（人教A版）必修二高一数学高一下学期同步考点讲练专题8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系（解析版）

专题8.4空间点、直线、平面之间的位置关系（重难点题型精讲）1．平面(1)平面的概念

生活中的一些物体通常给我们以平面的直观感觉，如课桌面、黑板面、平静的水面等.几何里所说的“平面”就是从这样的一些物体中抽象出来的.(2)平面的画法

①与画出直线的一部分来表示直线一样，我们也可以画出平面的一部分来表示平面.我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面.

②当平面水平放置时，如图(1)所示，常把平行四边形的一边画成横向；当平面竖直放置时，如图(2)所示，常把平行四边形的一边画成竖向.(3)平面的表示方法

平面一般用希腊字母,,,表示，也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称.如图中的平面可以表示为：平面、平面ABCD、平面AC或平面BD.2．点、直线、平面的位置关系的符号表示点、直线、平面的位置关系通常借助集合中的符号语言来表示，点为元素，直线、平面都是点构成的集合.点与直线(平面)之间的位置关系用符号“”“”表示，直线与平面之间的位置关系用符号“”“”表示.点、直线、平面之间位置关系的符号表示举例如下：3．三个基本事实及基于基本事实1和2的三个推论(1)三个基本事实及其表示

(2)三个基本事实的作用

基本事实1：①确定一个平面；②判断两个平面重合；③证明点、线共面.

基本事实2：①判断直线是否在平面内，点是否在平面内；②用直线检验平面.

基本事实3：①判断两个平面相交；②证明点共线；③证明线共点.(2)基本事实1和2的三个推论4．空间中直线与直线的位置关系(1)三种位置关系

我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.于是，空间两条直线的位置关系有三种：(2)异面直线的画法

为了表示异面直线a,b不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托，如图所示.5．空间中直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系有且只有三种，具体如下：6．空间中平面与平面的位置关系(1)两种位置关系两个平面之间的位置关系有且只有以下两种，具体如下：(2)两种位置关系平行平面的画法技巧

画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行.7．平面分空间问题一个平面将空间分成两部分，那么两个平面呢?三个平面呢?

(1)两个平面有两种情形：

①当两个平面平行时，将空间分成三部分，如图(1)；

②当两个平面相交时，将空间分成四部分，如图(2).(2)三个平面有五种情形：

①当三个平面互相平行时，将空间分成四部分，如图8(1)；

②当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，将空间分成六部分，如图(2)；

③当三个平面相交于同一条直线时，将空间分成六部分，如图(3)；

④当三个平面相交于三条直线，且三条交线相交于同一点时，将空间分成八部分，如图(4)；

⑤当三个平面相交于三条直线，且三条交线互相平行时，将空间分成七部分，如图(5).【题型1平面的基本性质及推论】【方法点拨】根据平面的基本性质及其推论，结合题目条件，进行求解即可.【例1】下列命题中，正确命题的个数是（

）①四边相等的四边形为菱形；②若四边形有两个对角都为直角，则这个四边形是圆内接四边形；③“平面不经过直线”的等价说法是“直线上至多有一个点在平面内”；④若两个平面有一条公共直线，则这两平面的所有公共点都在这条公共直线上．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解题思路】根据空间四边形可判断①②错误，有平面的基本性质可判断③④正确.【解答过程】由空间四边形可判断①②错误.“平面不经过直线”即直线与平面相交或者平行，所以③正确.由平面的基本性质，如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线,可判断④正确.故选：B.【变式1-1】如图，α∩β=l，A,B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l=M，过A,B,C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过（

）A．点A B．点B C．点C但不过点M D．点C和点M【解题思路】利用点线面的位置关系证得MC⊂γ与MC⊂β，从而得到β∩γ=MC，据此解答即可.【解答过程】对于AB，易得A,B∉β，故必不在γ与β的交线上，故AB错误；对于CD，因为过A,B,C三点的平面记作γ，所以面ABC与γ是同一个面，因为直线AB∩l=M，所以M∈AB⊂面ABC，则M∈γ，又C∈面ABC，则C∈γ，所以MC⊂γ；因为AB∩l=M，α∩β=l，所以M∈l⊂β，又C∈β，所以MC⊂β，所以β∩γ=MC，所以γ与β的交线必通过点C和点M，故C错误，D正确.故选：D．【变式1-2】已知α、β为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理中错误的是（

