椭圆及其标准方程-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第三章

圆锥曲线的方程

我们通常把椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线.

本章我们继续采用坐标法，在探究圆锥曲线几何特征的基础上，建立它们的方程，通过方程研究它们的性质，并解决与圆锥曲线有关的几何问题和实际问题，进一步感受数形结合的思想方法，体会坐标法的魅力与威力.本章导入第三章

圆锥曲线的方程3.1.1

椭圆及其标准方程课堂导入平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆.平面内一个定点定长问题1

若一个动点的轨迹是圆，则该动点应满足什么条件？课堂探究问题2用一根细绳和一支铅笔，如何画出椭圆？课堂探究绳长大于两定点间的距离

课堂探究绳长等于两定点间的距离

绳长小于两定点间的距离问题3根据以上探究，你能归纳出椭圆的定义吗？课堂探究

课堂探究问题3根据以上探究，你能归纳出椭圆的定义吗？追问1：如果不限制平面内，那点M的轨迹是什么？椭球

课堂探究问题4

请你回顾圆的标准方程的推导方法与步骤，你能类比猜想建立椭圆方程的大致步骤吗？OXy2.设点3.列方程4.化简5.得到标准方程化简两点间距离公式1.建立适当的坐标系课堂探究观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？F1F2OXy

利用椭圆的对称性建系1.建系课堂探究2.设点1.建系圆心：圆上任意一点：

F1F2OyccX焦点：椭圆上任意一点：

OXy半径|MO|=r课堂探究1.建系OyccX3.列方程由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集

所以

.①代入各点坐标得2.设点课堂探究4.化简1.建系2.设点3.列方程遇到含有两个根式的方程如何化简？请你思考①式的化简方案.两边直接平方，再移项平方？先移项，再平方，再？课堂探究方案一：（直接平方法）对平方完的式子进行化简课堂探究4.化简1.建系2.设点3.列方程遇到含有两个根式的方程如何化简？请你思考①式的化简方案.接下来怎么进行？有没有简化运算的策略？继续对两边式子平方不妨设整体换元课堂探究4.化简1.建系2.设点3.列方程遇到含有两个根式的方程如何化简？请你思考①式的化简方案.方案二：（先移项再平方）式子两边同时平方课堂探究4.化简1.建系2.设点3.列方程遇到含有两个根式的方程如何化简？请你思考①式的化简方案.接下来怎么进行？平方展开，移项，化简课堂探究4.化简1.建系2.设点3.列方程式子两边同除以课堂探究4.化简1.建系2.设点3.列方程

课堂探究4.化简1.建系2.设点3.列方程

5.验证1.建系2.设点3.列方程4.化简如何证明方程

就是椭圆的方程？第一，椭圆上任意一点的坐标都是方程的解.所以椭圆上任意一点的坐标都满足方程.第二，以方程的解为坐标的点都在椭圆上.椭圆的标准方程课堂探究同解变形

课堂探究焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程焦点坐标三者之间的关系焦点位置的判断OxyOxy“谁大在谁上”

总结提升

典例精研

典例精研解法二：由于椭圆的焦点在x轴上，设它的标准方程为由椭圆的定义知

，则

，解得

，所以椭圆的标准方程为

.

典例精研小结：求椭圆的标准方程，要先定“位”，

a,b,c满足的关系有：根据焦点位置设方程，代入计算出待定字母的值；通用性强，适用于已知椭圆上点的坐标或多个参数的题目.用定义寻找a,b,c的方程；小巧高效，适用于已知焦点坐标和定长的题目.(1)定义法：(2)待定系数法：即求a,b

的大小.即确定焦点的位置；其次是定“量”，求椭圆标准方程的主要方法有：总结提升总结提升例2

如图，在圆

上任意一点P,过点P作x轴的垂线段PD,D为垂足.当点P在圆上运动时,线段PD中点M的轨迹是什么？为什么？

xyPMO•D•典例精研设点M的坐标为(x,

y)，点P的坐标为(x0,

y0)，则点D的坐标为(x0,0).

由点M是线段PD的中点，得

例2

如图，在圆

上任意一点P,过点P作x轴的垂线段PD,D为垂足.当点P在圆上运动时,线段PD中点M的轨迹是什么？为什么？

xyPMO•D•寻求点M的坐标(x,y)中x,y与x0,y0之间的关系,然后消去x0,y0,得到点M的轨迹方程.这是解析几何中求点的轨迹方程常用的方法.解1：(相关点代入法)典例精研xyPMO•D•解2：(参数法)∵

P

在圆x2+y2=4上，∴可设P(2cosθ,2sinθ),消去参数θ，得∴点M的轨迹是一个椭圆.设点M的坐标为(x,y),由题意有

例2

如图，在圆

上任意一点P,过点P作x轴的垂线段PD,D为垂足.当点P在圆上运动时,线段PD中点M的轨迹是什么？为什么？

典例精研椭圆的标准方程说明：椭圆的参数方程是椭圆方程的另外一种表现形式，它的优越性在于将曲线上点的横,纵坐标(两个变量)用同一个参数θ表示，这样就能将椭圆上点的很多问题转化为函数问题解决，很好地将几何问题代数化.椭圆的参数方程总结提升(1)椭圆的参数方程是

参数方程：(2)圆x2＋y2＝r2的参数方程是

(3)圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的参数方程是

总结提升由例2我们发现,圆通过“压缩”可得到椭圆,你能描述一下图像变换的过程吗？Oxy你能由圆通过“拉伸”得到椭圆吗？如何“拉伸”？Oxy纵向压缩圆x2+y2=4x2+(2y)2=4

横坐标保持不变纵坐标变为原来的2倍纵向拉伸

横坐标保持不变纵坐标变为原来的圆x2+y2=4

课堂探究例3

如图，设A，B两点的坐标分别是(-5,0)，(5,0).直线AM，BM相交于点M,且它们的斜率之积是，求点M的轨迹方程.OxyMAB典例精研例3

如图，设A，B两点的坐标分别是(-5,0)，(5,0).直线AM，BM相交于点M,且它们的斜率之积是，求点M的轨迹方程.解：OxyMAB直译法典例精研D巩固训练B2.巩固训练

yOF1F2Px解1：由已知可得，巩固训练

yOF1F2Px解2：巩固训练

yOF1F2Px椭圆的焦点三角形面积公式总结提升

yOF1F2Px解得证明：椭圆的焦点三角形面积公式：总结提升总结提升4.已知A,B两点的坐标分别是(-1,0),(1,0).直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率的商是2,求点M的轨迹方程.解：巩固训练5.分析:F1F2xy巩固训练6.求与圆(x＋3)2＋y2=4外切,且与圆(x－3)2＋y2=100内切的动圆圆心的轨迹方程．解：故动圆圆心的轨迹方程为设动圆的圆心为M(x,y),半径为r,它与已知圆O1,O2切于Q,P两点,则yxO1O2PMQO巩固训练yxMPM0NO解1：设P(x,y),则∵点M在圆C2上,

故点P的轨迹C的方程为

7.已知圆圆点O为坐标原点,点M是圆C2上的一动点,线段OM交圆C1于N,过点M作x轴的垂线交x轴于M0,过点N作M0M的垂线交M0M于P.当动点M在圆C2上运动时,求点P的轨迹C的方程.巩固训练设P(x,y),可设则由点M,N分别在圆C2,C1上，消去参数θ,得∴点P的轨迹C的方程为椭圆的参数方程yxMPM0NO解2：

7.已知圆