【高中竞赛】山东省济南市山东师大附中2022-2023学年高一下学期数学竞赛选拔（初赛）试题（含解析）

答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页山东省济南市山东师大附中2022-2023学年高一下学期数学竞赛选拔（初赛）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知“，”为真命题，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．2．已知集合，任取中至少有一个成立，则n的最大值为（

）A．3 B．5 C．7 D．93．已知全集，集合，集合，则集合（

）A． B． C． D．4．已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最小值为（

）A．－2 B．1 C．2 D．85．已知，，且，则的最小值是（

）A．1 B． C．2 D．6．数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设，，用该图形能证明的不等式为（

）．A． B．C． D．7．当，时，恒成立，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．8．某市一个经济开发区的公路路线图如图所示，七个公司分布在大公路两侧，有一些小公路与大公路相连.现要在大公路上设一快递中转站，中转站到各公司（沿公路走）的距离总和越小越好，则这个中转站最好设在（

）A．路口 B．路口 C．路口 D．路口9．已知二次函数，满足：对任意实数，都有，且当时，有成立，又，则为（）A．1 B． C．2 D．010．定义在R上的偶函数满足，且当]时，，若关于x的方程至少有8个实数解，则实数m的取值范围是（

）A． B．C． D．11．已知实数a、b，满足，，则关于a、b下列判断正确的是（

）A．a＜b＜2 B．b＜a＜2 C．2＜a＜b D．2＜b＜a12．数学里有一种证明方法叫做Proofwithoutwords，也被称为无字证明，是指仅用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理．如下图，点为半圆上一点，，垂足为，记，则由可以直接证明的三角函数公式是（

）A． B． C． D．13．正割（Secant）及余割（Cosecant）这两个概念是由伊朗数学家、天文学家阿布尔·威发首先引入，，这两个符号是荷兰数学家基拉德在《三角学》中首先使用，后经欧拉采用得以通行.在三角中，定义正割，余割.已知函数，给出下列说法：①的定义域为；②的最小正周期为；③的值域为；④图象的对称轴为直线.其中所有正确说法的序号为（

）A．②③ B．①④C．③ D．②③④14．被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生于1946年9月应普林斯顿大学邀请去美国讲学，之后又被美国伊利诺依大学聘为终身教授.新中国成立的消息使华罗庚兴奋不已，他放弃了在美国的优厚待遇，克服重重困难，终于回到祖国怀抱，投身到我国数学科学研究事业中去.这种赤子情怀，使许多年轻人受到感染､受到激励，其中他倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，0.618就是黄金分割比的近似值，黄金分割比还可以表示成，则的值为（

）A．-4 B．4 C．-2 D．215．相传早在公元前3世纪，古希腊天文学家厄拉多塞内斯就首次测出了地球半径.厄拉多塞内斯选择在夏至这一天利用同一子午线（经线）的两个城市（赛伊城和亚历山大城）进行观测，当太阳光直射塞伊城某水井时，亚历山大城某处的太阳光线与地面成角，又知某商队旅行时测得与的距离即劣弧的长为5000古希腊里，若圆周率取3.125，则可估计地球半径约为（

）A．35000古希腊里 B．40000古希腊里C．45000古希腊里 D．50000古希腊里16．中国最早的天文观测仪器叫“圭表”，最早装置圭表的观测台是西周初年在阳城建立的周公测景（影）台．“圭”就是放在地面上的土堆，“表”就是直立于圭的杆子，太阳光照射在“表”上，便在“圭”上成影．到了汉代，使用圭表有了规范，规定“表”为八尺长（1尺=10寸）．用圭表测量太阳照射在竹竿上的影长，可以判断季节的变化，也能用于丈量土地．同一日内，南北两地的日影长短倘使差一寸，它们的距离就相差一千里，所谓“影差一寸，地差千里”．记“表”的顶部为，太阳光线通过顶部投影到“圭”上的点为．同一日内，甲地日影长是乙地日影长的，记甲地中直线与地面所成的角为，且．则甲、乙两地之间的距离约为（

