陕西省榆林市2026届高三上学期第一次模拟测试数学试卷（含解析）

榆林市2026届高三第一次模拟测试

数学试题

注意事项：

1.本试卷共4页，满分150分，时间120分钟.

2.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上.

校

3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.涂写在本试卷上无效.

O4.作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效.

级

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

l1.已知集合则

OA={-1,0,1},B={0,1,3},AUB=

A.{0}B.{1}C.{0,1}D.{-1,0,1,3}

名

2.已知复数z=1+i,则

A.iB.-iC.2iD.-2i

3.设等差数列{an}的前n项和为S,若S₅=5,a₅=3a₃,则ag=

A.5B.6C.7D.8

o

号4.已知命题“三x∈R,使x²+x+a-2≤0”是假命题，则实数a的取值范围是

A.(-∞,0)B.[0,4]C.(4,+∞)D

5.曲线f(x)=-2x+lnx在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为

AB.1CD.e

号

o

6.已知m,n是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面，则下列说法正确的是

A.若α//β,mCα,nCβ,则m//nB.若m//n,m//α,n//β,则α//β

7.在等腰梯形ABCD中，AB//DC,AB=2,CD=1,E为线段CD上的动点(包括端点),则AE·AB的

取值范围是

O

lAB

C.[1,3]D

榆林市2026届高三数学第一次模拟测试-1-(共4页)

8.已知a,b∈R,若a+2lna=e⁶+2b,则ab的取值范围是

C

A.(-1,+∞)BD.(1,+∞)

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全

部选对得6分，部分选对的得部分分，有三个正确选项的，每个选项2分，有两个正确选项的，每

个选项3分，有选错的得0分.

9.已知函,满足.,则关于函数f(x)的说法正确的是

A.w=1

B.函数f(x)的对称中心为)(k∈Z)

C.函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z)

D.函数f(x)在[上的最小值为

10.已知函数f(x)=-|x-a|+a,g(x)=x²-4x+3,若方程f(x)=|g(x)|恰有2个不同的实数根，则实

数a可能的取值为

C

AB.1D.2

11.在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，设M为B₁C₁的中点，N为C₁D₁的中点，P为线段AB

上的动点.则下列说法正确的是

A.过M、N、P三点的平面截正方体所得截面可能为正六边形

B.直线PN与平面ABC所成角的最大值为·

C.不存在点P,使得MN⊥PM

D.PM与A₁C一定是异面直线

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知向量b=(x,y)在向量a=(2,0)上的投影向量为c=(1,0),则向量b可能为

(写出满足条件的一个即可)

13.已知,则

14.在有序数组{a₁,a₂,a₃,…,an}(n≥2,n∈N*)中定义：元素a;(i=1,2,3,…,n)右边比其大的元

素个数称为a;的“顺序数”,元素a右边比其小的元素个数称为a的“逆序数”.记有序数组

{a₁,a₂,a₃,…,an}的所有元素的“顺序数”与“逆序数”之和为Tₙ.

①{2,4,1,3,5}的所有元素的“顺序数”与“逆序数”之和T₅=.

榆林市2026届高三数学第一次模拟测试-2-(共4页)

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(本小题满分13分)

已知数列{aₙ}中，a₁=4,an+1=5aₙ+4.

(1)证明数列{aₙ+1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；

(2)设bₙ=aₙ+2n,求数列{bₙ}的前n项和Tₙ.

16.(本小题满分15分)

已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,

(1)求角B的值；

(2)若△ABC的面积为√3,∠ABC的平分线BD交AC于D,求线段BD的最大值.

17.(本小题满分15分)

如图，在梯形ABCD中，BC//AD,BE⊥AD,将△ABE沿BE翻折成△A₁BE,使得A₁E⊥ED,连接

A₁C,A₁D.

(1)求证：A₁B⊥ED;

(2)若A₁E=EB=4,BC=6,ED=8,且点A₁,B,

C,D均在球0球面上.

(i)证明点0在线段ED上；

求直线与平面所成角的正

(ii)A₁0A₁CD(第17题图)

弦值.

榆林市2026届高三数学第一次模拟测试-3-(共4页)

18.(本小题满分17分)

已知函数f(x)=ae*-x-1.

(1)当a=1时，求f(x)的最小值；

(2)已知函数f(x)有两个零点x₁,x₂,且x₁<x₂·

(i)求a的取值范围；

(ii)证明

O

19.(本小题满分17分)

已知函数f(x)=sin²x+cos²“x,n∈N.

(1)证明：f(x)(n≥2)在上单调递减；

(2)记f。(x)的最小值为aʙ,最大值为b,数列{aₙ+ba的前n项积为Tₙ1

(i)求{a}的通项公式；O

(ii)证明：T,<e².

