新高考数学概率黄金32题（教师版）

概率统计黄金32题

一．比赛类题目(共10小题)

1甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：

累计负两场者被淘汰：比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进

行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至

其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．

经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为．

(1)求甲连胜四场的概率；

(2)求需要进行第五场比赛的概率；

(3)求丙最终获胜的概率．

4

解：(1)甲连胜四场只能是前四场全胜，P==．

(2)记事件A为甲输，事件B为乙输，事件C为丙输，故四局内结束比赛的概率为

4

P=P(ABAB)+P(ACAC)+P(BCBC)+P(BABA)=4×=，

故需要进行第五场比赛的概率为1-=．

(3)法一：设事件A为甲输，事件B为乙输，事件C为丙输，

记事件M：甲赢，记事件N：丙赢，则甲赢的基本事件包括：BCBC、ABCBC、ACBCB、BABCC、

BACBC、BCACB、BCABC、BCBAC，

则甲赢终的概率为：

45

P=+×7=；

由对称性可知：乙赢的概率和甲赢的概率相等，

所以丙获胜的概率为P=1-2×=．

3

法二：(1)只打四场比赛，此时丙只需赢三场，即第二场到第四场，其概率P==，

(2)打五场比赛，最后一场丙赢，则丙在第二，三，四场比赛必然输一场，因此要继续打分两种情况

进行讨论：

3

(i)若丙第二场输，则第四场和第五场丙赢，则，概率P==，

3

(ii)若丙第三场输，则第二场和第五场丙赢，则，概率P==，

5

(iii)若丙第四场输，则前三场必有一人被淘汰，其概率为P=2×=，

综上所述，丙获胜的概率P=+++=．

概率统计32题1

2某运动会中，新增加的“趣味乒乓球单打”是这届运动会的热门项目，比赛规则如下：两人对

垒，开局前抽签决定由谁先发球(机会均等)，此后均由每个球的赢球者发下一个球，对于每一个

球，若发球者赢此球，发球者得1分，对手得0分；若对手赢得此球，发球者得0分，对手得2分．

当有一人累计得分超过5分时，比赛就结束，得分高者获胜．已知在选手甲和乙的对垒中，发球

一方赢得此球的概率都是0.6，各球结果相互独立．

(1)假设开局前抽签结果是甲发第一个球，求比赛出现比分2：2的概率；

(2)已知现在比分3：3，接下来由甲发球，两人又打了X个球后比赛结束，求X的分布列及数学期

望．

解：(1)比赛出现比分2：2的事件A是甲发三球，前两球甲赢，第三球乙赢的事件A1与甲发球乙

赢、乙发球甲赢的事件A2的和，A1，A2互斥，

P(A)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=0.6×0.6×0.4+0.4×0.4=0.304，

