《直线的方程点斜式》比赛教案

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直线的方程一一点斜式

1.教材分析

从研究直线方程开始，学生对“解析几何”的学习进入了实质性阶段，“直线与方

程”关系的研究，是“曲线与方程”的关系研究的前奏和基础，所以本节课教学的效果

直接决定了整个“解析几何”教学的效果.

刚刚接触“解析几何”的学生，幼稚懵懂的心理致使他们还不能理解“解析几何”

的实质，而本节课则以比较浅显的问题开启了“解析几何”学习的先河，他们可渐渐地

逐步深刻地认识到直线上的点与有序实数对之间的对应关系，进而可理解“两个独立条

件确定一条直线”这个本质规律，从而自然地构建出本节课研究的内容.两种直线方程

形式中的关键字“点、斜”与“斜、截”分别是“两个独立条件”的高度概括，是对直

线方程特征的本质提炼.这些都是“解析几何”，乃至全部数学内容的精髓，引导学生深

刻理解、熟练掌握这些，对于提高他们的数学素养大有裨益.

贯穿“解析几何”始终的一个重要问题就是由曲线求其方程和由方程研究曲线性

质，而本节课则以简单问题为载体，揭示了解决这个问题的基本方法和步骤，为进一步

解决后继的问题打下了坚实的基础.

“解析几何”中处处渗透了各种数学思想，特别是数形结合与等价转化思想，本节

课则以生动的具体事例有效地促进学生树立、巩固和熟练应用这些数学思想.

教学是以发展学生的数学思维为重要目标，本节课则在优化数学思维的多种特征上

有着独特的功能.

综上，本节课是高中数学教学中极为关键的内容，创设和实施优质的教学程序，在

一定程度上影响着今后高中数学教学的成败.

2.教学目标

2.1知识与技能

(1)知道由•个点和斜率可以确定一条直线，探索并掌握直线的点斜式、斜截式方程;

(2)能根据条件熟练地求出直线的点斜式、斜截式方程，并能化为一般式.

2.2过程与方法

(1)让学生经历知识的构建过程，培养学生观察、探究能力；

(2)使学生进一步理解直线的方程与方程的直线之间的对应关系，渗透数形结合等

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数学思想.

2.3情感态度与价值观

(1)使学生进一步体会化归的思想，逐步培养他们分析问题、解决问题的能力；

(2)利用多媒体课件的精彩演示，增强图形美感,使学生享受数学美，增进数学学

习的情趣.

3.教学重点与难点

教学重点：直线的点斜式方程.

教学难点：对直线的方程与方程的直线的对应关系的理解.

4.教学方法

(1)教师为主导，学生为主体，师生互动为主线.

(2)通过创设问题情境，引导学生观察、比较、转化、抽象来实现直线的点斜式教

学，同时渗透数形结合等数学思想.

5.教学过程

5.1问题情境(了解数学)

问题1(1)若同学小李说，有一条铁路经过徐州市，你能知道这条铁路的具体位置

吗？(不知道，因为不知道这条铁路的方向)

(2)若同学小王说，有一条铁路是正南正北方向，你能知道这条铁路的具体位置吗？

(不知道，因为不知道这条铁路经过哪座城市)

(3)若同学小张说，有一条铁路经过徐州市，且是正南正北方向，你能知道这条铁

路的具体位置吗？(知道了)

问题2(1)过已知点力(-1,3)的直线有多少条？(无数条)

(2)斜率为-2的直线有多少条？(无数条)

(3)过已知点力(-1,3),且斜率为-2的直线有多少条？(一条)

问题3确定一条直线需要几个独立条件？你能举例说明吗？

学生可能的回答：

(1)已知直线上的一点和直线的方向(斜率或倾斜角)；

(2)已知直线上的两个点qa1,必),6(乙,y2)・

问题4若6区,必),£(工2)2)(“k%2)，则直线6巴的斜率为.

若，则直线82的斜率.

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5.2学生活动（体验数学）

探究：若直线/经过点力（-1,3）,斜率为-2,点尸在直线/上运动，那么点夕的坐

标（x,田应满足什么样条件？

当点P（x,y）在直线/上运动时，点尸与定点4（-1,3）所确定的直线的斜率等于-2,

y-3

故有(1)

x-(-l)

即厂3=-2[%-（-1）],（2）

即2x+y-l=0.（3）

问题5点、A（-1,3）的坐标满足上述各方程吗？

答：方程（1）中xw-l,丢掉了点力；

方程（2）及（3）中产-1,补上点H

问题6直线/上任意一点的坐标与方程（2）（或（3））的解有什么关系？

答:当点P在直线/上运动时，其坐标（x,y）满足2"厂1二0.反过来，以方程为+）L1=0

的解为坐标的点都在直线，上.

5.3数学理论（建构数学）

直线的点斜式方程：

一般地，设直线/经过点＜区,必），斜率为4,直线/上任意一点。的坐标为（小J）.

