专题 相似三角形的判定（6大题型）（专项训练）数学北师大版九年级上册（含解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页专题相似三角形的判定（6大题型）（专项训练）数学北师大版九年级上册一、解答题1．如图，．求证：．2．已知：如图，在等边中，点D为上任意一点，且，求证：3．如图，点、、分别在等边的三边、、上，且，求证：．4．如图，在中，，是边上的高，平分，且分别与相交于点E，F．求证：．5．如图，在正方形中，P为中点，Q为上一点，且．求证：．6．如图，在中，点在上，连接．已知，求证，．7．如图，在中，D为上一点，，求证：．8．如图，在四边形中，，，E是的中点，．求证：．9．如下图所示的是由三个边长为1的正方形拼成的矩形．求证：．10．如图，在边长为1个单位的方格纸上，有与．求证：．11．如图所示，在的网格中，和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．(1)填空：________，________；(2)判断与是否相似？并证明你的结论．12．根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由：(1)，，，，，；(2)，，，．二、单选题13．下列条件：①，，，，，；②，，，，，；③，，，，其中能判定与相似的有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个14．如图，小正方形的边长均为，则下列正方形网格中的三角形（阴影部分）与相似的是（）A． B． C． D．15．如图，，添加一个条件能判定的是（）①；②；③；④．A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④16．下列条件中，不能判定以、、为顶点的三角形与相似的是（

）A．， B．，，C．， D．，三、填空题17．如图，已知，请添加一个条件使与相似：（不添加字母及辅助线）．18．如图，是的边上一点，添加一个条件，使．你添加的条件是．19．如图，在中，若，点D为的中点，则当时，．20．如图，在四边形中，对角线平分，，，则要使，只要．四、解答题21．如图，点、在线段上，△是等边三角形，．(1)证明：；(2)线段、、之间有怎样的数量关系？请说明理由．22．如图，在中，，是边上一点，且．(1)求证：．(2)若，，求的长．23．如图，在中，点、分别在边、上，，．(1)求证：；(2)若，，求的长．24．如图，在四边形中，是的中点，交于点．，．(1)求证：(2)若，求的长．五、单选题25．如图，已知中，D为边上一点，P为边上一点，，，，当的长度为（）时，和相似．A．9 B．6 C．4或9 D．6或926．如图，在的正方形方格中，的顶点，都在边长为1的小正方形的顶点上，边上的点也在小正方形的顶点上，则的面积等于（）A． B． C． D．27．定义：如果一个四边形的两条对角线将它分成的四个小三角形都是相似三角形，那么称这样的四边形是“全相似四边形”．如图，和关于直线对称，下列条件能使四边形成为“全相似四边形”的是（

）A． B．C． D．六、填空题28．如图，中，是上一点，连接．请你补充一个条件，使．29．在Rt中，．若在Rt中，，则Rt与Rt（填“相似”或“不相似”）．30．已知的三边长分别为，的两边长分别为1和．当的第三边长为时，与相似．31．如图①，一张正三角形纸片，，点在边上，，点是边上的一点．如图②，将沿翻折得到，与的边相交于点和点．若，，则的长度为．32．如图，已知中，，，，是的中点，是边上一个动点．将沿折叠，使点落在处，如果与原相似，那么的长为．七、解答题33．如图，相交于点O，，求证：．34．如图，在边长为的小正方形组成的网格中，和的顶点都在网格点上，证明：．35．如图，在中，，是边上高，若，．(1)求证：；(2)求的长．36．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，和的顶点都在边长为1的小正方形的格点上：(1)则，；(2)判断与是否相似，若相似，请说明理由．37．如图，在梯形中，是梯形对角线，．

(1)求证：；(2)以为一边作交边于点，求证：．38．如图，在中，是角平分线，点是边上一点，且满足．(1)求证：．(2)若，，求的长．39．如图，在矩形中，点E在边上，点F在对角线上，连接交于点O，且．(1)求证：；(2)判断与是否相似，并说明理由；(3)若，，，求的长．40．如图所示，和中，，，且平分．(1)求证：；(2)点E是边的中点，连接和，和交于点F，若，，求的长．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案题号13141516252627答案DABDCAB1．见解析【分析】本题考查相似三角形的判定，根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理即可证明．【详解】证明：，，，又，．2．证明见解析【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题关键．先根据等边三角形的性质可得，再根据三角形的外角性质、角的和差可得，然后根据相似三角形的判定即可得证．【详解】证明：∵是等边三角形，∴，∴，又∵，，∴，∵，∴，在和中，，∴．3．见解析【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，相似三角形的性质与判定：先由等边三角形的性质得到，再由三角形内角和定理和平角的定义证明，即可证明．【详解】解：是等边三角形，，，，，．4．见解析【分析】本题考查了相似三角形的判定，角平分线的定义等知识点，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．