广东省广州奥林匹克中学2025-2026学年高三上学期9月月考数学试卷（含解析）

答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页广东省广州奥林匹克中学2025-2026学年高三上学期9月月考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知全集，集合，，则（

）A．或 B．C． D．2．已知复数，是z的共轭复数，则=A． B． C．1 D．23．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为，焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的方程为（

）A． B． C． D．4．已知成立，函数是减函数，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．已知，是第二象限角，且，则的值为（

）A． B．7 C． D．6．已知函数满足，则在点处的切线方程为（

）A． B．C． D．7．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中、是正的常数.如果前消除了的污染物，那么前消除的污染物的占比为（

）A． B． C． D．8．已知函数满足：，且当时，，那么方程的解的个数为A．1个 B．8个 C．9个 D．10个二、多选题9．已知正方体的棱长为，分别是，的中点，则（

）A． B．C．平面 D．三棱锥的体积为10．已知函数（其中）的部分图象如图所示，图像经过点，关于直线对称，则下列说法正确的是（

）A．的图象关于点中心对称B．在区间上单调递增C．的图象关于直线对称D．直线与图象的所有交点的横坐标之和为11．记为函数的阶导数，，若存在，则称阶可导．英国数学家泰勒发现：若在附近阶可导，则可构造（称其为在处的次泰勒多项式）来逼近在附近的函数值．下列说法正确的是（

）A．若，则B．若，则C．在处的3次泰勒多项式为D．（精确到小数点后两位数字）三、填空题12．各项均为正数的等比数列中，且，，则等于.13．已知，则等于.14．在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1、2、3、4外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将箱子关闭，也就是主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择.现在已知甲选择了1号箱，若用表示i号箱有奖品，用表示主持人打开i号箱子，则；.四、解答题15．已知数列的前项和满足，数列是公差为的等差数列，.（1）求数列，的通项公式；（2）设，求数列的前项和.16．过四棱柱的顶点A作截面AEFG，其中底面ABCD是菱形，∠BCD=60°．(1)证明：截面AEFG是平行四边形；(2)已知ADG是正三角形，平面ADG⊥平面ABCD，且AB=2，CF=3，求直线DF与平面BCFE所成角的正弦值.17．为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对学生体育锻炼的经常性有影响，为此随机抽查了男女生各100名，得到如下数据：性别锻炼不经常经常女生4060男生2080(1)依据的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；(2)从这200人中随机选择1人，已知选到的学生经常参加体育锻炼，求他是男生的概率；(3)为了提高学生体育锻炼的积极性，集团设置了“学习女排精神，塑造健康体魄”的主题活动，在该活动的某次排球训练课上，甲乙丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人.求第次传球后球在甲手中的概率.附：0.0100.0050.0016.6357.87910.82818．已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．(1)求E的方程；(2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点．19．已知函数．(1)当时，求的极小值；(2)当时，，求实数的取值范围．《广东省广州奥林匹克中学2025-2026学年高三上学期9月月考数学试卷》参考答案题号12345678910答案CABBBBADBDBD题号11答案ABC1．C【分析】先求出集合，再根据补集交集运算直接计算出结果.【详解】或，，，.故选：C.【点睛】本题交集补集混合运算，其中涉及一元二次不等式的解法和对数函数定义域的求法，属于基础题.2．A【分析】利用复数除法化简，再求出共轭复数，进而可得结果.【详解】，，，故答案为：A.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3．B【分析】求得双曲线的顶点、焦点和渐近线方程，运用点到直线的距离公式，解方程可得，，进而点到所求双曲线方程．【详解】解：双曲线的顶点为，渐近线方程为，，由题意可得，即为，①双曲线的焦点设为，，由题意可得，②由①②可得，，则双曲线的方程为．故选：B．4．B【分析】根据给定条件，化简命题，再利用充分条件、必要条件定义判断即得.【详解】由成立，得，解得或，则命题；由函数是减函数，得，解得，则命题，显然真包含于，所以是的必要不充分条件.故选：B5．B【分析】先求的值，再利用结合两角差的正切公式即可得解.【详解】，是第二象限角，，又故选：B【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的计算，考查角的变换，利用是解题的关键，考查学生的转化与化归能力及计算能力，属于基础题.6．B【分析】根据给定条件，利用复合函数求导法则及导数的几何意义求出切线方程.【详解】由，得，解得，即点在函数的图象上，求导得，令，则，所以在点处的切线方程为，即.故选：B7．A【分析】将代入关系式可得出，将代入关系式可得出，再将代入关系式，结合指数运算可求得结果.【详解】当时，，当时，，即.所以当时，，即后，还剩的污染物，所以前消除的污染物的占比为.故选：A.8．D【分析】分别作出与图象，数形结合求解，【详解】，则的周期为2，当时，，分别作出与图象，如图所示，得方程的解的个数为10个．故选：D9．BD【分析】对于A，B，C选项，根据几何体建立空间直角坐标系，根据空间向量的关系即可证明，对于D选项，过点作，可得，所以，所以，即可求解.【详解】对于A选项，在正方体中建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，所以与不共线，所以与不平行，故A错误；对于B选项，，，所以，，所以，所以，故B正确；对于C选项，，，，设平面的法向量为，则，即，可求得，所以，所以与不垂直，所以不平行于平面，故C错误；

对于D选项，过点作，与相交于点，则四点共面，又分别是、的中点，所以点为上靠近点的四等分点，所以，所以，所以，又，所以，故D正确.