）A．10千里 B．12千里 C．14千里 D．16千里17．2023年是农历癸卯兔年，在中国传统文化中，兔被视为一种祥瑞之物，是活力和幸福的象征，寓意福寿安康.故宫博物院就收藏着这样一幅蕴含“吉祥团圆”美好愿景的名画——《梧桐双兔图》，该绢本设色画纵约176cm，横约95cm，其挂在墙壁上的最低点离地面194cm.小南身高160cm（头顶距眼睛的距离为10cm），为使观赏视角最大，小南离墙距离应为（

）A． B．76cm C．94cm D．18．在计算机尚未普及的年代，人们在计算三角函数时常常需要查表得到正弦和余弦值，三角函数表的制作最早可追测到古希腊数学家托勒密．下面给出了正弦表的一部分，例如，通过查表可知的正弦值为0.0384，的正弦值为0.5135，等等.则根据该表，416．5°的余弦值为（

）0'6'12'18'24'30'36'42'48'54'60'0°0.000000170035005200700087010501220140015701751°017501920209022702440262027902970314033203492°03490366038404010419043604540471048805060523……30°0.5000501550305045506050755090510551205135515031°5150516551805195521052255240525552705284529932°5299531453295344535853735388540254175432544633°5446546154765490550555195534554855635577559234°55925606562156355650566456785693570757215736………………A．0.5461 B．0.5519 C．0.5505 D．0.573619．黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来，数字中也有类似的“黑洞”，任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新数字串；重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字设为a，则（

）A． B． C． D．20．我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上最早的一整正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长度l等于表高h与太阳天顶距正切值的乘积，即，对同一“表高”两次测量，第一次和第二次太阳天顶距分别为、，若第一次的“晷影长”是“表高”的3倍，且，则第二次“晷影长”是“表高”的（

）倍．A．1 B． C． D．21．魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术以正24576边形，求出圆周率约等于，和相比，其误差小于八亿分之一，这个记录在一千年后才被打破．若已知的近似值还可以表示成，则的值约为（

）A． B． C． D．22．数学家切比雪夫曾用一组多项式阐述余弦的倍角公式，即，，，，，，，…，则（

）A． B． C． D．23．古希腊地理学家埃拉托色尼从书中得知，位于尼罗河第一瀑布的塞伊尼（现在的阿斯旺，在北回归线上）记为，夏至那天正午，阳光直射，立杆无影；同样在夏至那天，他所在的城市——埃及北部的亚历山大城记为，测得立杆与太阳光线所成的角约为.他又派人测得，两地的距离km，平面示意图如图，则可估算地球的半径约为（

）（）A．km B．km C．km D．km24．五角星是非常美丽的，我们的国旗上就有五颗，还有不少国家的国旗也用五角星，因为在五角星中可以找到许多线段之间的长度关系是符合黄金分割比的，也就是说正五边形对角线连满后出现的所有三角形，都是黄金分割三角形.如图所示的五角星中、、等都是黄金分割比，已知五角星的顶角是36°，则利用上面信息可求得（

）

A． B． C． D．25．顺德欢乐海岸摩天轮是南中国首座双立柱全拉索设计的摩天轮，转一圈21分钟，摩天轮的吊舱是球形全景舱，摩天轮最高点距离地面高度为99，转盘直径为90，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动后距离地面的高度为，则在转动一周的过程中，高度H关于时间的函数解析式是（

）A．B．C．D．二、多选题26．水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的特征.如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足（，，），则下列叙述正确的是（

）

A．B．当时，函数单调递增C．当时，的最大值为D．当时，27．中国最早的天文观测仪器叫“圭表”，最早装置圭表的观测台是西周初年在阳城建立的周公测景（影）台．“圭”就是放在地面上的土堆，“表”就是直立于圭的杆子，太阳光照射在“表”上，便在“圭”上成影，到了汉代，使用圭表有了规范．规定“表”为八尺长（1尺＝10寸）．用圭表测量太阳照射在竹竿上的影长，可以判断季节的变化．也能用于丈量土地，同一日内，南北两地的日影长短倘使差一寸，它们的距离就相差一千里，所谓“影差一寸，地差千里”，记“表”的顶部为A．太阳光线通过顶部A投影到“圭”上的点为B，已知甲、乙两地之间的距离约为20千里．若同一日内，甲地中直线AB与地面所成的角为，且，则甲地日影长是乙地日影长的（