当点P（x,y）在直线/上运动时，尸々的斜率恒等于攵，即

―—―=kf除点q外）（丢掉了点尸）

x-x]

即.一切="（》一再）,（'=再,包括点耳）（补上点PJ（比较重要的内容）

方程》-必=%。-芭）叫做直线的点斜式方程.（“点”和“斜”是两个独立条件的

浓缩概括，一个极为传神精准的命名）

说明：（1）可以验证，直线/上的每个点（包括点＜）的坐标都是这个方程的解；反

过来，以这个方程的解为坐标的点都在直线/上；

（2）当直线/与x轴垂直时，斜率不存在，其方程不能用点斜式表示.但因为/上每一

点的横坐标都等于修，所以它的方程是x=x-

当直线/与少轴垂直时，斜率为0,其方程能用点斜式表示.但因为/上每一点的纵坐

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标都等于乂，所以它的方程是^二%，

实际上可写为厂乃二0(r0).

特别地，X轴、y轴所在的直线的方程分别为尸0和产0.

问题7这两个方程是否是直线的点斜式方程？

(此间目的：加深对直线的点斜式方程的理解)

5.4数学应用〈巩固数学)

例1.(1)经过点尸(2,-3),且与；v轴垂直的直线的方程为.

(2)经过点P(2,-3),且与y轴垂直的直线的方程为.

(3)已知直线经过点尸(-2,3),斜率为2,求这条直线的方程.

解：(3)由直线的点斜式方程，得所求直线的方程为

尸3=2(x+2),即以―y+7=0.

例2(课本P71例2)已知直线/的斜率为攵，与了轴的交点是尸(0,b),求直线/的

方程.

解：由直线的点斜式方程，得所求直线的方程为

y-b-k(x-0),

即y=kx+b.

5.5数学理论(建构数学)

直线的斜截式方程：

方程度依+b叫做直线的斜截式方程.(“斜”和“截”又是两个独立条件的浓缩概

括，乂一个极为传神精准的命名)

问题8由直线的斜截式方程可以联想到我们学习过的哪类函数？

说明：

(1)直线的斜截式方程是直线点斜式方程的一种特殊情况，即给出了直线与y轴交

点的纵坐标，从而给出了交点坐标(0,6)；

(2)直线的斜截式方程、点斜式方程适用范围：直线的斜率存在：

(3)直线的斜截式方程产於+6与一次函数的表达式产去访虽然有着相同的,'面孔”,

但有着本质的区别，前者的人可以为0,后者的々却不可为0.即集合｛一次函数的严履+6

的图象｝是集合｛斜截式方程产奴+力表示的直线｝的真子集.

(4)直线的斜截式方程度区+6中的“力”及直线”在歹轴上的截距”，也叫“纵截距”.

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名称中虽然有个“距”字，但这里的“6”却既可以为正、为负，也可以为0.但距离是

恒为非负的，所以有“截距非距”之说.

（5）如何记忆这两类直线方程？（“斜率公式一点斜式一斜截式”，理顺它们之间的

逻辑关系，使学生形成自然的记忆）

5.6数学应用（巩固数学）

练习：根据下列条件，分别写出直线的方程：

（1）经过点（4,-2）,斜率为3；

尹2二30-4）,即3QT4=0.

（2）经过点（3,1）,斜率为-2；

y-l=-2（x-3）,即2户y7=0.

（3）斜率为-2,在y轴上的截距为-2；

y=-2x-2.

（4）斜率为2,与x轴的交点的横坐标为-1.

y0=2\_x-（-1）]»即2x~y^2=0.

说明：

练习（4）中，直线与x轴交点的横坐标，我们对称地称之为直线“在x轴上的截距”,

也可称“横截距”.（与纵截距呼应，形成对偶关系）

5.7合作探究（感悟数学）

探究1在同一平面直角坐标系中作出直线产2,产x+2,产r+2,

y=3x+2,产-3x+2,…

这些方程表示的直线有什么共同特点？你能用一个方程表示出它们来吗？（为研究

方程产区+2作铺垫）

推测：当左取任意实数时，方程尸6+2表示的直线都经过点（0,2）,它们是--组

共点直线.

问题9这组直线包括所有过点（0,2）的直线吗？

答：不含过点（0,2）的直线k0.

探究2在同一平面直角坐标系中作出直线户2x,广2x+l,y=2x~U

y=2x+4,y=2x~4,・••

这些方程表示的直线有什么共同特点？你能用一个方程表示出它们来吗？（为研究

方程尸2x十力作铺垫）

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推测：当b取任意实数时，方程广2x+8表示的直线彼此平行，它们是一组平行直

线，它们斜率相等，纵截距不等.

5.8数学应用（巩固数学）

练习1.当〃取任何实数值时，

（1）直线y-kx^恒过点.

（2）直线y=k（x+5）恒过点.

（3）直线厂2二屋厂4）恒过点.

（1）通过本节课的学习，你掌握了哪些知识？

①直线的点斜率式方程---y-y\=；