故选：BD10．BD【分析】根据函数的周期性和最小值可求得，利用函数的对称性，单调性和图象性质即可求解.【详解】由图可知，，因为解得，所以，又因为，所以,解得，因为，所以，所以，，所以的图象不关于点中心对称，A错误；解得,所以当时，，所以在区间上单调递增，B正确；，所以的图象不关于直线对称，C错误；令即，所以或，即或，因为，所以满足条件的所有的值为所以所有交点的横坐标之和为，D正确，故选:BD.11．ABC【分析】对于AB，根据求导公式求导，然后观察规律即可；对于C，按照泰勒多项式直接求解可知；对于D，求出在处的次泰勒多项式，然后计算即可.【详解】对于A，若，则，，所以，A正确；对于B，若，则，，观察可知，B正确；对于C，的阶导数，得，C正确；对于D，记，则，因为，所以在处的次泰勒多项式，，D错误.故选：ABC【点睛】关键点点睛：对于D选项，关键在于理解次泰勒多项式的定义及作用，求出在处的次泰勒多项式，据此进行估算.12．27【解析】设各项均为正数的等比数列的公比为，根据题中条件，求出公比，进而可求出结果.【详解】设各项均为正数的等比数列的公比为，因为，，所以，，，或（舍），.故答案为：.【点睛】本题主要考查等比数列基本量的运算，属于基础题型.13．【分析】要求，即求展开式中项的系数，进而根据二项式定理求解即可；【详解】解:因为，对于，其展开式通项为.所以，中含的项为，所以展开式中含的项系数为.故答案为：.14．/【分析】分析出：若奖品在3号箱里，主持人只能打开2、4号箱，可求得的值；求得，对奖品所在的箱子进行分类讨论，求出的值，再利用全概率公式可求得的值.【详解】若奖品在3号箱里，主持人只能打开2、4号箱，故；奖品随机等可能分配到四个箱子中，因此、、、的概率均为，奖品在号箱里，主持人可打开、、号箱，故，奖品在号箱里，主持人打开号箱的概率为，故，奖品在号箱里，主持人只能打开、号箱，故，奖品在号箱里，主持人只能打开、号箱，故，由全概率公式可得：.故答案为：；15．（1），；（2）.【解析】（1）根据之间的关系求解出的通项公式，根据等差数列的定义求解出的通项公式，则通项公式可求；（2）先计算出的通项公式，然后利用分组求和的方法求解出.【详解】（1）由得，当时，，当时，，所以满足时的情况，所以，因为，所以；（2）因为，所以，所以.【点睛】思路点睛：利用与的关系求解数列通项公式的思路：（1）根据，先求解出时的通项公式；（2）根据条件验证是否满足的情况；（3）若满足，则的通项公式不需要分段书写；若不满足，则的通项公式需要分段书写.16．(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据面面平行的性质可得线线平行，由线线平行证明结论；（2）建立坐标系，求平面的法向量，再用向量夹角公式求解或者作出线面角，通过几何关系求解.【详解】（1）因为平面平面，平面平面，因为平面平面，所以，同理，所以四边形是平行四边形；（2）解法一：设的中点是，连.因为底面是菱形，，所以是正三角形，所以因为面面，是面与面的交线，所以面，设的中点是，连，所以，所以面所以是与面所成的角，

因为，，，所以，所以.解法二：设AD的中点是O，连GO.是正三角形，，面ADG⊥面ABCD，AD是面ADG与面ABCD的交线，且面ADG，面ABCD.，∠BCD=60°，是正三角形，建立如图的空间直角坐标系，则有而面BCFE//面AGD，所以面BCFE的法向量是，所以直线DF与面BCFE所成角的正弦值.17．(1)可以认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系，理由见解析(2)(3)【分析】（1）计算卡方，与6.635比较后得到结论；（2）利用事件，利用条件概率求出答案；（3）设n次传球后球在甲手中的概率为，，得到，利用构造法得到，即数列是以为首项，为公比的等比数列，从而求出通项公式，得到答案.【详解】（1），故依据的独立性检验，可以认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；（2）设从这200人中随机选择1人，设选到经常锻炼的学生为事件A，选到的学生为男生为事件B，则，则已知选到的学生经常参加体育锻炼，他是男生的概率；（3）设n次传球后球在甲手中的概率为，，则有，，设，则，所以，解得：，所以，其中，故数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，故，故第次传球后球在甲手中的概率为.18．(1)(2)【分析】（1）将给定点代入设出的方程求解即可；（2）设出直线方程，与椭圆C的方程联立，分情况讨论斜率是否存在，即可得解.【详解】（1）解：设椭圆E的方程为，过，则，解得，，所以椭圆E的方程为：.（2），所以，①若过点的直线斜率不存在，直线.代入，可得，，代入AB方程，可得，由得到.求得HN方程：，过点.②若过点的直线斜率存在，设.联立得，可得，，且即联立可得可求得此时，将，代入整理得，将代入，得显然成立，综上，可得直线HN过定点【点睛】求定点、定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.19．(1)0(2)【分析】（1）当时，通过二次求导判断的单调性，从而求得的极小值；（2）当时，分离变量可得，令，利用导数求得，当，令，求导证明令，即可求解.【