-

O

榆林市2026届高三数学第一次模拟测试-4-(共4页)O

榆林市2026届高三第一次模拟测试

数学试题参考答案及评分标准

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.

【参考答案】D

【试题解析】由题意可得AUB={-1,0,1,3}.故选D.

2.

【参考答案】A

【试题解析】解法1:由题意可得z=1+i,则z=1-i,所).故选A.

解法2:z=1+i的辐角为,=1-i的辐角,z与z的模相等，的辐角为,模为1,故选A.

3.

【参考答案】B

【试题解析】解法1:因为所以a₃=1,所以a₅=3,所以公差d=1,则a₈=a₃+5d=6,故选B.

解法2:因为即

所以ag=a₁+7d=6,故选B.

4.

【参考答案】D

【试题解析】因为“3x∈R,使x²+x+a-2≤0”是假命题，所以“Vx∈R,都有x²+x+a-2>0”是真命题.

即△=1²-4(a-2)=9-4a<0,所以,故选D.

5.

【参考答案】A

【试题解析】因为,所以f'(1)=-1.又f(1)=-2,所以曲线f(x)=-2x+lnx在点(1,f(1))处的切线

方程为y=-x-1.直线y=-x-1与x轴交于点(-1,0),与y轴交于点(0,-1),因此所求面积为故选A.

6.

榆林市2026届高三数学第一次模拟测试-答案-1(共9页)

以考查逻辑推理和直观想象等核心素养.

【参考答案】D

【试题解析】选项A:若α//β,mCα,nCβ,则m//n或m与n异面；选项B:若m//n,m//α,n//β,则α//β或α与β

相交；选项C:若m⊥n,m⊥α,nCβ,则α⊥β或α//β或α与β相交但不垂直；选项D:若m⊥α,n⊥β,α//β,则必

有m//n.故选D.

7.

【参考答案】C

【试题解析】解法1:以A为原点，AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，设则,AE·AB

=(a,b)·(2,0)=2a∈[1,3],故选C.

解法2:设AE在AB上的投影长为a,则,AE·AB=2a∈[1,3],故选C.

8.

【参考答案】B

【试题解析】解法1:由题意可知e¹+2Ina=e⁵+2b,设f(x)=e*+2x,则函数f(x)在R上单调递增.又f(Ina)=

f(b),所以Ina=b,ab=alna.设g(x)=xlnx,则g'(x)=Inx+1,令g'(x)=0得当时，g'(x)<0;当x

时，g'(x)>0.因此g(x)在单调递减，在()单调递增，故,因此alna≥

,故选B.

解法2:由题意可知a+2lna=e⁶+21ne,设f(x)=x+2lnx,则函数f(x)在(0,+∞)单调递增.又f(a)=f(e⁵),所以

a=e,ab=be.设g(x)=xe*,则g′(x)=(x+1)e⁴,令g'(x)=0得x=-1.当x<-1时，g'(x)<0;当x>-1时，g′(x)

>0.因此g(x)在(-∞,-1)单调递减，在(-1,+∞)单调递增，,因此,故选B.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，

部分选对的得部分分，有三个正确选项的，每个选项2分，有两个正确选项的，每个选项3分，有选错的得0分.

9.

【参考答案】ACD

【试题解析】解法1:因为,且,所以y=f(x)图象关于直线对称，即

,解得w=1+4k(k∈Z),又0<w<4,所以w=1.令,所以y=

f(x)图象的对称中心为(k∈

Z),所以函数f(x)的单调递减区间为;设,因为,所以

,函数f(x)在[上的最小值为,故选ACD.

榆林市2026届高三数学第一次模拟测试-答案-2(共9页)

y

解法2:因为,且,所以y=f(x)=sin(x+4)

1

y=sinx

f(x)图象关于直线对称，即,解

πX

π2π

得w=1+4k(k∈Z),又0<w<4,所以4-13π4

由函数f(x)的图象易知，其图象的对称中心为)(k∈Z),单调递减区间为(k∈

Z),选项D同上，故选ACD.

10.

