2025-2026学年福建省龙岩市九年级10月期中测试数学试题【含答案】

page12026学年福建省龙岩市九年级10月期中测试数学试题一、选择题

1.下列方程中，一定是一元二次方程的是（

）．A. B. C. D.

2.抛物线的顶点坐标是（

）A. B. C. D.

3.若是方程的一个解，则的值为（

）A. B. C. D.

4.用配方法解下列方程，其中应在方程两边同时加上的是（

）A. B. C. D.

5.已知抛物线经过点，则该抛物线与轴的另一个交点是（

）A. B. C. D.

6.关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（

）A. B. C.且 D.且

7.已知点、、都在函数＝的图象上，则（）A. B. C. D.

8.对于二次函数，下列说法错误的是（

）A.图象开口向上B.对称轴是直线C.当时，的最大值为D.将图象向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后的顶点坐标为

9.三角形两边长是和，第三边是方程的根，该三角形的周长是（

）A. B. C. D.或

10.定义表示不超过实数的最大整数，如，，，则方程的解为（

）A.或 B.或 C.或 D.或或二、填空题

11.将二次函数转化成顶点式为：______________．

12.已知是方程的根，则代数式的值为_______________

13.在小华的某个微信群中，若每人给其他成员都发一个红包，该微信群共发了个红包，那么这个微信群共有_____________人．

14.将抛物线＝向右平移个单位，再向上平移个单位，得到的抛物线是________．

15.菱形的两条对角线相交于点，若菱形的边长是的一个根，且，该菱形的面积是______________．

16.已知二次函数，当时，二次函数的最大值为，则的值为__________________．三、解答题

17.解下列方程：（1）．（2）．

18.为响应市委市政府提出的建设“绿色襄阳”的号召，我市某单位准备将院内一块长，宽的长方形空地，建成一个矩形花园.要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图所示，要使种植花草的面积为，那么小道进出口的宽度应为多少米？（注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形）

19.如图，抛物线和直线交于、两点．（1）求，两点的坐标；（2）根据图象，写出当取何值时，？

20.关于的一元二次方程．（1）求证：方程总有两个实数根

（2）若方程有一个根不小于，求的取值范围．

21.某种商品的标价为元/件，经过两次降价后的价格为元/件，并且两次降价的百分率相同．求该种商品每次降价的百分率；若该种商品进价为元/件，若以元/件售出，平均每天能售出件，另外每天需支付其他各种费用元，在每件降价幅度不超过元的情况下，若每件降价元，则每天可多售出件，如果每天盈利元，每件应降价多少元?

22.如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”（1）通过计算，判断方程是否是“邻根方程”；（2）已知关于的二次方程（是常数）是“邻根方程”，求的值

23.如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点作轴的垂线，交抛物线于另一点，点，在线段上，分别过点，作轴的垂线，交抛物线于，两点．

（1）求抛物线对应的函数解析式；（2）当四边形为正方形时，求线段的长．

24.如图，矩形中，，，动点从点出发，以每秒的速度向点匀速移动，同时，点从点出发，以每秒的速度向点匀速移动，当其中一点到达终点时停止，同时另一点也随之停止移动．（1）经过多少时间时，四边形为矩形；（2）经过多少时间时，四边形的面积为；（3）经过多少时间时，点和点之间的距离是．

25.如图，抛物线经过点，，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点，设点的横坐标为，连接、．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）当时，求点坐标及四边形的面积；（3）连接，求面积的最大值及此时点的坐标．

