(X,y)=0时，称X,y不相关，独立n不相关，反之不成立，但正态时等价;

(5)D(X+Y)=D(X)+EXY)+2Cbv(X,Y)

Cov(Xy)

=

4.相关系数PXY；有IPXYI-1»IPXYl1O9仇P(Y=aX+A)=1

o-iX)cr(y)

5.k阶原点矩/=E(X"),k阶中心矩〃人.二E(X—E(X))«

第五章大数定律与中心极限定理

1.Chebyshev不等式P||X-E(X)|>^)<^^或尸｛|X-七(X)|<021-四£2

8~£

2.大数定律

3.中心极限定理

(1)设随机变量看,乂2,…，X”独立同分布E(XJ=〃，Q(Xj)=/,则

”2XXjfR

Yx,~%(伙,〃。2),或L之Xj~N(〃,J)或------N(0,l),

白‘近似'"〃占'近似3九Mo近似

(2)设机是〃次独立重复试验中4发生的次数，P(A)=p,则对随意x,有

limp｛牛丝<X｝=O(x)或理解为若X~8(〃,〃)，则X~N(np,npq)

"f°yjnpq近似

第六章样本及抽样分布

1.总体、样本

(1)简洁随机样本：即独立同分布于总体的分布(留意样本分布的求法)；

(2)样本数字特征：

_1〃__-.2

样本均值X=-YXi(E(X)=//,D(X)=—)；

〃z-i〃

样本方差52=—^(X,-X)2(E(S2)=(y2)样本标准差

Ak

样本攵阶原点矩乙=-Yx,',样本攵阶中心矩外=-y(xz-X)

〃Z=1〃汩

2.统计量：样本的函数且不包含任何未知数

3.三个常用分布(留意它们的密度函数形态及分位点定义)

(I)%?分布??=X：+X；+…+X：~%2(〃)，其中X1,乂2,…，X”独立同分布于标

准正态分布N(0』)，若*~~七2(%)且独立，则X|丫~力2(勺|%)；

X

(2)/分布t=^=-t(n),其中X〜N(O,1),y~227(〃)且独立;

（3）口分布F=N~"S，）,其中X~%2（/）,丫~力2（%）且独立，有下面的

Y/n2

性质产%（々，〃2）二不一~~；

4.正态总体的抽样分布

（1）X~N（〃,CT2/〃）；（2）二£（Xj-〃）2〜/（〃）；

（3）"L?S〜/（〃—］）且与官独立;（4）［=上苔〜f（〃一1）：

bS/J〃

⑸,=（5/）-（〃「/）尸〜2）,s］=5T）S；+（〃「闾

S“V々+〃2~々+%-2

，

72

（6）/=4^-F（M,-1,M2-1）

第七章参数估计

1.矩估计：

（1）依据参数个数求总体的矩；（2）令总体的矩等于样本的矩；（3）解方程求出矩估计

2.极大似然估计：

（1）写出极大似然函数；（2）求对数极大似然困数（3）求导数或偏导数；（4）令导数或偏

导数为0,解出极大似然伍计（如无解回到（1）干脆求最大值，一