）A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β，则a⊂βB．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β，则直线MN⊂α，直线MN⊂βC．A∈α，A∈β，则α∩β=AD．A、B、M∈α，A、B、M∈β，且A、B、M不共线，则α、β重合【解题思路】利用基本事实2可判断AB选项；利用基本事实3可判断C选项；利用基本事实1可判断D选项.【解答过程】对于A选项，A∈a，A∈β，B∈a，B∈β，由基本事实2可知a⊂β，A对；对于B选项，M∈α，N∈α，则直线MN⊂α，同理可知，直线MN⊂β，B对；对于C选项，A∈α，A∈β，则A为平面α、β的一个公共点，但平面α、β相交于过点A的一条直线，而不是点A，C错；对于D选项，A、B、M∈α，且A、B、M不共线，则A、B、M可确定平面α，同理可知，A、B、M可确定平面β，故α、β重合，D对.故选：C.【变式1-3】下列命题中①空间中三个点可以确定一个平面.②直线和直线外的一点，可以确定一个平面.③如果三条直线两两相交，那么这三条直线可以确定一个平面.④如果三条直线两两平行，那么这三条直线可以确定一个平面.⑤如果两个平面有无数个公共点，那么这两个平面重合.真命题的个数为（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解题思路】根据空间位置关系可直接判断各命题.【解答过程】命题①：空间中不共线三个点可以确定一个平面，错误；命题②：直线和直线外的一点，可以确定一个平面，正确；命题③：三条直线两两相交，若三条直线相交于一点，则无法确定一个平面，所以命题③错误；命题④：如果三条直线两两平行，那么这三条直线不能确定一个平面，所以命题④错误；命题⑤：两个平面有无数个公共点，则两平面可能相交，所以命题⑤错误；故选：A.【题型2点共线、点线共面问题】【方法点拨】证明三个或三个以上的点在同一条直线上，主要依据是基本事实3.证明点、线共面的主要依据是基本事实1、基本事实2及其推论，常用的方法有：(1)辅助平面法，先证明有关点、线确定平面，再证明其余点、线确定平面，最后证明平面,重合；(2)纳入平面法，先由条件确定一个平面，再证明有关的点、线在此平面内.【例2】如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，(1)证明：E、F、D、B四点共面；(2)对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC,BD交于点(3)证明：BE、DF、CC【解题思路】（1）证明EF//BD，即可说明E、F、D、B四点共面.（2）先证明点O∈面AA1C1C和O∈面BDC1，即点O在面AA1C1C与面BDC（3）延长DF,BE交于G,由于面DCG∩面BCG=CC1，则G在交线【解答过程】（1）连接EF,BD,B∵在长方体ABCD−A1B1∵E、F分别是B1C1和C1∴EF//BD，∴E、F、D、B四点共面；（2）∵AA1//CC1O∈A1C,A1C⊂面∵对角线A1C与平面BDC1交于点O，O在面AA1C1C与面BDC1的交线上，∵AC∩BD=M∴面AA1C1C∩面BDC1=C（3）延长DF,BE交于G，∵DG⊂面DCG，∴G∈DG，∴G∈面DCG，∵BE⊂面BCG，∴G∈BE，∴G∈面BCG，∵面DCG∩面BCG=CC1，∴G∈CC1，∴BE、【变式2-1】如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG:GC=DH:HC=1:2.