）

A． B． C． D．28．由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式．一般地，存在一个（）次多项式（），使得，这些多项式称为切比雪夫（P．L．Tschebyscheff)多项式．运用探究切比雪夫多项式的方法可得（

）A． B．C． D．29．质点和在以坐标原点为圆心，半径为1的圆上逆时针做匀速圆周运动，同时出发．的角速度大小为，起点为圆与轴正半轴的交点；的角速度大小为，起点为射线与圆的交点．则当与重合时，的坐标可以为（

）A． B． C． D．30．若，则下列说法正确的是（

）A．的最小正周期是B．的对称轴方程为，C．存在实数，使得对任意的，都存在且，满足，D．若函数，，（是实常数），有奇数个零点，则三、解答题31．已知a，b，c为三角形的三边．(1)求证：；(2)若，求证：．32．已知定义域为的函数是奇函数，当时，.(1)求函数的解析式；(2)判断函数的单调性；(3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.33．水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具，工作示意图如图所示．设水车（即圆周）的直径为3米，其中心（即圆心）O到水面的距离b为1.2米，逆时针匀速旋转一圈的时间是80秒．水车边缘上一点P距水面的高度为h（单位；米），水车逆时针旋转时间为t（单位：秒）．当点P在水面上时高度记为正值；当点P旋转到水面以下时，点P距水面的高度记为负值．过点P向水面作垂线，交水面于点M，过点O作PM的垂线，交PM于点N．从水车与水面交于点Q时开始计时（），设，水车逆时针旋转秒转动的角的大小记为．