【参考答案】BD

【试题解析】解法1:由f(x)=-|x-a|+a,所以f(x)在(-∞,a)上单调递增，在(a,+∞)

上单调递减，而y=lg(x)|在(-∞,1)、(2,3)上单调递减，在(1,2)、(3,+∞)上单调递增，当直线y=-x+2a与

曲线y=-x²+4x-3(x∈[1,3])相切时，联立得x²-5x+3+2a=0,令△=25-4(2a+3)=0,得

依题意，作出y=|g(x)|与y=f(x)的图象，如图所示，由图知，

①当时，f(1)=2a-1<0且|g(a)|=a²-4a+3>a²+1>f(a)=a,

函数y=f(x)的图象与y=lg(x)|的图象无交点，不满足题意；

②当且

函数y=f(x)的图象与y=lg(x)|的图象仅交于点(1,0),不满足题意；

③当时，若,则f(1)=2a-1>0=1g(1)|,若,则f(1)=1>0=|g(1)|,

要使方程f(x)=|g(x)|恰有2个不同的实数根，则f(x)=-x+2a的图象与x轴的交点在点(3,0)左侧，只需2a<

3,即-,当时f(x)=|g(x)|有3个不同实根，时f(x)=|g(x)|有4个不同实根；

④当时，由上函数y=f(x)的图象与y=lg(x)|的图象有3个交点，不满足题意；

⑤当时，函数y=f(x)的图象与y=|g(x)|的图象有2个交点，满足题意.

综上，a的取值范围为,所以实数a可能的取值为1和2,故选BD.

解法2:对于A选项，当时，f(1)=0且,函数y=f(x)的图象与y=

lg(x)|的图象仅交于点(1,0),不满足题意；对于B选项，当a=1时，函数y=f(x)最大值点为(1,1),函数y=

f(x)的图象与y=lg(x)|的图象有2个交点，满足题意；对于C选项，当时，f(3)=0,f(x)=|g(x)|有3个

不同实根；对于D选项，当a=2时，此时函数y=f(x)与y=lg(x)|的图象都关于直线x=2

榆林市2026届高三数学第一次模拟测试-答案-3(共9页)

对称，方程f(x)=|g(x)|恰有2个不同的实数根，所以实数a可能的取值为1和2,故选BD.

11.

【参考答案】ABD

【试题解析】

选项A:在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，过M,N,P的截面与各棱交点为各棱中点时截面为正六边形，故选项A

正确；选项B:如图过N作NE垂直DC于E,则NE⊥平面ABC,连接PN,PE.则∠NPE为PN与平面ABC所成

角.在Rt△PNE中,要使tan∠NPE最大，只需EP最小，又EP最小值为1,所以tan∠NPE最

大值为1,从而直线PN与平面ABC所成角最大值为-故选项B正确；

对于选项C和D:以D为坐标原点建立如图所

示空间直角坐标系，则A₁(1,0,1),C(0,1,0),

,设AP=t,t∈[0,1],

则P(1,t,0).

1-t,1).若MN⊥PM,则

0,解得,又t∈[0,1],所以存在点P,使得MN⊥PM.故选项C不正确.

设平面A₁CM的一个法向量m=(x,y,z),CA₁=(1,-1,1),

则取z=1,解得x=-2,y=-1,故m=(-2,-1,1),

又,所以m·PM=1+t≠0,从而PM与A₁C一定是异面直线.故选项D正确.故选ABD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分

12.

【参考答案】(1,1)(答案不唯一，只需横坐标为1即可)

【试题解析】向量b=(x,y)在向量a=(2,0)上的投影向量为(2,0)=

(x,0)=(1,0),所以x=1,则向量b=(1,y),可取b=(1,1).

13.

【参考答案】

【试题解析】

榆林市2026届高三数学第一次模拟测试-答案-4(共9页)

解法1:因为,所以(k∈Z),则或(k∈Z),

所以

解法2:因为

14.

【参考答案】10,

【试题解析】

①对于{2,4,1,3,5|可知，

2的顺序数为3,逆序数为1;4的顺序数为1,逆序数为2;

1的顺序数为2,逆序数为0;3的顺序数为1,逆序数为0.

故T₅=10.

②对于各项均不相同的有序数组{a₁,a₂,a₃,…,an,易知a₁后有n-i个数，

所以a,的顺序数+逆序数=n-i,

所以

故答案为：:10

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.

【参考答案】见解析

【试题解析】(1)因为an+1=5aₙ+4,且a₁+1=4+1=5,(2分)

所以数列{aₙ+1}是以5为首项，以5为公比的等比数列，…………………(5分)

所以an+1=5”,即aₙ=5"-1.…………………(7分)

(2)因为b₀=aₙ+2n=5"+(2n-1),

……………………(13分)

榆林市2026届高三数学第一次模拟测试-答案-5(共9页)

16.