根据互余可得，再由角平分线得到，即可证明．【详解】证明：∵是边上的高，∴∵，∴，∵平分，∴，∴．5．见解析【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，正方形的性质，由正方形的性质得出，，结合已知条件得出，进而即可得出．【详解】证明：∵四边形是正方形，P为中点，∴，，∵，∴，又∵，∴．6．见解析【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．通过计算可得，加上为公共角，则根据相似三角形的判定方法可判断．【详解】证明：，，，，，，，7．见解析【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理解题关键．由题意得到两边对应成比例，且夹角相等，利用两边对应成比例且夹角相等的三角形相似即可得证．【详解】解：，，，，又∵，．8．见解析【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，由题意可得，再结合即可得证，熟练掌握相似三角形的判定定理是解此题的关键．【详解】证明：∵E是的中点，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴．9．证明见解析【分析】本题主要考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理；解决问题的关键是熟练掌握勾股定理，证明三边成比例．根据正方形的性质和勾股定理求出的长，得出，再根据相似三角形的判定方法即可证明．【详解】证明：由题意可知，．由勾股定理，得．10．见解析【分析】本题考查了勾股定理和相似三角形的判定，先计算出三角形的各个边的长，再根据三边对应成比例的两个三角形相似证明即可．【详解】证明：由图知：，，，，，．，．11．(1)；(2)，证明见解析【分析】此题考查了相似三角形的判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点．（1）取格点G，连接，，根据勾股定理得到，，得到是等腰直角三角形，求出，进而求出根据勾股定理即可求出；（2）首先根据勾股定理求出与各边长，然后得到，即可证明出．【详解】（1）解：如图所示，取格点G，连接，，由网格得，点G，A，C三点共线∵，，∴，∴是等腰直角三角形∴∴；由勾股定理得，；（2）解：∵在中，，，，∵在中，，，∴∴．12．(1)，理由见解析(2)，理由见解析【分析】本题考查相似三角形的判定、三角形内角和定理；熟练掌握相似三角形的判定方法，通过计算得出三边成比例或两角对应相等是解决问题的关键．（1）通过计算得出两个三角形三边成比例，即可得出结论；（2）由三角形内角和定理求出，得出，，即可得出结论．【详解】（1）解：，理由如下：，，，，；（2）解：，理由如下：，，，，，，，．13．D【分析】本题考查的是相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法，即可判断．【详解】解：①由，，可判定，故①符合题意；②由，，可判定，故②符合题意；③由，可判定，故③符合题意．∴能判定与的有3个．故选：D．14．A【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据三角形的一个角为判断即可，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．【详解】解：由题意，，，∴，选项中的三角形有一个角为，且该角度的邻边之比为，符合题意．故选：．15．B【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．先证出，再由相似三角形的判定方法即可得出结论．【详解】解：∵，∴，∴，添加，利用两角对应相等可判定，故①符合题意；添加，利用两角对应相等可判定，故②符合题意；添加，无法判定，故③不符合题意；添加，利用两边对应成比例及其夹角相等可判定，故④符合题意；故选：B．16．D【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理．利用相似三角形的判定定理逐项进行判断即可．【详解】解：A.由两个角对应相等的三角形相似可知，该选项正确，不符合题意；B.因为，，即，根据两边对应成比例及其夹角相等的三角形相似可知，该选项正确，不符合题意；C.由两边对应成比例及其夹角相等的三角形相似可知，该选项正确，不符合题意；D.该选项条件中，相等的角不是对应成比例两边的夹角，故不能证明三角形相似，该选项错误，符合题意．故选：D．17．（答案不唯一）【分析】本题考查了三角形相似的判定定理，熟练掌握三角形相似的判定定理是解题的关键．根据三角形相似的判定定理去添加条件（答案不唯一）．【详解】解：添加,∴故答案为：（答案不唯一）．18．或或（任选一个）【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似的判定定理即可求解，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．【详解】解：在和中，∵，∴当或或时，，故答案为：或或．19．【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．根据相似三角形的性质列出比例式，代入数据进行计算即可求解．【详解】解：∵点D为的中点，，∴，∵，∴要使，则，此时；故答案为：．20．4【分析】本题考查相似三角形的判定，根据两组对应边成比例，且夹角相等的两个三角形相似，进行求解即可．【详解】解：∵平分，∴，当时，，即：，∵，，∴，∴，故答案为：4．21．