(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线.【解题思路】（1）根据已知条件，可得EF∥BD以及GH∥（2）因为AC是平面ABC和平面ACD的交线，只需证明P点是平面ABC和平面ACD的交点，即可证得P∈AC，进而得到三点共线.【解答过程】（1）因为E，F分别为AB，AD的中点，所以EF∥在△BCD中，因为BGGC=DHHC=12所以E，F，G，H四点共面.（2）因为EG∩FH=P，所以P∈EG.由已知可得，E∈AB，G∈BC，AB⊂平面ABC，AC⊂平面ABC，所以EG⊂平面ABC，所以P∈平面ABC.同理P∈FH，FH⊂平面ADC，P∈平面ADC.所以P为平面ABC与平面ADC的一个公共点.又平面ABC∩平面ADC=AC，所以P∈AC，所以P，A，C三点共线.【变式2-2】如图所示，在正方体ABCD−A1B1C1D(1)求证：CE，D1(2)在（1）的结论中，G是D1E上一点，若FG交平面ABCD于点H，求证：P，E，【解题思路】（1）连接A1B，CD1，可得到EF//CD1且EF≠CD1，则EC与D1F相交，设交点为P，则能得到P（2）可证明P，E，H都在平面PCD1与平面【解答过程】（1）证明：连接A1B，C正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F∵CD1//A1B且CD1=A1B，∵P∈EC，EC⊂平面ABCD，∴P∈平面ABCD；又∵P∈FD1，FD1⊂平面ADD1A1∵平面ABCD∩平面ADD1A1=AD，∴P∈AD，（2）在（1）的结论中，G是D1E上一点，FG交平面ABCD于点则FH⊂平面PCD1，∴H∈平面PCD1，又∴H∈平面PCD1∩同理，P∈平面PCD1∩平面ABCD，E∈平面PC∴P，E，H都在平面PCD1与平面ABCD的交线上，∴P，E，【变式2-3】如图，在三棱锥A−BCD中，作截面PQR，PQ，CB的延长线交于点M，RQ，DB的延长线交于点N，RP，DC的延长线交于点K．判断M，N，K三点是否共线，并说明理由．【解题思路】由点共面、面共线可得答案.【解答过程】M，N，K三点共线．理由如下：因为M、N即在平面BCD内又在平面PRQ内，所以M、N在平面BCD与平面PRQ的交线上，所以MN是平面BCD与平面PRQ的交线，N、K即在平面BCD内又在平面NKR内，所以N、K在平面BCD与平面NKR的交线上，所以NK是平面BCD与平面NKR的交线，又平面NKR与平面PRQ是同一平面，所以MN与NK是同一条直线，即M，N，K三点共线．【题型3直线与直线的位置关系】【方法点拨】1.定义法：不同在任何一个平面内的两条直线异面.2.推论法：一条直线上两点与另一条与它异面的直线上两点所连成的两条直线为异面直线.3.证明立体几何问题的一种重要方法(反证法)：第一步，提出与结论相反的假设；第二步，由此假设推出与已知条件或某一基本事实、定理或某一已被证明是正确的命题相矛盾的结果；第三步，推翻假设，从而证明原结论是正确的.【例3】设A、B、C、D是某长方体四条棱的中点，则直线AB和直线CD的位置关系是（

