湖南省湘潭市益智中学2025－2026学年九年级上学期期中考试数学试卷（含解析）

答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页湖南省湘潭市益智中学2025－2026学年九年级上学期期中考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列函数中，y是关于x的反比例函数的是（

）A． B． C． D．2．在下列四组线段中，成比例线段的是（）A．3、4、5、6 B．5、15、2、6 C．4、8、3、5 D．8、4、1、33．某闭合电路中，电源的电压为定值，电流与电阻成反比例．如图所示的是该电路中电流与电阻之间的函数关系的图象，则用电阻表示电流的函数解析式为（

）A． B． C． D．4．如图，已知，且，则（

）A． B． C． D．5．用配方法解一元二次方程，此方程可变形为（

）A． B．C． D．6．若点，，都在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系是（

）A． B．C． D．7．某市2019年财政总收入为60亿元，2021年财政总收入达80亿元，若平均每年的增长率为x，则可以列出方程为（

）A． B．C． D．8．若线段，点是线段的黄金分割点，且，则的长为（）A． B． C． D．9．已知正比例函数和反比例函数，在同一直角坐标系下的图象如图所示，其中符合的是（

）A．①② B．①④ C．②③ D．③④10．如图，四边形OABF中，∠OAB＝∠B＝90°，点A在x轴上，双曲线过点F，交AB于点E，连接EF．若，S△BEF＝4，则k的值为（）A．6 B．8 C．12 D．16二、填空题11．已知，则．12．在比例尺为的地图上，相距的A，B两地的实际距离是．13．将方程化为一般形式为.14．已知关于x的一元二次方程的一个根是，则．15．同一坐标系下双曲线y与直线ykx一个交点为坐标为3,1，则它们另一个交点为坐标为．16．设m，n分别为一元二次方程的两个实数根，则．17．如图，已知，直线与直线分别交，，于点A，B，C和点D，E，F．若，，则的长为．18．如图，在中，，，，点P从点B出发，以/秒的速度向点C移动，同时点Q从点C出发，以1cm/秒的速度向点移动，设运动时间为t秒，当秒时，与相似．三、解答题19．解下列方程：(1)；(2)．20．已知关于的一元二次方程．(1)判断方程根的情况，并说明理由．(2)若方程的一个根为，求的值和方程的另一个根．21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，，与y轴相交于点C．(1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)求的面积；(3)直接写出不等式的解集．22．如图，在中，，分别是，上一点，且．若，，，求的长．23．乐乐家有一台智能饮水机，接通电源，饮水机自动开始加热，每分钟水温上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降．在水温开始下降的过程中，水温和通电时间成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为：，接通电源后，水温和通电时间之间的关系如图所示，回答下列问题：(1)求当时，与之间的函数表达式；(2)某天，乐乐早上点整打开饮水机，乐乐计划将水烧开后，待水温下降到及以下时喝水，求乐乐最早什么时候能喝到不高于的水？24．如图，中，是斜边上的高，．(1)求证；(2)求的长．25．蜀绣，是巴蜀地区流行的一种民间工艺，国家级非物质文化遗产之一，某经销商从工厂以30元每把的价格购进一批蜀绣团扇，经市场调研，当该蜀绣团扇每把的销售价为50元时，每周可销售120把，当每把的销售价每增加1元，每周的销售量将减少4把．设该蜀绣团扇每件的销售价为x元，每周的销售量为y把，利润为w元，(1)求y关于x的函数关系式；(2)为保证每周获得2400元的销售利润，则每周该蜀绣团扇的销售价应定为多少？(3)当销售价定为多少时，每周的销售利润最大？最大利润是多少元？26．如图1，在中，，，点D、E分别是边、的中点，连接，将绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角为，、所在直线相交所成的锐角为．(1)问题发现：当时，_________；_________．(2)拓展探究：试判断当时，和的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．(3)在旋转过程中，当时，直接写出此时的面积．《湖南省湘潭市益智中学2025－2026学年九年级上学期期中考试数学试卷》参考答案题号12345678910答案DBDCDAABBA1．D【分析】本题考查反比例函数的识别，根据形如，这样的函数叫做反比例函数，进行判断即可．【详解】解：A、是一次函数，不符合题意；B、是正比例函数，不符合题意；C、不是反比例函数，不符合题意；D、是反比例函数，符合题意；故选D．2．B【详解】A、因为3：4≠5：6，则3、4、5、6不是比例线段，所以A选项错误；B、因为5：15=2：6，则5、：15、2、6是比例线段，所以B选项正确；C、因为4：8≠3：5，则4、8、3、5不是比例线段，所以C选项错误；D、因为8：4≠1：3，则8、4、1、3不是比例线段，所以D选项错误．故选：B．3．D【分析】本题考查了实际问题列反比例函数关系式．观察图象，函数经过一定点，将此点坐标代入函数解析式（）即可求得k的值．【详解】解：设反比例函数的解析式为（），由图象可知，函数经过点，∴，得∴反比例函数解析式为．即用电阻R表示电流I的函数解析式为故选D4．C【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，准确计算是解题的关键．根据相似三角形的性质求解即可．【详解】解：，且，；故选：．5．D【分析】本题考查用配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法的步骤，将方程化为完全平方式．通过移项、配方的步骤，将给定的一元二次方程转化为完全平方式，从而得出答案．【详解】解：，移项得，，，故选：D．6．A【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．根据反比例函数图像上点的坐标特征分别代入，求出、、的值，比较即可得答案．【详解】解：∵点，，都在反比例函数的图象上，∴，，，解得：，，，∴，故选：A．7．A【分析】2021年财政总收入=2019年财政收入×（1+增长率）2，把相关数值代入即可．【详解】解：2020年财政总收入为，2021年财政总收入为，可列方程为，故选：A．【点睛】本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为．8．B【分析】本题考查了黄金分割．