故比赛出现比分2：2的概率为0.304．

(2)X所有可能取值为2，3，4，

因比分已是3：3，接下来由甲发球，有一人累计得分超过5分时，比赛就结束，

P(X=2)=0.4×0.6=0.24，

P(X=3)=0.63+0.6×0.4×1+0.4×0.4×1=0.616，

P(X=4)=0.62×0.4×1=0.144，

故X的分布列为：

X234

P0.240.6160.144

故E(X)=2×0.24+3×0.616+4×0.144=2.904．

3甲、乙运动员进行乒乓球友谊赛，每场比赛采用5局3胜制(即有一运动员先胜3局即获胜，比

赛结束)．比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以3：0或3：1取胜的运动员积3分，负

者积0分，以3：2取胜的运动员积2分，负者积1分，已知甲、乙两人比赛，甲每局获胜的概率为

1．

3

(1)甲、乙两人比赛1场后，求甲的积分X的概率分布列和数学期望；

(2)甲、乙两人比赛2场后，求两人积分相等的概率．

解：(1)随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，

3222

12

P(X=0)=+C3×××=，P(X=1)=C4×××=，

2232

22

P(X=2)=C4×××=，P(X=3)=+C3×××=，

∴X的分布列为：

X0123

P161681

2781819

∴数学期望E(X)=0×+1×+2×+3×=；

(2)记“甲、乙比赛两场后，两名运动员积分相等”为事件M，

设第i场甲、乙两名运动员积分分别为Xi，Yi，则Xi=3-Yi，i=1，2，

因两名运动员积分相等，

●2

∴X1+X2=Y1+Y2，

即X1+X2=(3-X1)+(3-X2)，则X1+X2=3，

∴P(M)=P(X1=0)P(X2=3)+P(X1=1)P(X2=2)+P(X1=2)P(X2=1)+P(X1=3)P(X2=0)

