指数函数的概念2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

人教A版普通高中教科书数学

必修（第一册）4.2.1指数函数的概念情境创设情境1：在“纸张对折与数据变化”实验中，实验员将一张A4纸的面积定义为单位1，记录每次对折后的层数和单张面积。

（1）写出对折后的层数

与对折次数

的关系式?

（2）设这页纸的面积为单位1，则对折后每页纸的面积

与对折次数

的关系又是怎样的？情境创设情境1：在“纸张对折与数据变化”实验中，实验员将一张A4纸的面积定义为单位1，记录每次对折后的层数和单张面积。

情境创设情境2：荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点。若我们每天的“进步”率都是

，每天的“退步”率都是

，这样，我们经过

天后的增长倍数

和退步倍数

分别是多少呢？情境创设情境2：荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点。抽象概念上述2个情境中的式子刻画的都是函数关系底数是一个常数，指数是自变量，形如

概念生成指数函数概念：一般地，函数

叫做指数函数,其中指数

是自变量，定义域是.探究：指数函数定义中为什么规定a大于0且不等于1?概念生成指数函数概念：一般地，函数

叫做指数函数,其中指数

是自变量，定义域是.探究：指数函数具有什么形式特征呢？底数是大于零且不等于1的常数指数为自变量且只有一种形式系数为1典例分析题型一

指数函数的概念是幂函数例1.判断下列函数是不是指数函数：（1）

…………（）（2）

…………（）

（3）

…………（）（4）

…………（）（5）

…………（）（6）

…………（）××√××√【1】ax的系数为1.【2】ax的指数为自变量且只有一种形式.【3】ax的底数是大于零且不等于1的常数.只有同时满足这三个条件的函数，才是指数函数.形如y=k·ax(k∈R且k≠1,a>0且a≠1)的函数属于指数型函数.如：y=－4x，y=3x+2=9·3x变式训练1.若y＝(a2-3a+3)ax是指数函数，则有(

)A.a＝1或2

B.a＝1C.a＝2

D.a＞0且a≠1解析：

因为

y＝(a2-3a+3)ax是指数函数

所以

a2-3a+3=1，即

a=1或2

又因为

a≠1，所以

a=2C题型一

指数函数的概念

典例分析题型二

求指数函数的解析式2.已知f(x)=ax

(a>0且a≠1)的图象经过点P(2,9)，求f(x)和f(-2)的值.变式训练题型二

求指数函数的解析式典例分析题型三

指数函数的应用

随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式．由于旅游人数不断增加，A，B两地景区自2001年起采取了不同的应对措施，A地提高了景区门票价格，而B地则取消了景区门票．下表给出了A，B两地景区2001年至2015年的游客人次以及逐年增加量．典例分析题型三

指数函数的应用时间/年A地景区B地景区人次/万次年增加量/万次人次/万次年增加量/万次20016002782002609930931200362011344352004631113833920056411042744200665094754820076611152853200867110588602009681106556720106911072974201170211811822012711990392201372110100510220147321111181132015743111244126比较两地景区游客人次的变化情况，你发现了怎样的变化规律？探究我们知道，年增加量是对相邻两年的游客人次做减法得到的。能否通过对B地景区每年的游客人次做其他运算发现游客人次的变化规律呢？例如用“增长率”？典例分析题型三

指数函数的应用

结果表明，B地景区的游客人次的年增长率都约为1.11-1=0.11，是一个常数．像这样，增长率为常数的变化方式，我们称为指数增长．做减法可以得到游客人次的年增加量，做除法可以得到游客人次的年增长率．增加量、增长率是刻画事物变化规律的两个很重要的量．时间/年A地景区B地景区人次/万次年增加量/万次人次/万次年增加量/万次20016002782002609930931200362011344352004631113833920056411042744200665094754820076611152853200867110588602009681106556720106911072974201170211811822012711990392201372110100510220147321111181132015743111244126典例分析题型三

指数函数的应用例3如果平均每位游客出游一次可给当地带来1000元门票之外的收入，A地景区的门票价格为150元，比较这15年间A，B两地旅游收入变化情况．解：(1)设经过x年，游客给A，B两地带来的收入分别为f(x)和g(x)，则f(x)=1150×(10x+600)，g(x)=1000×278×1.11x．利用计算工具可得，当x=0时，f(0)－g(0)=412000．当x≈10.22时，f(10.22)≈g(10.22)．结合右图可知：当x＜10.22时，f(x)>g(x)，当x＞10.22时，f(x)<g(x)．当x＝14时，g(14)－f(14)≈347303．时间/年A地景区B地景区人次/万次年增加量/万次人次/万次年增加量/万次20016002782002609930931200362011344352004631113833920056411042744200665094754820076611152853200867110588602009681106556720106911072974201170211811822012711990392201372110100510220147321111181132015743111244126典例分析题型三

指数函数的应用

指数函数模型

（3）指数型函数：形如的函数称为指数型函数．y=k·ax(k∈R且k≠1,a>0且a≠1)变式训练

3课本练习1.下列图象中，有可能表示指数函数的是（）C课本练习课堂小结指数函数的概念：一般地，形如y=ax(a>0,且a≠1)的函数叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域为R．解析式特点：【1】ax的系数为1；【2】ax的指数为自变量；【3】ax的底数是大于零且不等于1的常数．课堂小结思考：每天进步一点点，和每天退步一点点，一年后的差距有多大？利用计算机计算1.01365与0.99365的值，谈谈你的感想.

1.01365≈37.78,0.99365≈0.03积跬步以至千里积怠惰以至深渊随堂检测B随堂检测2.已知函数f(x)=(a2-a-1)(a+1)x为指数函数,则a=

．因为函数f(x)=(a2-a-1)(a+1)x为指数函数，所以a2-a-1=1，a+1>0且a+1≠1，解得a=2．2随堂检测

0123141664A.一次函数模型 B.二次函数模型 C.指数函数模型 D.幂函数模型C

随堂检测4.指数函数y=f(x)的图象经过点(2，4)，则f(4)·f(2)=____645.已知f(x)=ax

(a>0且a≠1)的图象经过点P(2,4).(