应该识记黄金分割的公式：较长的线段=原线段的．根据黄金分割点的定义和得出，代入数据即可得出的长度进而求出结论．【详解】解：由于P为线段的黄金分割点，且，则，．故选：B．9．B【分析】根据正比例函数和反比例函数的图象逐一判断即可．【详解】解：观察图像①可得，所以，①符合题意；观察图像②可得，所以，②不符合题意；观察图像③可得，所以，③不符合题意；观察图像④可得，所以，④符合题意；综上，其中符合的是①④，故答案为：B．【点睛】本题考查的是正比例函数和反比例函数的图像，当k＞0时，正比例函数和反比例函数经过一、三象限，当k＜0时，正比例函数和反比例函数经过二、四象限．10．A【分析】由于，可以设F（m，n）则OA=3m，BF=2m，由于S△BEF=4，则BE=，然后即可求出E（3m，n-），依据mn=3m（n-）可求mn=6，即求出k的值．【详解】如图，过F作FC⊥OA于C，∵，∴OA=3OC，BF=2OC∴若设F（m，n）则OA=3m，BF=2m∵S△BEF=4∴BE=则E（3m，n-）∵E在双曲线y=上∴mn=3m（n-）∴mn=6即k=6．故选A．【点睛】此题主要考查了反比例函数的图象和性质、用坐标表示线段长和三角形面积，表示出E点坐标是解题关键．11．/【分析】此题主要考查了比例的性质，利用已知设，则，进而代入化简即可．【详解】解：，设，则，则．故答案为：．12．【分析】本题主要考查了比例尺，解题的关键是掌握比例尺的定义．根据比例尺的定义，地图上的距离与实际距离的比等于比例尺，列方程求解实际距离，注意单位换算．【详解】解：设A、B两地的实际距离为，由比例尺公式，得：解得：换算单位：，故答案为：．13．【详解】试题解析：方程整理得：故答案为点睛：一元二次方程的一般形式：14．2【分析】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是：明确方程的解一定使原方程成立．把代入求解即可．【详解】解：∵一元二次方程的一个根是，∴，∴，故答案为：2．15．【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．【详解】解：∵同一坐标系下双曲线y与直线ykx一个交点为坐标为3,1，∴另一交点的坐标是（-3，1）．故答案是：（-3，1）．【点睛】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，要求同学们要熟练掌握．16．【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，由m，n分别为一元二次方程的两个实数根，得出，即可求解，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．【详解】解：∵m，n分别为一元二次方程的两个实数根，∴，∴，故答案为：．17．【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键．先求出，再根据平行线分线段成比例定理可得，代入计算即可得．【详解】解：∵，，∴，∵，∴，即，∴，故答案为：．18．或【分析】本题考查了相似三角形的判定，准确分析判断是解题的关键．分和是对应边，和是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式计算即可求解．【详解】由题可得：，，设，，，当时，，，，，秒；当时，，，，，；的值是或．19．(1)，(2)，【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解答本题的关键．（1）先移项，然后利用直接开平方法即可得到答案．（2）利用因式分解法解答即可．【详解】（1）解：，∴，∴，∴，．（2）解：，∴，∴或，∴，．20．(1)方程有两个不相等的实数根(2)方程的另一个根为5，m的值为【分析】(1)求出的值，再根据根的判别式判断即可；(2)把代入方程,求出m的值,再设方程的另一个根为a，根据根与系数的关系求出a的值即可.【详解】（1）解：因为关于x的一元二次方程∴根的判别式，因为，所以，∴方程有两个不相等的实数根.（2）设方程的另一个根为a，由根与系数的关系得:，解得:，，方程的另一个根为5，m的值为.【点睛】本题考查了解一元二次方程、根的判别式和根与系数的关系等知识点，能熟记根的判别式和根与系数的关系是解此题的关键.21．(1)反比例函数解析式为，一次函数解析式为(2)16(3)或【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，正确求出对应的函数解析式是解题的关键．（1）把点坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，进而求出点的坐标，再把点和点的坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可；（2）先求出点C的坐标，进而得到的长，再根据列式求解即可；（3）根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方或二者的交点处的自变量的取值范围即可得到答案；【详解】（1）把点代入，，反比例函数解析式为，在上，，，，把，代入一次函数解析式中，，，；（2）由（1）可得，一次函数解析式为，令，则，，，；（3）由函数图象可知，当或时，，当时，的取值范围为或．22．【分析】先根据题意得出△AED∽△ABC，再由相似三角形的性质即可得出结论．【详解】解：，，，，，，，，解得．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．23．(1)(2)乐乐最早在点能喝到不高于的水【分析】本题考查了反比例函数：（1）利用待定系数法求得函数解析式即可；（2）将数值代入函数解析式即可．【详解】（1）当时，设与之间的函数表达式为，将代入中得：，解得，与之间的函数表达式为．（2）把代入中得：，解得，乐乐最早在点能喝到不高于的水．24．(1)见解析(2)【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．（1）依据，，即可判定；（2）依据相似三角形的对应边成比例，即可得到比例式，代入数据即可得出的长．【详解】（1）证明：∵是斜边上的高，∴，∴，又，∴，∴；（2）解：∵，∴，即，，∴．∵是线段∴舍去，即25．(1)(2)每周该蜀绣团扇的销售价应定为60元或50元(3)当销售价定为55时，每周的销售利润最大，最大利润是2500元【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，一次函数的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键．（1）根据销售量＝原来的销售量－减少的销售量，即可解答；（2）根据总利润＝单个利润总数量进行计算，即可解答；（3）根据总利润＝单个利润总数量进行计