高中数学随机变量分布列知识点

第二章随机变■与其分布

内容提要：

一、随机变量的定义

设是一个随机试验，其样本空间为，若对每一个样本点，都

有唯一确定的实数与之对直，则称上的实值函数是一个随机

变量(简记为)。

二、分布函数的概念和性质

1.分布函数的定义

设是随机变量，称定义在上的实值函数

为随机变量X的分布函数。

2.分布函数的性质

(1),

(2)单调不减性：，

tanF(x)=O,fanF(x)=l,

(4)右连续性：。

注：上述4个性质是函数是某一随机变量的分布函数的充要条

件。在不同的教科书上，分布函数的定义可能有所不同，例如，其

性质也会有所不同。

(5)代4<

P(X>o)=l-P(X^a)=l-F(a)

P(X=a)=F(a)-F(a-O)

注：该性质是分布函数对随机变量的统计规律的描述。

三、离散型随机变量

1.离散型随机变量的定义

若随机变量的全部可能的取值至多有可列个，则称随机变量

是离散型随机变量。

2.离散型随机变量的分布律

(1)定义：离散型随机变量的全部可能的取值以与取每个值时

的概率值，称为离散型随机变量的分布律，表示为

巴X=%)=必.:=1.2.—,

或用表格表示：

'/

Xix2•••

P*Pip2

…Pn…

或记为

(x2xn]

X~IA灯…Pn)

(2)性质：,

注：该性质是是某一离散型随机变量的分布律的充要

条件。

P(a<X<d)=£八.

k其中外=「侬=初心八力。

注：常用分布律描述离散型随机变量的统计规律。

3.离散型随机变量的分布函数

=,它是右连续的阶梯状函数。

4.常见的离散型分布

(1)两点分布(0—1分布)：其分布律为

汽万=幻=/。-「广1上=0,1(0<p<1).

即

X0

1

1-

pP

P

(2)二项分布

(i)二项分布的来源一重伯努利试验：设是一个随机试验,

只有两个可能的结果与，，将独立重复地进行次，则称

这一串重复的独立试验为重伯努利试验。

(ii)二项分布的定义

设表示在重力努利试验中事件发生的次数，则随

机变量的分布律为

称随机变量服从参数为的二项分布，记作。

注：即为两点分布。

(3)泊松分布：若随机变量的分布律为

，，

则称随机变量服从参数为的泊松分布，记作(或。

高中数学系列2—3练习题（2.1）

一、选择题：

1.如果是一个离散型随机变量，则假命题是（）

A.取每一个可能值的概率都是非负数；

B.取所有可能值的概率之和为1；

C.取某几个值的概率等干分别取其中每个值的概率之和；

D.在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之

和

2①某寻呼台一小时内收到的寻呼次数X；②在（0,1）区间内随机的取

一个数X;③某超市一天中的顾客量X.其中的X是离放型随机变

量的是（）

A.①；B.②；C.③；D.①③

3、

设

离

散

型1234

随

机

变

量

的

概

率

分

布

如

下

则

的

值

为

(

)

X

2

Pa

636

A.B.C.D.

4.设随机变量的分布列为，则的值为()

A.1；B.；C.；D.

5.已知随机变量的分布列为：，，则=（）

A....B....C....D.

6、设随机变量等可能取1.2.3...值，如果，则值为

（）

A.......B........C.1......D.无法确定

7、投掷两枚骰子，所得点数之和记为，则表示的随机实验

结果是（）

A.一枚是3点，一枚是1....B.两枚都是2点..

C.两枚都是4........D.一枚是3点，一枚是1点或两枚都

是2点

8、设随机变量的分布列为，则的值为（）

A.1；B.；C.；D.

二、填空题：

9、下列表中能成为随机变量X的分布列的是（把.全部正

确的答案序号填上）

X-101X123X50-5

P0.30.40.4P0.40.7-0.1P0.3060.1

2或（

④尸（X=k）=~—-,k-⑤P（X=/:）=—,A:=2,3,4,5,••

10、已知为离散型随机变量，的取值为，则的取值为

11.一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1,2,3,4,5现从

该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数可能取值

为

三、解答题:

12、某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km,则按

10元的标准收租车费若行驶路程超出4km,则按每超出1km加收2

元计费(超出不足1km的部分按1km计).从这个城市的民航机场到某

宾馆的路程为15km.某司机常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客,

由于行车路线的不同以与途中停车时间要转换成行车路程(这个城

市规定，每停车5分钟按1kli路程计费)，这个司机一次接送旅客的

行车路程€是一个随机变量：他收旅客的租车费可也是一个随机变

量

(1)求租车费Q关于行车路程€的关系式；

(2)已知某旅客实付租车费38元,而出租汽车实际行驶了15km,

问出租车在途中因故停车累计最多几分钟

13.一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球，已知红

球个数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球个数的一半.现从该盒

中随机取出一个球，若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球

得一1分，试写出从该盒中取出一球所得分数的分布列.

分析：欲写出，的分布列，要先求出，的所有取值，以与，取每一值

时的概率.

14.一个类似于细胞分裂的物体，一次分裂为二，两次分裂为四，如

此继续分裂有限多次，而随机终止.设分裂次终止的概率是

=1,2,3,…）.记为原物体在分裂终止后所生成的子块数目,

求

高中数学系列2—.3练习题（2.1）参考答案

一、选择题：

1.D2.D3.C4.B5.A6.C7.D8、C

二、填空题：

9、③④

11.

三、解答题：

12.解:⑴依题意得月=2(54)+10,即n=2&+2

⑵由38=2&+2,得［=18,5X(18-15)=15.

所以，出租车在途中因故停车累计最多15分钟.

13.W-:设黄球的个数为，由题意知

绿球个数为，红球个数为，盒中的总数为

所以从该盒中随机取出一球所得分数X的分布列为

X10-1

42

P

777

14.解：依题意，原物体在分裂终止后所生成的数目