(1)求与的函数解析式；(2)当雨季来临时，河流水量增加，点O到水面的距离减少了0.3米，求∠QON的大小（精确到1°）；(3)若水车转速加快到原来的2倍，直接写出与的函数解析式．（参考数据：）34．设是角的终边上任意一点，其中，，并记．若定义，，．（Ⅰ）求证是一个定值，并求出这个定值；（Ⅱ）求函数的最小值．35．在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦函数：，双曲余弦函数：.（e是自然对数的底数，）.(1)计算的值；(2)类比两角和的余弦公式，写出两角和的双曲余弦公式：______，并加以证明；(3)若对任意，关于的方程有解，求实数的取值范围.《山东省济南市山东师大附中2022-2023学年高一下学期数学竞赛选拔（初赛）试题》参考答案题号12345678910答案ACACCCABBB题号11121314151617181920答案DBADBBDBDA题号21222324252627282930答案CACCBADACBCADAD1．A【分析】由题意知需要大于的最小值，求出其最小值即可得.【详解】由题意得，又，此时，故.故选：A.2．C【分析】可证明集合A的正数至多有3个，负数至多有3个，故可判断n的最大值.【详解】不妨设，若集合A中的正数个数不小于4，取，可得，取，可得，因此，矛盾．因此集合A的正数至多有3个，同理，集合A中的负数至多有3个．又考虑，符合题意，因此n的最大值为7．故选：C.3．A【分析】根据集合的补集和并集的运算即可求得.【详解】因为全集，集合，则，又因为，所以.故选：A.4．C【分析】由不等式的解集结合基本不等式得到，，从而利用基本不等式求出的最小值.【详解】由题意可知，方程的两个根为m，，则，解得：，故，，所以，当且仅当，即时取等号，则，所以，当且仅当，即时取等号，故的最小值为2.故选：C.5．C【分析】由得，巧用常数的关系即可求解.【详解】因为，所以，则，当且仅当，即，时，等号成立.故选：C.6．C【分析】由为等腰直角三角形，得到，，然后在中，得到CD判断.【详解】解：由图知：，在中，，所以，即，故选：C7．A【分析】将左侧分式的分子因式分解成的形式，再利用均值不等式的结论进行计算即可以得到结果.【详解】当，时，，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为．所以，即．故选：A.8．B【分析】根据给定图形，用表示7个公司到大公路最近的小公路距离和，，再求出到路口C，D，E，F的距离总和，比较大小作答.【详解】观察图形知，七个公司要到中转站，先都必须沿小公路走到小公路与大公路的连接点，令到、到、到、到、到、到、到的小公路距离总和为，，路口为中转站时，距离总和，路口为中转站时，距离总和，路口为中转站时，距离总和，路口为中转站时，距离总和，显然，所以这个中转站最好设在路口.故选：B【点睛】思路点睛：涉及实际问题中的大小比较，根据实际意义设元，列式表示出相关量，再用不等式的相关性质比较即可.9．B【分析】对恒成立问题，可以任取自变量的值，式子均成立．围绕已知条件，通过，得到方程组求解即可．【详解】由条件对任意实数，都有，知成立当时，有成立，成立，，①,②由①②可得，.故选：B．10．B【分析】根据条件可得出函数是以4为周期的周期函数，作出，的图象，根据函数为偶函数，原问题可转化为当时两函数图象至少有4个交点，根据数形结合求解即可.【详解】因为，且为偶函数所以，即，所以函数是以4为周期的周期函数，作出，在同一坐标系的图象，如图，因为方程至少有8个实数解，所以，图象至少有8个交点，根据，的图象都为偶函数可知，图象在y轴右侧至少有4个交点，由图可知，当时，只需，即，当时，只需，即，当时，由图可知显然成立，综上可知，.故选：B【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．11．D【分析】先根据判断a接近2，进一步对a进行放缩，，进而通过对数运算性质和基本不等式可以判断a>2；根据b的结构，构造函数，得出函数的单调性和零点，进而得到a,b的大小关系，最后再判断b和2的大小关系，最终得到答案.【详解】.构造函数：，易知函数是R上的减函数，且，由，可知：，又，∴，则a>b.又∵，∴a>b>2.故选：D.【点睛】对数函数式比较大小通常借助中间量，除了0和1之外，其它的中间量需要根据题目进行分析，中间会用到指对数的运算性质和放缩法；另外，构造函数利用函数的单调性比较大小是比较常用的一种方法，需要我们对式子的结构进行仔细分析，平常注意归纳总结.12．B【分析】根据直角三角形中的定义写出，用表示出，然后分析可得．【详解】由已知，，则，又，，，，即，，所以.故选：B．13．A【分析】首先化简函数，再结合原函数的特征，求函数的定义域，以及根据三角函数的性质判断周期，值域和对称性.【详解】，由，，得，即的定义域为，①错误；的定义域关于原点对称，故的最小正周期与函数的最小正周期一致，均为，②正确；当，，，时，的值分别为1，1，，，考虑周期性可知，的值域为，③正确；令，得，即图象的对称轴为直线，④错误，故选：A.14．D【分析】利用三角恒等变形及诱导公式化简可得结果．【详解】由题意可得，.故选∶D．