参考答案与试题解析2025-2026学年福建省龙岩市九年级10月期中测试数学试题一、选择题1.【答案】A【考点】一元二次方程的定义【解析】根据一元二次方程的定义判断即可．【解答】解：．是一元二次方程，故本选项符合题意；．含有两个未知数，故本选项不合题意；．不是整式方程，故本选项不合题意；．方程整理得，是一元一次方程，故本选项不合题意；故选：．2.【答案】D【考点】y=a（x-h）²+k的图象和性质【解析】本题主要考查了顶点式，顶点坐标是，对称轴是．已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．【解答】解：由，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为．故答案为：．3.【答案】C【考点】一元二次方程的解【解析】本题考查方程的解，以及解一元一次方程，将代入方程求解，即可解题．【解答】解∶是方程的一个解，，解得，故选∶．4.【答案】B【考点】解一元二次方程-配方法【解析】此题暂无解析【解答】解：、应在方程左右两边同时加上，故不符题意；、应在方程左右两边同时加上，故符题意；、原方程移项得，应在方程左右两边同时加上，故不符题意；、应在方程左右两边同时加上，故不符题意；故此题答案为．5.【答案】B【考点】二次函数图象上点的坐标特征【解析】先根据抛物线解析式得到抛物线的对称轴为直线，然后根据抛物线的对称性进行求解即可．【解答】解：抛物线的解析式为，抛物线的对称轴为直线，抛物线经过点，抛物线与轴的另一个交点为，故选．6.【答案】C【考点】一元二次方程的定义根据一元二次方程根的情况求参数【解析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，解得即可．【解答】解：关于的一元二次方程有实数根，，且∆，解得：且，故选：．7.【答案】C【考点】二次函数图象上点的坐标特征【解析】由已知确定函数的对称轴为＝，、、三点到对称轴的距离分别为，，，即可求解；【解答】＝的开口向上，对称轴为直线＝，

、、三点到对称轴的距离分别为，，，

∴，8.【答案】D【考点】二次函数图象的平移规律二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象和性质【解析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值问题，二次函数图象的平移问题，把二次函数解析式化为顶点式得到对称轴和顶点坐标，再根据二次项系数可得开口方向，进而得到增减性，再求出当时的函数值，接着根据“上加下减，左减右加”的平移规律求出平移后的抛物线顶点坐标即可得到答案。【解答】解：抛物线解析式为，抛物线开口向上，对称轴为直线，故、说法正确，不符合题意；当时，随增大而增大，当时，，当时，的最大值为，故说法正确，不符合题意；原抛物线顶点坐标为，将原抛物线的图象向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后的顶点坐标为，即，故说法错误，符合题意；故选：。9.【答案】A【考点】解一元二次方程-因式分解法三角形三边关系【解析】本题考查了三角形三边关系定理，解一元二次方程的应用，关键是求出三角形的三边长．先利用因式分解法求出方程的解，即可得出三角形三边长，再看看是否符合三角形三边关系定理即可．【解答】解：，，或，则，，①当三角形的三边是，，，此时，不符合三角形三边关系定理，②当三角形的三边是，，，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是，故选：．10.【答案】D【考点】解一元二次方程-直接开平方法【解析】根据非负数的性质，得出，再根据新定义运算法则，得出，然后分四种情况：当时，当时，当时和当时，根据新定义运算法则，结合直接开平方法解一元二次方程，计算即可得出答案．【解答】解：，，，①当时，则，，即，解得：；②当时，则，，即，解得：或（舍）；③当时，则，，即，解得或（舍）；④当时，，方程没有实数解；综上所述：方程的解为或或，故选：．二、填空题11.【答案】【考点】把y=ax^2+bx+c化成顶点式【解析】利用配方法求解．【解答】解：由配方法得：，故答案为：．12.【答案】【考点】已知式子的值，求代数式的值【解析】本题考查了一元二次方程的根、求代数式的值，熟练掌握一元二次方程的根的定义是解题的关键．由题意得，则有，再整体代入求值即可．【解答】解：是方程的根，，，．故答案为：．13.【答案】【考点】此题暂无考点【解析】本题考查了一元二次方程的应用，设这个微信群共有人，根据该微信群共发了个红包，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：设这个微信群共有人，依题意得：，解得，（舍去），故答案为：．14.【答案】＝【考点】二次函数图象与几何变换【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答15.【答案】【考点】利用菱形的性质求面积勾股定理的应用利用菱形的性质求线段长解一元二次方程-因式分解法【解析】本题考查了菱形的性质，解一元二次方程-因式分解法，一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．先利用解一元二次方程-因式分解法，求出，然后利用三角形的三边关系进行判断，再利用菱形的性质及勾股定理即可解答．【解答】解：，，或，，当菱形边长是时，，不能组成三角形；该菱形的边长是，如图，连接，交于点，菱形中，，，，，．故答案为：16.【答案】的值为或【考点】二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象和性质【解析】本题考查了二次函数的最值，确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标，当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．先求得抛物线的对称轴，再分情况讨论：①当时，②当时，当时，根据二次函数的性质，得到关于的方程，求解即可．【解答】解：，抛物线开口向下，对称轴为直线，①当时，即时，，在对称轴右侧，随的增大而减小，当时，有最大值为，，解得：；②当时，即时，当时，有最大值为，，解得：，，（不合题意，舍去），③当时，即时，，在对称轴左侧，随的增大而增大，当时，有最大值为，，解得：，综上所述，的值为或．三、解答题17.【答案】（1）（2）【考点】解一元二次方程-公式法解一元二次方程-因式分解法【解析】本题考查了一元二次方程的解法，涉及因式分解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键．先将方程化为一般形式，再利用因式分解法将方程转化为两个一元一次方程求解即可．【解答】（1）解：方程化为，因式分解得，则或，解得：．（2）解：方程化为，因式分解得，则或，解得：．18.【答案】米【考点】一元二次方程的应用——几何图形面积问题【解析】设小道进出口的宽度为米，然后利用其种植花草的面积为平方米列出方程求解即可．【解答】解：设小道进出口的宽度为米，依题意得整理，得，解得，，（不合题意，舍去），答：小道进出口的宽度应为米．19.【答案】解：（1）根据题意得：，