=×+×+×+×=．

4某地举行象棋比赛，淘汰赛阶段的比赛规则是：两人一组，先胜一局者进入复赛，败者淘汰．

比赛双方首先进行一局慢棋比赛，若和棋，则加赛快棋；若连续两局快棋都是和棋，则再加赛一局

超快棋，超快棋只有胜与负两种结果．在甲与乙的比赛中，甲慢棋比赛胜与和的概率分别为，

,快棋比赛胜与和的概率均为，超快棋比赛胜的概率为，且各局比赛相互独立．

(1)求甲恰好经过三局进入复赛的概率；

(2)记淘汰赛阶段甲与乙比赛的局数为X，求X的概率分布列和数学期望．

解：(1)甲经过三局进入复赛，则第一局为慢棋和棋，第二局为快棋和棋，第三局快棋胜，

∴P=1×1×1=1

，

33327

(2)X的可能的取值为1，2，3，4，

P(X=1)=1-=，

P(X=2)=×(1-=，

P(X=3)=××(1-=，

P(X=4)=×××+=，

X的分布列为：

X1234

P2221

392727

E(X)=+++=．

5第56届世界乒乓球锦标赛将于2022年在中国成都举办，国球运动又一次掀起热潮．现有甲

乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用7局4胜制，每局为11分制，每赢一球得1分．

(1)已知某局比赛中双方比分为8：8，此时甲先连续发球2次，然后乙连续发球2次，甲发球时甲得

分的概率为，乙发球时乙得分的概率为，各球的结果相互独立，当任何一方的积分达到11分

且领先对方2分时，该局比赛结束，求该局比赛甲以11：9获胜的概率；

(2)已知在本场比赛中，前两局甲获胜，在后续比赛中，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率

为，且每局比赛的结果相互独立．两人又进行了X局后比赛结束，求X的分布列与数学期望．

解：(1)在比分为8：8后甲先发球的情况下，甲以11：9赢下此局分两种情况：

①后四球胜方依次为甲乙甲甲，概率为×××=，

②后四球胜方依次为乙甲甲甲，概率为×××=，

③后四球胜方依次为甲甲乙甲，概率为×××=，

概率统计32题3mm

故所求事件概率为++=．

(2)由题意可得，X所有可能取值为2，3，4，5，

P(X=2)=×=，

1

P(X=3)=C2×××=，

1

P(X=4)=C3××××+×××=，

3

P(X=5)=C4××××=，

故X的分布列为：

X2345

P48138

9278181

故E(X)=2×+3×+4×+5×=．

6第24届冬季奥林匹克运动会(TheXXIVOlympicWinterGames)，即2022年北京冬季奥

运会，于2022年2月4日星期五开幕，2月20日星期日闭幕．北京冬季奥运会设7个大项，15个

分项，109个小项．北京赛区承办所有的冰上项目；延庆赛区承办雪车、雪橇及高山滑雪项目；张

家口赛区的崇礼区承办除雪车、雪橇及高山滑雪之外的所有雪上项目．某运动队拟派出甲、乙、

丙三人去参加自由式滑雪．比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决

赛．已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为

和；丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别是p和-p，其中0<p<．

(1)甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性最大；

(2)若甲、乙、丙三人都进入决赛的概率为，设进入决赛的人数为ξ,求ξ的分布列．

解：(1)甲在初赛的两轮中均获胜的概率为：P1=×=，

