山西省长治市2025-2026学年高三上学期9月质量监测数学试题（含解析）

答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页山西省长治市2025-2026学年高三上学期9月质量监测数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．（

）A． B． C． D．2．，，则（

）A． B． C． D．3．已知向量与向量的夹角是180°，且，则＝（

）A．(－3，6) B．(3，－6)C．(6，－3) D．(－6，3)4．游戏《黑神话：悟空》在山西的取景地共27处，包括长治市的崇庆寺、观音堂，大同市的云冈石窟等，具体分布如下：城市大同朔州忻州晋中长治晋城临汾运城取景地个数62622324某游客计划从中选5处景点游玩，其中长治、晋城各选一处，大同选两处，且云冈石窟必选，共有多少种不同的选法（

）A．26 B．450 C．480 D．14405．从点向圆引切线，则切线长的最小值为（

）A．5 B． C． D．6．已知两个等差数列2，6，10，…，98和2，8，14，…，98，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为（

）A．850 B．1250 C．400 D．4507．已知三棱锥的底面是边长为5的正三角形，且，，，则三棱锥的体积为（

）A． B． C． D．8．设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，若，则在内所有的零点之和为（

）A．16 B．12 C．8 D．4二、多选题9．下列命题正确的有（

）A．若，，则B．若，则的最小值为4C．已知都是正数，且，则D．若且，则的取值范围为10．已知函数，则（

）A． B．C．的个位数是9 D．11．抛物线有如下光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴；一束平行于抛物线的轴的光线，经过抛物线的反射集中于它的焦点．已知抛物线，为坐标原点，一条平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射，再经过上的另一点反射后沿直线射出，则下列结论正确的是（

）A．B．是一个直角三角形C．若延长交直线于点，则点在直线上D．抛物线在点处的切线分别与直线、所成的角相等三、填空题12．曲线在点处的切线的倾斜角为．13．的顶点坐标分别为，，，则．14．公比为的等比数列满足：，记，则当最小时，使成立的最小值是．四、解答题15．已知．(1)若，，求的值；(2)设，求的值域和单调递增区间．16．已知椭圆的左，右焦点分别是，且，过作直线与交于、两点，的周长为．(1)求的方程；(2)若的面积为，求的方程．17．如图，在直四棱柱中，，．

(1)证明：平面平面；(2)若，，，点在同一个球面上，设该球面的球心为．（ⅰ）证明：在平面上；（ⅱ）求二面角的正弦值．18．已知．(1)证明：曲线是中心对称图形；(2)若时，恒成立，求的最小值；(3)若的图象关于点对称，且的解集为，求的取值范围．19．共享交通工具的出现极大地方便了人们的生活，也是当下很好的商机．某公司根据市场发展情况推出共享单车和共享电动车两种产品．经市场调查发现，由于两种产品中共享电动车速度更快，故更受消费者欢迎．使用共享电动车的概率为，使用共享单车的概率为．该公司为了促进消费，用户使用共享电动车一次积2分，使用共享单车一次积1分，积分可以兑换礼品．每个市民各次使用共享交通工具选择意愿相互独立，市民之间选择意愿也相互独立．(1)求某市民使用了3次共享交通工具后积分为5分的概率；(2)从首次使用共享交通工具的市民中随机抽取3人，记总积分为随机变量，求的分布列和数学期望；(3)记某市民已使用该公司共享交通工具的累计积分恰为分的概率为，比如：表示累计积分为1分的概率，表示累计积分为2分的概率，试探求与之间的关系，并求数列的通项公式．《山西省长治市2025-2026学年高三上学期9月质量监测数学试题》参考答案题号12345678910答案BAACCDBAABDBD题号11答案ACD1．B【分析】利用复数的乘法与除法运算求解.【详解】.故选：B2．A【分析】求出对数型复合函数的定义域，化简集合B，再利用补集、交集的定义求解.【详解】由有意义，得，解得或，则或，，而，所以.故选：A3．A【分析】设，根据已知条件求得，由此求得.【详解】设，则，即，即，解得，所以.故选：A4．C【分析】结合题意，利用组合数分析即可求解.【详解】长治、晋城各选一处，共有种选法，大同选两处，且云冈石窟必选，共有种选法，剩下可选的景点有：处，再选1处，种选法，所以共有种选法.故选：C.5．C【分析】可知点在直线上，根据题意利用勾股定理求切线长，结合圆的性质求最小值.【详解】圆的圆心为，半径，点在直线上，则圆心到直线的距离，可知直线与圆相离，设其中一个切点为A，则切线长，所以切线长的最小值为.故选：C.6．D【分析】先求出新数列的公差，再结合等差数列的前项和公式求解即可.【详解】在等差数列2，6，10，…，98中，公差；在等差数列2，8，14，…，98中，公差，而和的最小公倍数为，得到新数列的公差，首项，所以，令，解得，故新数列共有项，所以新数列的各项之和为.故选：D7．B【分析】取的中点，连接、，利用给定条件证明平面，再利用锥体的体积公式计算即得.【详解】在三棱锥中，取的中点，连接、，又因为正的边长为，且，，，则，，由，所以，所以为直角三角形，因为为的中点，所以，又因为，所以，又因为，平面，所以平面，所以三棱锥的体积为，故B项正确.故选：B.8．A【分析】根据函数的对称性可推导出函数的周期为4，结合对称性作出函数的图象，即可求解.【详解】由于为奇函数，为偶函数，故和，进而可得和，因此，从而，故为周期为4的周期函数，当时，，故，由于，结合，可得，故，又，故，即，故，因此，作出的一个周期内的函数图象，则直线与的两个交点关于直线对称，因此在内的两个零点之和为4，则在内的两个零点之和为12，故所有的零点之和为16，故选：A