解得：或，

则的坐标是，的坐标是；（2）当时，．【考点】二次函数与不等式（组）【解析】（1）解两个函数解析式组成的方程组求解即可；（2）求时的范围，就是求对应的二次函数的图象在上边时，对应的自变量的范围．【解答】解：（1）根据题意得：，

解得：或，

则的坐标是，的坐标是；（2）当时，．20.【答案】（1）见解析（2）【考点】根的判别式根与系数的关系【解析】（1）计算根的判别式的值，利用配方法得到，根据非负数的性质得到，然后根据判别式的意义得到结论；（2）利用因式分解法解一元二次方程可得出，结合该方程方有一个根不小于，可得出，解之即可得出的取值范围．【解答】解：（1）证明：，，，，方程总有两个实数根；（2）解：，即，，方程有一个根不小于，，．的取值范围是．21.【答案】，元．【考点】解一元二次方程-因式分解法二次函数的应用——增长率问题一元二次方程的应用——增长率问题解一元二次方程-直接开平方法一元二次方程的应用——利润问题【解析】设该种商品每次降价的百分率为，根据该商品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；每件商品的盈利（原来的销售量+增加的销售量），为了减少库存，计算得到的降价多的数量即可．【解答】解：设该种商品每次降价的百分率为，依题意，得：，解得：，（不合题意，舍去）；答：该种商品每次降价的百分率为．解：设每件商品应降价元，根据题意，得：，解方程得，在降价幅度不超过元的情况下，不合题意舍去，答：每件商品应降价元．22.【答案】（1）是，理由见解析（2）或【考点】解一元二次方程-因式分解法【解析】根据解一元二次方程的方法求出已知方程的两个根，再计算两根的差是否为，从而确定方程是否为“邻根方程”；

先解方程求得其根，再根据新定义列出关于的方程，注意有两种情况．【解答】（1）解：解方程得：或，

，

是“邻根方程”；（2）由方程解得：或，

由于关于的二次方程（是常数）是“邻根方程”，

则或，

解得或．23.【答案】（1）（2）【考点】待定系数法求二次函数解析式正方形的性质二次函数综合题【解析】（1）将点代入抛物线中求出解析式为；（2）设，进而求得点坐标为，代入中即可求解．【解答】（1）将点代入抛物线中，得

解得，

抛物线解析式为；（2）设、分别与轴交于点和点，

当四边形为正方形时，设，则，，

点坐标为，代入抛物线中，

得到：，

解得，（负值舍去），

．24.【答案】（1）当时，四边形为矩形；（2）当为时，四边形的面积为．（3）当为或时，点和点的距离为【考点】一元二次方程的应用——几何问题勾股定理的应用几何问题(一元一次方程的应用)根据矩形的性质求线段长【解析】（1）当运动时间为时，根据点，的运动方向及运动速度，即可用含的代数