）.A．相交 B．平行 C．异面 D．无法确定【解题思路】在长方体中，延长ME，DC，AB，即会得到直线AB和直线CD的位置关系.【解答过程】如图，延长ME使ME=EF，因为A，B，C，D为棱的中点，所以延长DC，AB都会交EF中点H处，所以直线AB和直线CD的位置关系为相交.故选：A.【变式3-1】已知三条直线l1，l2，l3满足l1∥l2且lA．平行 B．垂直 C．共面 D．异面【解题思路】根据空间直线平行垂直的定义，结合等角定理进行判定.【解答过程】若l1∥l2且【变式3-2】如图，P是正方体ABCD−A1B1C1DA．DD1 B．AC C．AD【解题思路】根据异面直线的知识确定正确答案.【解答过程】P在边A1C1上运动，则BP⊂平面A1BC1，当P运动到A1C1的中点P1时，BP与DD1相交，A选项错误.AC//A1C1，A,C,C【变式3-3】下图是正方体的平面展开图,在这个正方体中,下列判断不正确的是（

）A．BF∥DN B．CM∥BNC．DF⊥BN D．直线AE与DN的夹角为60【解题思路】将正方体进行还原,再根据正方体中的平行垂直之间关系即可判断选项的正误.【解答过程】解:由题知将正方体还原如图所示,由图可知BF⊥DN,CM//BN,故选项A错误,选项B正确;∵AE//连接AC,CE,∵DN//CE,且△ACE为等边三角形,∴∠AEC=60∘,即直线AE与故选:A.【题型4直线与平面的位置关系】【方法点拨】判断空间中直线与平面的位置关系，一般先作出几何图形，直观判断，然后依据基本事实给出证明.另外，借助模型(如正方体、长方体)举反例也是解决这类问题的有效方法.【例4】如图，在正方体ABCD−A1B1C1DA．直线在平面内 B．直线与平面相交但不垂直C．直线与平面相交且垂直 D．直线与平面平行【解题思路】根据正方体性质判断直线BC与面A1【解答过程】由正方体的性质知：面A1AC1即为面A1ACC故选：B.【变式4-1】若m,n为两条不同的直线，α,β为两个不同的平面，则下列结论正确的是（

）A．若m//α,α//β，则m//βB．若m⊥α,α⊥β，则m//βC．若m//n,n//α，则m//αD．若m⊥α,α//β，则m⊥β【解题思路】根据空间中直线与平面的位置关键逐项判断即可【解答过程】解：对于A，若m//α,α//β，则m//β或m⊂β，故A不正确；对于B，若m⊥α,α⊥β，则m//β或m⊂β，故B不正确；对于C，若m//n,n//α，则m//α或m⊂α，故C不正确；对于D，若m⊥α,α//β，则m⊥β，故D正确.故选：D.【变式4-2】l1、l2是空间两条直线，α是平面，以下结论正确的是（A．如果l1∥α，l2∥α，则一定有l1∥B．如果l1⊥l2，C．如果l1⊥l2，l2⊥α，则一定有D．如果l1⊥α，l2∥α【解题思路】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系逐一核对四个选项得答案．【解答过程】对于A，若l1∥α，l2∥α，则有l1∥l2或l1与l2相交或对于B、C，如果l1⊥l2，l2⊥α，则有l1∥α或对于D，如果l1⊥α，则l1垂直α内的所有直线，又l2∥α，则过l2与α相交的平面交α于a，则l2∴l1⊥l2，故D正确．故选：D【变式4-3如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E，A．在正方体ABCD−A1BB．在正方体ABCD−A1BC．在正方体ABCD−A1BD．平面α截正方体ABCD−A【解题思路】根据题意可得BC交平面α于点F，A1B1交平面α于点E，D1D故不存在某条棱与平面α平行，即可以判断选项A错误；由六个面的12条面对角线与平面α都相交，即可判断选项B错误；体对角线全部与面α相交，即可判断选项C错误；补全图形可得平面α截正方体AC1所得的截面为五边形【解答过程】对于选项A，BC交平面α于点F，BC⊄平面α，∴BC,AD,A1DA1B1交平面α于点E，A∴A1B1,C1D1,AB,CD都不与平面α平行，∴D1D,观察几何体可知六个面的12条面对角线与平面α都相交，故B错误；四条体对角线全部与面D1如下图，取AB中点为G，易得D1E//DG，取CD中点为H，连接BH，易得再取CH中点为M，连接FM，则FM//BH，∴FM//D1E，∴FM是平面α延长MF，与AB的延长线交于N，连接EN，交BB1于P，则可得五边形D1EPFM即为平面α故选：D.【题型5平面与平面的位置关系】【方法点拨】两个平面之间的位置关系有且只有两种：平行和相交.判断两个平面之间的位置关系的主要依据是两个平面之间有没有公共点.解题时要善于将自然语言或符号语言转换成图形语言，借助空间图形进行判断.【例5】平面α上有三个不共线点到平面β距离相等，则平面α与平面β的位置关系是（