乙在初赛的两轮中均获胜的概率为：P2=×=，

2

丙在初赛的两轮中均获胜的概率为：P3=-P(=-P+P，

2

∴P3=-(P-+<，

∴甲进入决赛可能性最大．

2

(2)P=P1×P2×P3=××(-P+P(=，

2

整理得18p-27p+10=0，解得p=或p=，又

∵132

<p<，∴p=，

243

∴丙在初赛的两轮中均获胜的概率为：P3=1-=，

●4

进入决赛的人数为ξ可能取值为0，1，2，3，

P(ξ=0)=××=，

P(ξ=1)=××+××+××=，

P(ξ=2)=××+××+××=，

P(ξ=3)=××=，

∴ξ的分布列为：

ξ0123

P711295

72327232

72022年北京冬奥会后，由一名高山滑雪运动员甲组成的专业队，与两名高山滑雪爱好者乙、丙

组成的业余队进行友谊比赛，约定赛制如下：业余队中的两名队员轮流与甲进行比赛，若甲连续

赢两场，则专业队获胜；若甲连续输两场，则业余队获胜；若比赛三场还没有决出胜负，则视为平

局，比赛结束．

已知各场比赛相互独立，每场比赛都分出胜负，且甲与乙比赛，乙赢的概率为；甲与丙比赛，丙

赢的概率为p，其中<p<．

(1)若第一场比赛，业余队可以安排乙与甲进行比赛，也可以安排丙与甲进行比赛，请分别计算两

种安排下业余队获胜的概率；若以获胜概率大为最优决策，问：业余队第一场应该安排乙还是丙与

甲进行比赛？

(2)为了激励专业队和业余队，赛事组织规定：比赛结束时，胜队获奖金3万元，负队获奖金1.5万

元；若平局，两队各获奖金1.8万元．

在比赛前，已知业余队采用了(1)中的最优决策与甲进行比赛，设赛事组织预备支付的奖金金额共

计X万元，求X的数学期望E(X)的取值范围．

解：(1)第一场比赛，业余队安排乙与甲进行比赛，业余队获胜的概率为：P1=×p+×p×

=5

p，

9

第一场比赛，业余队安排丙与甲进行比赛，业余队获胜的概率为：P2=×p+(1-p)××p=

-122

p+p，

33

因为<p<，

2

所以P1-P2=p-p=p(p->0，

所以P1>P2，

所以，业余队第一场应该安排乙与甲进行比赛；

(2)由已知X=4.5万元或X=3.6万元．

由(1)知，业余队最优决策是第一场应该安排乙与甲进行比赛，

此时，业余队获胜的概率为P1=p，

专业队获胜的概率为P3=×(1-p)+×(1-p)×=-p，

概率统计32题5mm

所以，非平局的概率为

P(X=4.5)=P1+P3=-p，

平局的概率为P(X=3.6)=1-P1-P3=+p，

X的分布列为：

X4.53.6

P8111

-p+p

9393

X的数学期望为E(x)=4.5×-p(+3.6×+p(=4.4-0.3p(万元)，

而<p<，

所以E(x)的取值范围为：(4.25，4.3)(单位：万元)．

8甲、乙两名选手争夺一场乒乓球比赛的冠军．比赛采取三局两胜制，即某选手率先获得两局

胜利时比赛结束，且该选手夺得冠军．根据两人以往对战的经历，甲、乙在一局比赛中获胜的概

率分别为，，且每局比赛的结果相互独立．

(1)求甲夺得冠军的概率；

(2)比赛开始前，工作人员买来一盒新球，共有6个．新球在一局比赛中使用后成为“旧球”，“旧球”

再在一局比赛中使用后成为“废球”．每局比赛前裁判员从盒中随机取出一颗球用于比赛，且局中

不换球，该局比赛后，如果这颗球成为废球，则直接丢弃，否则裁判员将其放回盒中．记甲、乙决出

冠军后，盒内新球的数量为X，求随机变量X的分布列与数学期望．

解：记事件Ai=“甲在第i局比赛中获胜”，(i=1，2，3)，

—

事件Ai=“甲在第i局比赛中未胜”．(i=1，2，3)