9．ABD【分析】利用不等式性质判断A；利用基本不等式的取等条件判断C；利用基本不等式求解B，由已知条件利用基本不等式得出不等关系，解不等式即可判断D.【详解】对于A，因为，所以，，又，所以．正确；对于B，，则，当且仅当即时取等号，所以的最小值为4，正确；对于C，因为都是正数，且，所以，所以，所以，错误；对于D，，当且仅当时取等号，即，即，得到或（舍去），故的取值范围为，正确.故选：ABD10．BD【分析】赋值法求系数和判断A、B；由，结合展开式通项得个位数由决定，即可判断C；由并应用二项式定理求对应项系数判断D.【详解】由题设，令，则，A错；令，则，所以，即，B对；由，展开式通项为，显然个位数由决定，即个位数是1，C错；由，展开式通项为，，当时，，即，D对.故选：BD11．ACD【分析】根据题目条件，依次求得，，的坐标，进而求出，，，可判断选项和；求出直线方程进而求出的坐标，可判断选项；通过导数求出切线方程，并根据平面几何知识，三角形的等边对等角及平行线同位角相等，可判断选项【详解】

由抛物线的方程可知，其焦点的坐标为.由题目可知，轴，，故点的纵坐标亦为.设点坐标又因为点在抛物线上，故，解得，故.由题意可知，平行于轴的光线经抛物线反射后会集中于焦点，因此直线经过点.直线斜率为，因此直线的方程为.直线与抛物线交于，两点，联立方程，解得，.因此，.故选项正确.，.故.，，所以.因此，不是直角三角形.故选项错误.由，两点坐标可知，直线的方程为.直线与直线相交于，，解得.又因为光线经抛物线的焦点，故经过点反射后，直线平行于轴.因此.故点在直线上.故选项正确.

当，抛物线的方程可表示为.求导得，故过作抛物线的切线斜率为.故该切线方程为.设该切线在点上方有一点，且与轴相交于.易知.故，.因此.所以.又因为轴，所以.故.即点处的切线分别与直线、所成的角相等.故选线正确.故选：12．【分析】求导，根据导数的几何意义可得斜率，进而可得倾斜角.【详解】因为，则，当时，，即切线斜率，又因为倾斜角，所以倾斜角.故答案为：.13．/【分析】利用数量积坐标运算求解.【详解】因为，，，所以，，则，，，所以.故答案为：.14．19【分析】根据题意，求出两项之间的关系，写出公比的表达式，构造函数，求出公比最小值，进而根据题意，写出前项积的表达式，进而求出结果.【详解】由得，公比，设，则，令，即，解得，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，则时，在处取得最小值，；此时，公比最小值为，可知通项公式，则，根据等差数列求和公式可得，当时，，即；由，解得，所以的最小值为.故答案为：19.15．(1)(2)，，【分析】（1）结合题意求出，再利用二倍角公式求解即可.（2）结合题意求出，结合正弦函数的性质求出值域，再利用整体代入法求解单调区间即可.【详解】（1）若，则，因为，所以，可得，得到，故．（2）由题意得，由正弦函数性质得，故的值域为，令，，解得，．因此函数的单调递增区间为，．16．(1)(2)或．【分析】（1）根据焦距以及椭圆的定义，列式子即可求解，（2）联立直线与椭圆的方程，利用弦长公式以及面积公式即可求解.【详解】（1）设椭圆的半焦距为，由题意知，所以，的周长为，所以，所以，故的方程为．（2）设，联立，可得，，设，，所以，，所以，由，解得，所以的方程为或．

17．(1)证明见解析(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）【分析】（1）由线面垂直的判定和性质定理以及面面垂直的判定定理即可证明；（2）（ⅰ）分别以为轴，建立空间直角坐标系，利用球心到球面上点的距离等于半径可求出的坐标，从而可证明结果；（ⅱ）由空间向量求二面角的方法可计算出结果.【详解】（1）证明：平面，平面，，，，平面，平面，平面，平面平面．（2）（ⅰ）由题意得，两两垂直，分别以为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，设球心，半径为，

则，即，解得，，平面．（ⅱ）由（ⅰ）得，，，，则，，，设平面的法向量，，令，得，同理设平面的法向量，，令，得，，二面角的正弦值为．18．(1)证明见解析；(2)；(3).【分析】（1）先求出函数定义域，接着计算即可得证；（2）先分离参数，将恒成立问题转化成为最大值问题求最值即可求解；（3）先由（1）得，接着求导函数，利用导数工具分和两种情况研究函数在上的单调性，从而根据在上的解集情况即可求解.【详解】（1）证明：由得，所以的定义域为，，关于点中心对称；（2）当时，恒成立，则恒成立，，，，，即的最小值为；（3）由（1）可知关于对称，，，，，令，，，当时，，时，恒成立，，在上单调递增，，的解集为，满足题意．当时，，使得，时，即，单调递减；时，即，单调递增．，时，不满足题意．综上所述，．19．(1)(2)分布列见解析，(3)，【分析】（1）由二项分布的概率计算公式可得结果；（2）由二项分布的概率公式和数学期望的计算公式可得结果；（3）方法1：由累计积分恰为分的概率和积分不到分的概率相加为1可得，利用构造法可求得数