）A．相交 B．平行 C．垂直 D．相交或平行【解题思路】根据面面关系结合图形来分析判断.【解答过程】如图1，若α∥β，则平面α上任一点到平面β距离相等，故平面α上一定存在三个不共线点到平面β距离相等；如图2，若α与β相交，则平面α上一定存在位于异侧的三个不共线点到平面β距离相等；故平面α与平面β的位置关系是相交或平行.故选：D.【变式5-1】在四棱台ABCD−A1B1C1DA．相交 B．平行C．不确定 D．异面【解题思路】根据棱台的定义即可得出结果.【解答过程】解：如图所示，由棱台的定义可知，平面ABB1A【变式5-2】设l、m是不同的直线，α、β是不同的平面，下列命题中的真命题为（）A．若l∥α，m⊥β，l⊥m，则α⊥β B．若l∥α，m⊥β，l⊥m，则α∥βC．若l∥α，m⊥β，l∥m，则α⊥β D．若l∥α，m⊥β，l∥m，则α∥β【解题思路】在A中，α与β相交或平行；在B中，α与β相交或平行；在C中，由面面垂直的判定定理得α⊥β；在D中，由面面垂直的判定定理得α⊥β．【解答过程】解：由l、m是不同的直线，α、β是不同的平面，知：在A中，若l∥α，m⊥β，l⊥m，则α与β相交或平行，故A错误；在B中，若l∥α，m⊥β，l⊥m，则α与β相交或平行，故B错误；在C中，若l∥α，m⊥β，l∥m，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；在D中，若l∥α，m⊥β，l∥m，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D错误．故选：C．【变式5-3】给出下列三个命题：①若平面α/平面β，β⊥平面γ，则α⊥γ②若平面α/平面β，β/平面γ，则③若平面α⊥平面β，β⊥平面γ，则α⊥γ．其中真命题的个数是．A．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】由面面平行及面面垂直的性质进行判断即可【解答过程】两平行平面中的一个平面和一平面垂直，则另一平面也和这个平面垂直，①正确；由平行平面的递推性可知②正确；若平面α⊥平面β，β⊥平面γ，则α⊥γ或α//γ，故③错误；故选B.【题型6平面分空间问题】【方法点拨】掌握平面分空间的几种情况，根据题目条件，进行求解即可.【例6】三个平面不可能将空间分成（

）个部分A．5 B．6 C．7 D．8【解题思路】分三个平面互相平行，三个平面有两个平行，第三个平面与其它两个平面相交，三个平面交于一条直线，三个平面两两相交且三条交线平行，三个平面两两相交且三条交线交于一点，六种情况讨论即可.【解答过程】若三个平面互相平行，则可将空间分为4个部分；若三个平面有两个平行，第三个平面与其它两个平面相交，则可将空间分为6个部分；若三个平面交于一条直线，则可将空间分为6个部分；若三个平面两两相交且三条交线平行，则可将空间分为7部分；若三个平面两两相交且三条交线交于一点，则可将空间分为8部分，故n的取值为4，6，7，8，所以n不可能是5.故选：A.【变式6-1】空间中两个平面将空间分成的部分数为（

）A．2 B．3 C．4 D．3或4【解题思路】两个平面相交时，可以将空间分成4个部分；两个平面不相交时将空间分成3个部分．【解答过程】当两个平面平行时，将空间分成3部分；当两个平面相交时，将空间分成4部分.故选：D.【变式6-2】空间的4个平面最多能将空间分成（