15．B【分析】利用圆心角所对应的弧长是即可求解.【详解】设圆周长为，半径长为，两地间的弧长为，对应的圆心角为，的圆心角所对应的弧长就是圆周长，的圆心角所对应的弧长是，即，于是在半径为的圆中，的圆心角所对的弧长为：，.当为5000古希腊里，，即时，古希腊里.故选：B.16．B【分析】根据给定条件，求出甲地、乙地的日影长，即可计算甲、乙两地的距离作答.【详解】依题意，甲地中线段AB的长为寸，则甲地的日影长为寸，于是乙地的日影长为寸，甲、乙两地的日影长相差12寸，所以甲、乙两地之间的距离是12千里.故选：B17．D【分析】由题意只需最大，设小南眼睛所在的位置点为点，过点做直线的垂线，垂足为，求出，，设，则，求出，，代入，利用基本不等式求解即可.【详解】由题意可得为锐角，故要使最大，只需最大，设小南眼睛所在的位置点为点，过点做直线的垂线，垂足为，如图，则依题意可得（cm），（cm），，设，则，且，，故，当且仅当即时等号成立，故使观赏视角最大，小南离墙距离应为cm.故选：D.18．B【分析】利用诱导公式进行化简，然后查表即可得到结果.【详解】由题意，，查表可．故选：B.19．D【分析】根据题意可得数字黑洞为123，然后利用诱导公式即得.【详解】根据“数字黑洞”的定义，任取数字2021，经过一步之后为314，经过第二步之后为123，再变为123，再变为123，所以数字黑洞为123，即，∴.故选：D.20．A【分析】由题意可得，，再根据结合两角差的正切公式即可得解.【详解】由题意可得，，所以，即第二次的“晷影长”是“表高”的1倍.故选：A.21．C【分析】将代入，结合三角恒等变换化简可得结果.【详解】将代入，可得.故选：C.22．A【分析】利用新定义得出，然后结合换元法求出结果即可.【详解】由，得，即，整理得，令，则，解得，因为，所以，，所以.故选：A23．C【分析】利用圆的性质及周长公式即可求解.【详解】设地心为，依题意可得，，，设地球的周长为，半径为，则，所以km.故选：C24．C【分析】由图形可知，则可求出，再利用二倍角公式可求出，然后利用诱导公式可求得结果.【详解】由图形可知，则，所以，所以，故选：C25．B【分析】结合三角函数图像的特征和性质，将实际问题转化为对应参数求解；【详解】根据题意设，，因为某摩天轮最高点距离地面高度为99，转盘直径为90，所以，该摩天轮最低点距离地面高度为9，所以，解得：.因为开启后按逆时针方向匀速旋转，旋转一周需要21所以，解得，因为时，，故，即，解得：.所以.故选：B26．AD【分析】根据题意，结合条件可得的值，从而求得函数的解析式，然后根据正弦型函数的性质，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】由题意，，，所以，则，又点，此时代入可得，解得，又，所以，故A正确；因为，当时，，所以函数先增后减，故B错误；当时，所以，则，则，故C错误；当时，，的纵坐标为，横坐标为，所以，故D正确；故选：AD27．AC【分析】根据题意求出甲地的日影长，从而可求出乙地的日影长，进而可求出甲地日影长与乙地日影长的比.【详解】依题意，甲地的日影长为寸，因为甲、乙两地之间的距离约为20千里，所以乙地的日影长为寸或寸，因为，，所以甲地日影长是乙地日影长的或．故选：AC．28．BC【分析】通过求，来判断出正确选项.【详解】，所以，A错误.，所以，B正确..所以，由于，所以，由于，所以，所以由解得，所以，C正确.，所以D错误.故选：BC【点睛】三角函数化简求值问题，关键是根据题意，利用三角恒等变换的公式进行化简.29．AD【分析】设两质点重合时，所用时间为，则重合点坐标为，通过题意得到，结合周期性逐一代入判断即可.【详解】设两质点重合时，所用时间为，则重合点坐标为，由题意可知，两质点起始点相差角度为，则，解得，若，则，则重合点坐标为，若，则，则重合点坐标为，即，若，则，则重合点坐标为，即，根据周期性可知，其余重合点与上述点重合，故A和D正确，B和C错误.故选：AD【点睛】思路点睛：本题考查三角函数定义以及诱导公式，通过设两质点重合时，所用时间为，得到重合点坐标为，结合角度差得到，根据三角函数周期性以及诱导公式判断选项即可.本题考查转化与化归能力，属于中档题.30．AD【分析】由题设得，根据三角形函数与的周期、对称轴变化性质判断最小正周期和对称轴，根据方程恒能成立有，且使能成立求a的范围即可，利用在的图象，根据零点个数确定b的范围，结合对称性求零点的和.【详解】由题设，所以，故，由的最小正周期为，则的最小正周期为，同理的最小正周期为，则的最小正周期为，A正确；对于，令，则对称轴方程为且，B错误；对任意有，，且满足且，而的图象如下：

所以，则，所以或，无解，即不存在这样的a，C错误；由可转化为与交点横坐标，而上图象如下：

函数有奇数个零点，由图知：，此时共有9个零点，、、、、、、，，所以，D正确.故选：AD【点睛】关键点点睛：求得的解析式，应用类比思想，根据与最小正周期、对称轴的关系得到的周期和对称轴；由对任意有，，且满足且，进而转化为集合的包含关系求a范围；由的区间图象及其对称性求零点的和.31．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）