—

显然P(Ai)=，P(Ai)=1-P(Ai)=，(i=1，2，3)．

(1)记事件A=“甲夺得冠军”，

——22

则P(A)=P(A1A2)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)=+××+×=；

(2)设甲乙决出冠军共进行了Y局比赛，易知Y=2或Y=3．

——22

则P(Y=2)=P(A1A2)+P(A1A2)=+=，

故P(Y=3)=1-P(Y-2)=．

—

记N1=“第i局比赛后抽到新球”，Ni=“第i局比赛后抽到旧球”．

由题意知、比赛前盒内有6颗新球，

—

比赛1局后，盒内必为5颗新球1颗旧球，此时P(N1)=，P(N1)=，

若N1发生，则比赛2局后，盒内有4颗新球，2颗旧球，

—

此时P(N1N2)=×=，P(N1N2)=×=．

—

若N1，发生，则比赛2局后，盒内有5颗新球，

—

故下次必取得新球．即P(N1N2)=×1=．

于是P(X=3)=P(Y=3)P(N1N2)=×=，

—

P(X=4)=P(Y=2)P(N1)+P(Y=3)P(N1N1)+P(Y=3)P(N1N2)=×+×+

●6

×=．

—

P(X=5)=P(Y=2)P(N1)=×=．

故X的分布列为：

X345

P409713

150150150

故X的数学期望EX=3×+4×+5×=．

9冬季两项是第24届北京冬奥会的比赛项目之一，它把越野滑雪和射击两种特点不同的竞赛项

目结合在一起．其中20km男子个人赛的规则如下：

①共滑行5圈(每圈4km)，前4圈每滑行1圈射击一次，每次5发子弹；

②射击姿势及顺序为：第1圈滑行后卧射，第2圈滑行后立射，第3圈滑行后卧射，第4圈滑行后立

射，第5圈滑行直达终点；

③如果选手有n发子弹未命中目标，将被罚时n分钟；

④最终用时为滑雪用时、射击用时和被罚时间之和，最终用时少者获胜．

已知甲、乙两人参加比赛，甲滑雪每圈比乙慢36秒，甲、乙两人每发子弹命中目标的概率分别为

和．假设甲、乙两人的射击用时相同，且每发子弹是否命中目标互不影响．

(1)若在前三次射击中，甲、乙两人的被罚时间相同，求甲胜乙的概率；

(2)若仅从最终用时考虑，甲、乙两位选手哪个水平更高？说明理由．

解：(1)设第四圈甲命中n发，乙命中了m发，

在前三次射击中，甲、乙两人的被罚时间相同，甲胜乙需要满足：60×(5-m)>60(5-n)+36×

5，化为n-m>3．

∵m，n∈N，0≤n，m≤5．

54

1

∴n=5，m=1时，P1=C5××=；

55

n=5，m=0时，P2=×=；

45

4

n=4，m=0时，P3=C5×××=．

∴甲胜乙的概率P=P1+P2+P3=++=．

(2)设甲射击命中目标的次数为X，乙射击命中目标的次数为Y，则X~B(20，Y~B(20，

E(X)=20×=16发，E(Y)=20×=15发，

∴甲平均罚时为4分钟，乙平均罚时为5分钟，

又甲滑雪每圈比乙慢36秒，

∴甲滑雪用时比乙多了36×5=180秒=3分钟，

∴4+3>5，

∴乙的水平更高．

概率统计32题7mm

10甲、乙、丙三人参加学校“元旦嘉年华”竞答游戏，活动的规则为：甲、乙、丙三人先分别坐在圆

桌的A，B，C三点，第一轮从甲开始通过掷骰子决定甲的竞答对手，如果点数是奇数，则按逆时

针选择乙，如果是偶数，则按顺时针选丙，下一轮由上一轮掷骰子选中的对手继续通过掷骰子决

定竞答对手，如果点数是奇数按逆时针选对手，点数是偶数按顺时针选对手，已知每场竞答甲对

乙、甲对丙、乙对丙获胜的概率分别为，，且甲、乙、丙之间竞答互不影响，各轮游戏亦互

不影响，比赛中某选手累计获胜场数达到2场，游戏结束，该选手为晋级选手．

(1)求比赛进行了2场且甲晋级的概率；

(2)当比赛进行了3场后结束，记甲获胜的场数为X，求X的分布列与数学期望．

解：(1)甲赢两场概率为：×××+×××=．

(2)依题意X的所有可能取值为0，1，2，

“X=2”，即比赛进行了3场甲赢两场，分下面三种情况，

①第一场甲胜，第二场无甲，第三场甲胜，

概率为××××+××××=，

②第一场甲输，二三场均胜，

概率为×××××+×+×××××+×=，

③第一场甲胜，第二场输，第三场胜，

概率为：×××××+×+×××××+×=

1，

18

由互斥事件的概率加法公式可知：比赛进行了3场且甲晋级的概率为：++=，

由上知P(X=2)=，

当比赛进行了3场后结束，甲获胜的场数为X=0时，分两种情况，

3场比赛中甲参加了1场，输了，概率为：××××+××××=，

3场比赛中甲参加了2场，都输了，概率为：×××××+××××

11

×=，

336

3场比赛甲都参加且都输掉是不可能的，否则两场比赛打不到3场，

所以P(X=0)=+=，

故P(X=1)=1-P(X=0)-P(X=2)=1--=，

故X的分布列为：

●8

X012

P131071

1441446

则E(X)=0×+1×+2×=．

二．与数列相结合(共7小题)

11为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试

验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，

另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另

一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，

约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得-1

分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得-1分；若都治愈或都

未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β,一轮试验中甲药的得分记为

X．

(1)求X的分布列；

(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i=0，1，…,8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认

为甲药比乙药更有效”的概率，则p0=0，p8=1，pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1，2，…,7)，其中a=P

(X=-1)，b=P(X=0)，c=P(X=1)．假设α=0.5，β=0.8．

(i)证明：{pi+1-pi}(i=0，1，2，…,7)为等比数列；

(i)求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．

(1)解：X的所有可能取值为-1，0，1．

P(X=-1)=(1-α)β,P(X=0)=αβ+(1-α)(1-β)，P(X=1)=α(1-β)，

∴X的分布列为：

X-101

P(1-α)βαβ+(1-α)(1-α(1-β)

β)

(2)(i)证明：∵α=0.5，β=0.8，

∴由(1)得，a=0.4，b=0.5，c=0.1．

因此pi=0.4pi-1+0.5pi+0.1pi+1(i=1，2，…,7)，

故0.1(pi+1-pi)=0.4(pi-pi-1)，即pi+1-pi=4(pi-pi-1)，

又∵p1-p0=p1≠0，∴{pi+1-pi}(i=0，1，2，…,7)为公比为4，首项为p1的等比数列；

(ii)解：由(i)可得，

p8=(p8-p7)+(p7-p6)+…+(p1-p0)+p0==p1，

∴p4=(p4-p3)+(p3-p2)+(p2-p1)+(p1-p0)+p0=p1=．

p4表示最终认为甲药更有效的概率．

由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为p4=

≈0.0039，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理．

概率统计32题9mm

12一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁

殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代，……,该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有