）个区域．A．13 B．14 C．15 D．16【解题思路】根据平面的性质进行归纳推理．前三个平面与第4个平面相交，最多有三条交线，这三条交线把第四个平面，最多分成7部分，而每一部分就是第四个平面与前三个平面所分空间部分的截面，这个截面把所在空间部分一分为二，由此可得4个平面最多能将空间分成的区域数．【解答过程】一个平面把空间分成2部分，两个平面最多把空间分面4部分，3个平面最多把空间分布8个部分，前三个平面与第4个平面相交，最多有三条交线，这三条交线把第四个平面，最多分成7部分，这里平面的每一部分就是第四个平面与前三个平面分空间部分的截面，这个截面把所在空间部分一分为二，这样所有空间部分的个数为8+7=15．故选：C．【变式6-3】三棱柱各面所在平面将空间分为（

）A．14部分 B．18部分 C．21部分 D．24部分【解题思路】把一个三棱柱的俯视图，延长三边，可把平面分成7部分，还原为三棱柱，空间被两个底面分成上下3层，每层都有7部分，即可求解.【解答过程】想象一个没有上下底的三棱柱（上下两边无限延伸），将三棱柱的侧面延伸出来，俯视图如图所示，分成7个区域.拿两个水平的平面去截（其实就是三棱柱上下底面所在平面），分成上中下三个大块，每个大块7个区域，共21个区域.故选：C.专题8.4空间点、直线、平面之间的位置关系（重难点题型检测）一．选择题1．下列命题是真命题的是（

）A．如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合B．若四点不共面，则其中任意三点不共线C．空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内D．三个不重合的平面最多可将空间分成七个部分【解题思路】A.这两个平面可能相交或重合，所以该选项错误；B.该选项正确；C.空间中，相交于同一点的三条直线不一定在同一平面内，所以该选项错误；D.三个不重合的平面最多可将空间分成八个部分，所以该选项错误.【解答过程】A.如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面可能相交或重合，所以该选项错误；B.若四点不共面，则其中任意三点不共线，所以该选项正确；C.空间中，相交于同一点的三条直线不一定在同一平面内，如三棱锥P−ABC,相交于同一点P的三条直线PA,PB,PC不在同一平面内，所以该选项错误；D.三个不重合的平面最多可将空间分成八个部分，所以该选项错误.故选：B.2．如图，正四棱台中，A'D'所在的直线与BA．相交直线 B．平行直线 C．不互相垂直的异面直线 D．互相垂直的异面直线【解题思路】首先证明A'D'//平面【解答过程】在正四棱台中,A'D'//B'C',又所以A'D'//平面BCC'B',又BB又因为四边形BCC'B'是等腰梯形,所以B所以BB'与故选：C.3．已知平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面可能的交线有()A．1条或2条 B．2条或3条 C．1条或3条 D．1条或2条或3条【解题思路】根据平面β与平面γ的位置关系，分类讨论，即可求解.【解答过程】由题意，当三个平面两两相交且过同一直线时，它们有1条交线；当平面β和γ平行时，它们的交线有2条；当这三个平面两两相交且不过同一条直线时，它们有3条交线；故选：D.4．在空间四边形ABCD的各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，若EF∩GH＝P，则点P（

）A．一定在直线BD上 B．一定在直线AC上C．既在直线AC上也在直线BD上 D．既不在直线AC上也不在直线BD上【解题思路】由题意可得P∈平面ABC，P∈平面ACD，又平面ABC∩平面ACD＝AC，则P∈AC，可得答案．【解答过程】如图，∵EF⊂平面ABC，GH⊂平面ACD，EF∩GH＝P，∴P∈平面ABC，P∈平面ACD，又平面ABC∩平面ACD＝AC，∴P∈AC，即点P一定在直线AC上．故选：B．5．在正方体中，E、F、G、H分别是该点所在棱的中点，则下列图形中E、F、G、H四点共面的是（