(1)见解析(2)【分析】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定．（1）由等边三角形性质得，，从而有；由得，由相似三角形的判定得证；（2）根据，，求出，由等角对等边即可得出结论．【详解】（1）证明：∵是等边三角形，∴，，∴；∵，即：，∴，，∴，,∴；（2）结论：．证明∵，∴；∵，∴，，又∵，∴22．(1)证明见解析(2)【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定方法和性质是解题的关键．（1）直接利用两边成比例，夹角相等的两个三角形相似判定即可；（2）先利用相似性质得出，再分别在两个直角三角形和中，利用角所对的直角边等于斜边的一半求解即可．【详解】（1）证明：∵，，∴；（2）解：∵，，∴，∵，∴，，又∵，∴，∴．23．(1)见详解(2)【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，比的利用等知识．熟练掌握相似三角形的判定是解此题的关键．（1）首先得到，然后结合即可证明；（2）由已知条件可得出，，根据等高三角形面积比等于三角形的底比可得出：，，进一步即可得出答案．【详解】（1）证明：∵，∴，，∴，又∵，∴．（2）解：，，，，∴，，∴，，根据等高三角形面积比等于三角形的底比可得出：，，∴，∴24．(1)证明见详解(2)【分析】（1）证明是的中位线，得，，继而推出，，根据相似三角形的判定即可得证；（2）根据三角形中位线的性质推出，，继而得到，，由平行四边形的性质得，最后利用勾股定理可得出结论．【详解】（1）证明：∵，∴点是的中点，又∵点是的中点，∴是的中位线，∴，，∴，，∴；（2）解：∵，∴，由（1）知：，，∴，，又∵，，∴，，又∵，∴四边形为平行四边形；∴，在中，，∴的长为．【点睛】本题考查三角形中位线定理，相似三角形的判定，平行四边形的判定和性质，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．25．C【分析】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，正确进行分类讨论是解决问题的关键．分别根据当时，，当时，，求出的长即可．【详解】解：，当时，，，，，，；当时，，，，的长度为4或9时，和相似．故选：C．26．A【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，三角形的面积，熟练利用网格中的平行线判定相似是解题的关键．由图，利用，判定，得出，即可求出，则可求出，再利用，即可求解．【详解】解：如图，由图可知，，，，，，，∴，∴，即，解得：，∴，∴，故选：A．27．B【分析】本题考查相似图形，全等三角形的判定和性质．如图，连接交于点O．证明，推出，，再证明当时符合题意即可．【详解】解：如图，设交于点O．∵和关于直线对称，∴，∴，，当时，，∵，∴，∴，，∴，∵，∴，同法可证，故选项B符合题意．当或或时都不符合题意．故选：B．28．（或或或）（答案不唯一）【分析】本题考查两个相似三角形的判定定理，涉及两角分别相等的两个三角形相似、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似判定即可得到答案．熟记两个相似三角形的判定定理是解决问题的关键．【详解】解：在和中，，是的一个外角，，即，且，，当时，；或当时，；或当时，；故答案为：（或或或）（答案不唯一）．29．相似【分析】本题考查了相似三角形的判定、勾股定理，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.【详解】解：∵在Rt中，．∴∴，∴，∵，∴.故答案为：相似．30．【分析】本题考查的是相似三角形的判定，解决问题的关键是熟知相似三角形的对应边成比例．设第三边长为,应用两三角形相似的判定定理，三边对应成比例，解题即可．【详解】解：的三边长分别是，三边长的比为．，且的两边长分别是1和需要分情况进行讨论:①若，解得；②若，∵，∴该情况不成立③若，解得经检验，当时，与的三边对应成比例，两三角形相似；当时，与的三边对应不成比例，两三角形不相似；故答案为：．31．9【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据等边三角形的性质可得，，从而可得，再利用折叠的性质可得：，，从而可得，，然后证明8字模型相似，从而利用相似三角形的性质求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．【详解】解：是等边三角形，，，，，由折叠得：，，，，，，，，，，故答案为：9．32．或【分析】本题考查了相似三角形的性质，分当时，当时，再根据相似三角形的性质即可求解，掌握相似三角形的性质是解题的关键．【详解】解：当时，，为中点，∴，∴，∴；

当时，，∴，∴，综上，的长为或，故答案为：或．33．见解析【分析】本题主要考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定定理解答即可．【详解】证明：∵交于点O，∴，∵，∴．34．证明见解析．【分析】本题考查了网格与勾股定理，相似三角形的判定，由网格可知，，，，，，再利用三边对应成比例的两个三角形相似即可求证，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．【详解】证明：根据勾股定理，得，，，，，，∴，，，∴，∴．35．(1)见解析(2)【分析】（1）通过寻找两个三角形中相等的角，利用两角分别相等来证明相似．（2）先利用勾股定理求出斜边的长度，再根据三角形面积的两种不同表示方法，建立等式求出的长．本题主要考查了相似三角形的判定、勾股定理以及三角形面积公式，熟练掌握相似三角形的判定定理和利用面积法求高是解题的