相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，P(X=i)=pi(i=0，1，2，3)．

(Ⅰ)已知p0=0.4，p1=0.3，p2=0.2，p3=0.1，求E(X)；

2

(Ⅱ)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：p0+p1x+p2x+

3

p3x=x的一个最小正实根，求证：当E(X)≤1时，p=1，当E(X)>1时，p<1；

(Ⅲ)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义．

(Ⅰ)解：由题意，p0=0.4，p1=0.3，p2=0.2，p3=0.1，

故E(X)=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1；

(Ⅱ)证明：由题意可知，p0+p1+p2+p3=1，则E(X)=p1+2p2+3p3，

2323

所以p0+p1x+p2x+p3x=x，变形为p0-(1-p1)x+p2x+p3x=0，

23

所以p0+p2x+p3x-(p0+p2+p3)x=0，

即p0(1-x)+p2x(x-1)+p3x(x-1)(x+1)=0，

2

即(x-1)[p3x+(p2+p3)x-p0]=0，

2

令f(x)=p3x+(p2+p3)x-p0，

若p3≠0时，则f(x)的对称轴为x=-<0，

注意到f(0)=-p0<0(若p0=0，则E(X)≤1不成立，当E(X)=1，却有p=1)，

f(1)=2p3+p2-p0=p1+2p2+3p3-1=E(X)-1，

若p3=0时，f(1)=E(X)-1，

当E(X)≤1时，f(1)≤0，f(x)=0的正实根x0≥1，原方程的最小正实根p=1，

当E(X)>1时，f(1)=p1+2p2+3p3-1>0，f(x)=0的正实根x0<1，原方程的最小正实根p<

1，

(Ⅲ)解：当1个微生物个体繁殖下一代的期望小于等于1时，这种微生物经过多代繁殖后临近灭

绝；

当1个微生物个体繁殖下一代的期望大于1时，这种微生物经过多代繁殖后还有继续繁殖的可能．

13为了释放学生压力，某校高三年级一班进行了一个投篮游戏，其间甲、乙两人轮流进行篮球

定点投篮比赛(每人各投一次为一轮)．在相同的条件下，每轮甲乙两人站在同一位置上，甲先

投，每人投一次篮，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得-1分；两人都命中或都未命中，

两人均得0分．设甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，且各次投篮互不

影响．

(1)经过1轮投篮，记甲的得分为X，求X的分布列及期望；

(2)若经过n轮投篮，用pi表示第i轮投篮后，甲的累计得分低于乙的累计得分的概率．

①求p1，p2，p3；

②规定p0=0，经过计算机模拟计算可得pi=api+1+bpi-1(i≥1，i∈N)，请根据①中p1，p2，p3值求

出a，b的值，并由此求出数列{pn}的通项公式．

解：(1)X的可能取值为-1，0，1．

P(X=-1)=×=；P(X=0)=×+(1-1-=；P(X=1)=×=

1．

3

∴X的分布列为：

●10

X-101

P111

623

期望E(X)=．即经过1轮投篮，甲得分的期望为分．

(2)①由(1)知P1=，

经过两轮投球，甲的累计得分低于乙的累计得分的有两种情况：一是甲两轮都得分为-1分：二是

两轮中甲一轮得0分，另一轮得-1分．

2

1

p2=+C2×=．

经过三轮投球，甲累计得分低有四种情况：-1-1-1；-1-1+0；-1+0+0；-1-1+1．

3222

212

P3=+C3×+C3×+C3×=

=a

②将P0，P1，P2，P3的值分别代入Pi=aPi+1+bPi-1，得

=a+b

6

得a=6，b=1．

77

∴Pi=Pi+1+Pi-1，即Pi+1-Pi=(Pi-Pi-1)