）A．B．C．D．【解题思路】对于B，证明EH//FG即可；而对于BCD，首先通过辅助线找到其中三点所在的平面，然后说明另外一点不在该平面中即可.【解答过程】对于选项A，如下图，点E、F、H、M确定一个平面，该平面与底面交于FM，而点G不在平面EHMF上，故E、F、G、H四点不共面；对于选项B，连结底面对角线AC，由中位线定理得FG//AC，又EH//AC，则EH//FG，故E、F、G、H四点共面对于选项C，显然E、F、H所确定的平面为正方体的底面，而点G不在该平面内，故E、F、G、H四点不共面；对于选项D，如图，取部分棱的中点，顺次连接，得一个正六边形，即点E、G、H确定的平面，该平面与正方体正面的交线为PQ，而点F不在直线PQ上，故E、F、G、H四点不共面．故选：B.6．在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为A．32 B．1010 C．35【解题思路】根据异面直线夹角的概念平移找角，再结合余弦定理计算即可.【解答过程】解：连接A1C1交B1D1于Q，取由正方体可知，D1C1//DC,D1C1=DC，又A1C即QP//CM,QP=CM，所以四边形PCMQ为平行四边形，所以MQ//CP,MQ=CP则直线CP与B1D1所成角为∠MQD1或其补角，在△D1MQ中，D17．对于两条不同直线m，n和两个不同平面α，β，下列选项错误的为（

）A．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n B．若m∥α，n∥β，α⊥βC．若m∥α，α∥β，则m∥β或m⊂β D．若m⊥α【解题思路】根据空间中的线面关系逐一判断即可.【解答过程】若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n，故A正确；由m∥α，n∥β，α⊥β推不出m⊥n或m∥n，故B错误；若m∥α，α∥β，则m∥故选：B.8．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥ABCD，NB⊥ABCD．且MD＝NB＝1．则下列结论中：①MC⊥AN；②DB∥平面AMN；③平面CMN⊥平面AMN；④平面DCM∥平面ABN.所有假命题的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【解题思路】由题可知该几何体的顶点均在边长为1的正方体的顶点上,再根据线面平行与垂直以及面面垂直平行的判定逐个判断即可.【解答过程】由题画出该几何体外接的正方体.对①,因为MC//EB,AN⊥EB,故MC⊥AN成立.故①正确.对②,因为DB//MN,MN⊂平面AMN,故DB∥平面AMN成立.故②正确.对③,连接AC易得A−MNC为正四面体.故平面CMN⊥平面AMN不成立.故③错误.对④,正方体中平面DCM与平面ABN分别为前后两面,故④正确.故选：B.二．多选题9．如图所示，已知在正方体ABCD−A1B1C1D1中，l⊂平面A．l与AD平行B．l与AB异面C．l与CD所成的角为30°D．l与BD垂直【解题思路】依次分析每个选项，假设l∥AD，得出矛盾，A错误；取l为A1C1所在直线，满足BD；取l与C【解答过程】假设l∥AD，则由AD∥BC∥B1C1可得l∥B1C1，与“l与B1C1不平行”矛盾，所以l与AD平行，A错误；取l为A1C1所在直线，满足B，又因为l⊥B1D1，B10．如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，P，Q分别是棱A．l过点BB．l不一定过点BC．DP的延长线与D1A1D．DQ的延长线与D1C1【解题思路】连接PB1、DB1，在正方体中可得四边形DPB1Q是平行四边形，由点共面得点共线可判断AB；DP的延长线与D1由点共面得点共线可判断CD.【解答过程】连接PB1、QB1，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，取BB1的中点N所以B1如图DP的延长线与D1A1的延长线的交点F，DQ的延长线与D1C1的延长线交点E，因为DF⊂平面DPB1Q，所以F∈平面DPB1Q，因为D1A1⊂平面A1B1C1D1，所以F∈故选：BC.11．设a,β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，（