【参考答案】见解析

【试题解析】

解法1:(1)由正弦定理

即a²+c²-b²=ac,……………(3分)

由余弦定理得,0<B<π…………………(6分)

(2)如图所示，因为,所以ac=4,……………(8分)

因为BD为∠ABC的平分线，SABC=SAABD+S△DBC,所以4√3=(a+c)·BD,(12分)

,当且仅当a=c=2时，等号成立，……………(14分)

所以线段BD的最大值为√3.………………(15分)

解法2:(1)同上；

(2)如图所示，,由角平分线定理,则

………………(8分)

C

所以

因为所以ac=4,……………(12分)

,当且仅当α=c=2时，等号成立，………(14分)

所以线段BD的最大值为√3.………………(15分)

17.

【参考答案】见解析

【试题解析】(1)证明：因为A₁E⊥ED,BE⊥ED,A₁E∩BE=E,A₁E,BEC平面A₁BE.所以ED⊥平面A₁BE.……

……………………………(3分)

又A₁BC平面A₁BE,所以A₁B⊥ED(4分)

(2)由题意知A₁E,EB,ED两两垂直，以EB,ED,EA₁所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标

系，又A₁E=EB=4,BC=6,ED=8,故A₁(0,0,4),E(0,0,0),B(4,0,0),C(4,6,0),D(0,8,0)(6分)

(i)证明：设0(x,y,z),则OA₁=√x²+y²+(4-z)²,OB=√(4-x)²+y²+2,

0C=√(4-x)²+(6-y)²+2,OD=√x²+(8-y)²+2.………(8分)

榆林市2026届高三数学第一次模拟测试-答案-6(共9页)

由OA₁=OB=0C=OD,解得x=z=0,y=3,则0(0,3,0),故0在线段ED上.…

…………(10分)

(ii)因为A₁C=(4,6,-4),A₁D=(0,8,-4),

设平面A₁CD的一个法向量m=(a,b,c),

则即令b=1,解得,c=2.

所以…………………………(12分)

又A₁O=(0,3,-4),设直线A₁0与平面A₁CD所成角为θ,

…………(14分)

所以直线A₁0与平面A₁CD所成角的正弦值为……………………(15分)

18.

【参考答案】见解析

【试题解析】(1)当a=1时，f(x)=e-x-1,f'(x)=e-1(1分)

令f'(x)=0得x=0.当x<0时，f'(x)<0;当x>0时，f'(x)>0.因此f(x)在(-∞,0)单调递减，在(0,+∞)单调递

增，……………………………(3分)

故f(x)的最小值为f(0)=0(4分)

(2)(i)解法1:令f(x)=0…………(5分)

设,则g(x)图象与直线y=a有两个交点.………(6分)

,当x<0时，g'(x)>0;当x>0时，g'(x)<0.

因此g(x)在(-∞,0)单调递增，在(0,+∞)单调递减.…………(8分)

x→+∞0时，g(x)→0,g(-1)=0,g(0)=1,由右图可知，

0<a<1.因此a的取值范围为(0,1).……………(10分)

解法2:函数f(x)的定义域为R,f'(x)=ae-1(5分)

当a≤0时，f'(x)<0,故f(x)在R上单调递减，不满足题意；………………(6分)

当a>0时，令f'(x)=0得当时，f'(x)<0;当时，f'(x)>0.因此f(x)在单

调递减，在单调递增.……………(8分)

x→+∞时，f(x)→+∞,x→-0时，f(x)→+∞,因为函数f(x)有两个零点，所以,解得0<a<

1.因此a的取值范围为(0,1).……………(10分)

(ii)证明1:由(i)解法2知,要证：,即证：.因为x₂

榆林市2026届高三数学第一次模拟测试-答案-7(共9页)

,所单调递减，即证,又f(x₁)=

f(x₂),即证.……………(13分)

设

-2=0,当且仅当时取等号，所以h'(x)>0,函数h(x)在()单调递增.……………(15分)

当)时,因此.因为,所

故原不等式成立.…………………(17分)

证明2:由题意可知ae¹=x₁+1,ae2=x₂+1,两式相减得………(11分)

要证,即证,即证,…………(12分)

令t=x₂-x₁,则t>0.即证,即证e¹-tez-1>0(t>0).………(13分)

设,则.…………………(14分)

由(1)知，e*-x-1≥0,当且仅当x=0时取等号.……………(15分)

故,即h'(t)>0,h(t)在(0,+c∞o)单调递增，当t>0时，h(t)>h(0)=0,故原不等式成立.…(17分)

证明3:由题意可知ae¹=x₁+1,ae²=x₂+1,两式相减得.………(11分)

要证,即证,即证…………(12分)

令e¹=t₁,e2=t₂,则0<t₁<t₂,x₁=lnt₁,x₂=lnt₂.即证。,即证In

t₂).…………………………(14分)

令,即证2ln…………………