又P1-P0=，所以{Pn-Pn-1}是首项、公比都是的等比数列．

n

∴Pn-Pn-1=，

∴数列{pn}的通项公式为pn=1-．

14一只蚂蚁在如图所示的棱长为1米的正四面体的棱上爬行，每次当它到达四面体顶点后，会

在过此顶点的三条棱中等可能的选择一条棱继续爬行(包含来时的棱)，已知蚂蚁每分钟爬行1

米，t=0时蚂蚁位于点A处．

(1)2分钟末蚂蚁位于哪点的概率最大；

(2)记第n分钟末蚂蚁位于点A，B，C，D的概率分别为Pn(A)，Pn(B)，Pn(C)，Pn(D)．

①求证：Pn(B)=Pn(C)=Pn(D)；

②辰辰同学认为，一段时间后蚂蚁位于点A、B、C、D的概率应该相差无几，请你通过计算10分

钟末蚂蚁位于各点的概率．解释辰辰同学观点的合理性．

910910

附：≈5.1×10-5≈1.7×10-5≈2.0×10-3≈9.8×10-4．

概率统计32题11mm

解：(1)解：由题可知，在1钟末蚂蚁位于A、B、C、D点的概率分别为0，，，

故2分钟末位于A点的概率P(A)=.+.+.=，

位于B的概率等于P(B)=

同理，位于C、D的概率也等于，

2分钟末蚂蚁位于A点的概率最大．

(2)①证明：记第n分钟末蚂蚁位于A、B、C、D点的概率分别为Pn(A)、Pn(B)、Pn(C)、Pn(D)，

则Bn+1=(An+Cn+Dn)=(1-Bn)，

-

=(-)-=(-)-=(-n1

同理：Cn+11Cn，相减得Bn+1Cn+1-BnCnBnCnB1C1).(-，

又B1=C1=，Bn-∁n=0，Bn=∁n，同理可得∁n=Dn，∴Bn=∁n=Dn，

故Pn(B)=Pn(C)=Pn(D)．

②解：∵An+1=(1-An)，∴An+1-=-An-，

r

∴数列An-{是公比为-的等比数列，

--

-=--=--n1=+--n1

A1，An(，An(，

∴=9=9

A10+(--，同理B10+-，

9910

∴-=+--+-=-≈×-5

A10B10(((1.710，

又Bn=∁n=Dn，∴10分钟末蚂蚁位于A、B、C、D点的概率相差无几，

第n(n>10)分钟末蚂蚁位于A、B、C、D点的概率之差将会更小，所以辰辰的话合理．

15某种电子玩具启动后，屏幕上的LED显示灯会随机亮起红灯或绿灯．在玩具启动前，用户

可对p1(0<p1<1)赋值，且在第1次亮灯时，亮起红灯的概率为p1，亮起绿灯的概率为1-p1．随

后若第n(n∈N*)次亮起的是红灯，则第n+1次亮起红灯的概率为，亮起绿灯的概率为；

若第n次亮起的是绿灯，则第n+1次亮起红灯的概率为，亮起绿灯的概率为．

(1)若输入p1=，记该玩具启动后，前3次亮灯中亮红灯的次数为X，求X的分布列和数学期望；

(2)在玩具启动后，若某次亮灯为红灯，且亮红灯的概率在区间，内，则玩具会自动唱一

首歌曲，否则不唱歌．现输入p1=，则在前20次亮灯中，该玩具最多唱几次歌？

●12

解：(1)据题意，X的所有可能取值为0，1，2，3，

当X=0时，前3次亮灯的颜色为“绿绿绿”，则P(X=0)=××=，

当X=1时，前3次亮灯的颜色为“红绿绿”，或“绿红绿”，或“绿绿红”，则P(X=1)=××

1221124

+××+××=，

2332339

当X=2时，前3次亮灯的颜色为“红红绿“或“红绿红”或“绿红红”，

则P(X=2)=××+××+××=，

当X=3时，前3次亮灯的颜色为“红红红”，则P(X=3)=××=，

所以X的分布列为：

X0123

P1441

189918

E(X)=0×+1×+2×+3×=；

(2)记第n次亮灯时，亮起红灯的概率为pn，由题设，pn+1=pn×+(1-pn)×=-pn+，

则pn+1-=-pn-，因为p1=，

则，所以是首项为，公比为的等比数列，

p1-=-{r(pn-r{(--

则n-1