）A．若m⊥α,n⊥α，则m∥nB．若m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β，则α∥βC．若α∥β,m⊂α,n⊥β，则m⊥nD．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α【解题思路】垂直于同一平面的两条直线平行，A正确；当m∥n时结论未必成立，B错误；证明CD正确，得到答案.【解答过程】对选项A：垂直于同一平面的两条直线平行，正确；对选项B：当m∥n时结论未必成立，错误；对选项C：α∥β,n⊥β，故n⊥α，又m⊂α，故m⊥n，正确；对选项D：α⊥β，m⊥β，则m∥α或m⊂α，排除m⊂α，则m∥α，正确.故选：ACD.12．如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中，其棱长为3.M，N分别为棱A1B1，BA．截面α和面ABCD的交线与截面α和面ADDB．截面α是一个五边形.C．截面α是一个梯形.D．截面α在顶点D处的内角的余弦值为4【解题思路】做出截面α，依次判断选项即可.【解答过程】延长C1C至C2，使CC2=CC连接C2D，DD2，因同理可得△D2D则C2，D，D2三点共线.连接CD1，BACD1∥BA1.又M故C2D2∥CD则M，N，C2∈C1C2，则C2N⊂平面BB1C1C因∠BEN=∠CEC2，∠NBE=∠C同理，可得D2M⊂平面A1B1C1D1又F∈D2M，D顺次连接DF，FM，MN，对于A，如图可知，截面α和面ABCD的交线为DE，截面α和面ADD1A又几何体棱长为3，BEEC=12，DE=DC2对于BC选项，由图可知B正确，C错误；对于D选项，由图可知截面α在顶点D处的内角为∠FDE，连接EF，因BE∥A1F，BE=又由A选项分析可知，DE=13，DF=cos∠FDE=三．填空题13．点A∈平面α，点A∈平面β，平面α∩平面β=直线l，则点A∈直线l（用集合符号表示）.【解题思路】由题意点A∈平面α∩β，又平面α∩平面β=直线l，分析即得解.【解答过程】由题意，点A∈平面α，点A∈平面β，故点A∈平面α∩β，又平面α∩平β=直线l，故点A∈直线l.故答案为：∈.14．下列命题中，所有正确命题的序号是①③④.①两个相交平面把空间分成4部分.②有两个角是直角的四边形是平面图形.③若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点.④如果分别在两个不同平面上的两条直线有交点，那么交点在两平面的交线上.【解题思路】根据平面的性质依次判断选项即可。【解答过程】对①，两个相交平面把空间分成4部分，故①正确；对②，如图所示：∠ABC=∠ASC=90∘，满足题意，此时为立体图形，故对③，若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点，在两个平面的交线上，故③正确；对④，如果分别在两个不同平面上的两条直线有交点，此时交点为两个平面的公共点，必在两个平面的交线上，故④正确；故答案为：①③④.15．如图，在棱长为2的正四面体(四个面都是正三角形)ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，则异面直线AN，CM所成角的余弦值为23【解题思路】作出异面直线所成的角，在三角形中由余弦定理求解．【解答过程】如图，连接DN，取DN中点G，连接MG，又M是AD中点，则MG//AN，所以异面直线AN，CM所成角是∠CMG或其补角，由已知AN=CM=3，MG=NG=12DN=32△MCG中，cos∠CMG=34+3−742×32×316．如图，ABCD−A1B1C1D1是长方体，O是B1D1①A,M,O三点共线；

②A,M,O,A③A,O,C,M四点共面；

④B,B【解题思路】对于①，利用公理3，证明A,M,O为两个平面的公共部分即可；对于②，③，利用“直线和直线外一点确定一个平面”判断；对于④，根据异面直线的定义，判定直线BB1，直线【解答过程】对于①，两条平行线确定一个平面，即A,C,C1,A1共面，显然平面AB1D1∩平面ACC1A1=A，结合公理三：两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，设平面AB1D1，平面ACC1A1的交线为l，注意到O是B1D1的中点，矩形对角线互相平分，故O也是A1C1的中点，即O∈A1C1，A1C1⊂平面ACC1A1，故O∈平面ACC1A1，又O∈B1D1，B1D1⊂平面AB1D1，故O∈平面AB1D1，即O∈l；由M∈A四．解答题17．将下列符号语言转化为图形语言．（1）a⊂α，b∩α＝A，A∉a．（2）α∩β＝c，a⊂α，b⊂