pn-=-×(-，

所以n

pn=+×(-，

n

由pn<0，所以n为奇数，

由pn

因为n为奇数，则<，即3n>2021，则n≥7，

当n≤20时，n=7，9，11，13，15，17，19．因为玩具在这7次亮灯中亮红灯是随机事件，所以在

前20次亮灯中，该玩具最多唱7次歌．

16某校数学兴趣小组由水平相当的n位同学组成他们的学号依次为1，2，3，…,n．辅导老师

安排一个挑战数学填空题的活动，活动中有两个固定的题，同学们对这两个题轮流作答，每位同

学在四分钟内答对第一题及四分钟内答对第二题的概率都为，每个同学的答题过程都是相互

独立的挑战的具体规则如下：

①挑战的同学先做第一题，第一题做对才有机会做第二题；

②挑战按学号由小到大的顺序依次进行，第1号同学开始第1轮挑战；

③若第i(i=1，2，3，…,n-1)号同学在四分钟内未答对第一题，则认为第i轮挑战失败，由第i+

1号同学继续挑战；

④若第i(i=1，2，3，…,n-1)号同学在四分钟内答对了第一题，满四分钟后，辅导老师安排该生

答第二题，若该生在四分钟内又答对第二题，则认为挑战成功挑战在第i轮结束；若该生在四分钟

内未答对第二题，则也认为第i轮挑战失败，由第i+1号同学继续挑战；

概率统计32题13mm

⑤若挑战进行到了第n轮，则不管第n号同学答对多少题，下轮不再安排同学挑战．

令随机变量Xn表示n名挑战者在第Xn(Xn=1，2，3，…,n)轮结束．

(1)求随机变量X4的分布列；

(2)若把挑战规则①去掉，换成规则⑥：挑战的同学先做第一题，若有同学在四分钟内答对了第一

题，以后挑战的同学不做第一题，直接从第二题开始作答．

令随机变量Yn表示n名挑战者在第Yn(Yn=1，2，3，…,n)轮结束．

*

(i)求随机变量Yn(n∈N，n≥2)的分布列；

(i)证明：E(Y2)<E(Y3)<E(Y4)<E(Y5)<…<E(Yn)<…<3．

解：P(X1=k，P(X

因此X4的分布列为

X41234

P

………………(4分)

*

(2)(i)Yn=k(1≤k≤n-1，k∈N)时，第k人必答对第二题，

k+1

若前面k-1人都没有一人答对第一题，其概率为pk，

若前面k-1人有一人答对第一题，其概率为p，

k+1

故P=pk,+p．

当Yn=n时，

若前面n-1人都没有一人答对第一题，其概率为pn，

n

若前面n-1人有一人答对第一题，其概率为p，

n

故P=pn,+p．Yn的分布列为：

Yn123…n-1n

P…

……………………(8分)

n+1n+1nn+1

法+(n-n(n=(n>0，

故E(Y2)<E(Y3)<E(Y4)<E(Y3)<…<E(Yn)<…，

求得E，

故E(Yn)=E(Y2)+[E(Y3)-E(Y2)]+[E(Y4)-E(Y3)]+…+[E(Yn)-E(Yn-1)]，

14

故E(Y2)<E(Y3)<E(Y4)<E(Y5)<…<E(Yn)<…<3．………………(12分)

k+1k

法2：令k=(ak2+bk+c-[a+c，

则k2=2(ak2+bk+c)-[ak2+(2a+b)k+(a+b+c)]=ak2+(b-2a)k+(c-a-b)，

-

1k+1nn

22

因此：E(Yn)=k+n(nn+2n+n(n=3-

k=1

nn+1n+1

又E-(n=(n>0，

故E(Y2)<E(Y3)<E(Y4)<E(Y5)<…<E(Yn)<…<3．………………(12分)

17射击是使用某种特定型号的枪支对各种预先设置的目标进行射击，以命中精确度计算成绩

的一项体育运动．射击运动不仅能锻炼身体，而且可以培养细致、沉着、坚毅等优良品质，有益于

身心健康．为了渡过愉快的假期，感受体育运动的美好，法外狂徒张三来到私人靶场体验射击运

动．

(1)已知用于射击打靶的某型号步枪的弹夹中一共有