福建省全国名校联盟2026届高三上学期中考试数学（含答案）

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准考证号姓名

(在此卷上答题无效)

全国名校联盟2026届高三上学期期中考试

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数学试题2025.11

本试卷共4页，19小题，考试时间120分钟，总分150分。

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上和本试卷上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将写在题卡上。写在

本试卷上无效。

3.考试结束后，将答题卡交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

1.设集合U={1,2,3,4,5},若A={1,2,5},B={2,3,5},则C(A∩B)=

A.{5}B.{1,3}C.{1,2,3}D.(1,3,4}

2.若(a∈R)的虚部为2,则a=

A.-2B.2C.-4D.4

3.记等差数列{aa}的前n项和为S。,公差为d(d≠0),若S,=10a,则

A.B.2CD.3

4.已知某放射性同位素的含量N与时间1的关系式为其中N₀为初始含量.则当该

放射性同位素的含量为

N₀时，z的值约为

附：In2≈0.693.

A.33B.45C.67D.78

数学试题第1页(共4页)

5.已知某圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆，则该圆锥的体积为

A.B.C.√3πD.

6.已知函数f(x)=cos(2x+φ).设甲：f(1)=f(-1),乙：f(x)是偶函数，则

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

7.若函数f(x)=(x-a)(x-2)²的极大值为·则a=

A.-1B.0C.1D.2

8.若sin(θ+20°)=cos(θ-10°)+cos(θ+70°),则tanθ=

A.B.C.-√3.D.√3

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.已知a>0,b>0,且atb=2,则

A.ab≤1B

C.a²+b²≥2D.log:Va+log.b≥0

10.已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1,动点P在底面A₁B₁C₁D₁内，且BP⊥B₁D,则

ABP//平面ACD₁

B.P的轨迹长度为√2

C.恰有一个点P,满足BP⊥AC

D.BP与平面A₁B₁C₁D₁所成角的正弦值的最大值为

11.已知函恰有两个极值点x₁,x₂(x,<x₂),则

A.a>3

B.存在a∈R,使得f(x)有三个零点

C.

D.x₁x₂<1

数学试题第2页(共4页)

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知向量a,b满足a·b=4,|b|=1,则b(a-b)=.

13.已知函数f(x)=e-°+e²-,若y=f(x)的图象关于直线对称，则f(x)的值域为

一.

14.在三棱锥P-ABC中，PA,PB,PC两两垂直，PB=2PA,若点P到平面ABC的距离为1,

则三棱锥P-ABC体积的最小值为_

四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(13分)

记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知√3bsinC+ccosB=c.

(1)求B:

(2)若A=3C,且△ABC的面积为3-√3,求a.

16.(15分)

已知函数f(x)=(1-x)e².

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)设点(a,b)在曲线y=f(x)上，求f(a)-f(b)的最大值.

17.(15分)

如图，在梯形ABCD中，AD//BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=CD=4,E是CD的中

点，将△ADE沿AE翻折至△APE,使得PC=2√3.

(1)证明：平面PAE⊥平面ABCE;

(2)求平面PAE与平面PBC夹角的余弦值.

数学试题第3页(共4页)

18.(17分)

已知数列{aa}满足a₁=1,aa+an.1=k×2-¹(k>0).

(1)设b≠aza+1-az-1,证明：数列{bn}为等比数列：

(2)若{aa}为等比数列，求k的值；

(3)若Vn∈N°,a₀<an+1,求k的取值范围.

19.(17分)

设函(x>0).

(1)求曲线y=f(x)在点)处的切线方程；

(2)设x,为f(x)从小到大的第n(neN")个极值点。

(i)证明：x₂-x₁>π;

(ii)设证明：

数学试题第4页(共4页)

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数学试题参考答案解析

1234567891011

DABCDCCBACABCACD

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.答案：D

解析：易知A∩B={2,5},则(A∩B)={1,3,4}.故选D.

2.答案：A

解析：,∴z的虚部为-a=2,∴a=-2,故选A.

3.答案：B

解析：,∴a₃=2a,即a₁+2d=2a₁,∴故选B.

4.答案：C

解析：由题意得即,两边取对数得·解得t≈67,故选C.

5.答案：D

解析：设圆锥的底面半径为r,母线长为1,则∴1=2,又2πr=πl,∴r=1,∴圆

锥的高为√3,∴该圆锥的体积为,故选D.

6.答案：C

解析：若f(1)=f(-1),则cos(2+φ)=cos(-2+4);

∴2+φ=-2+φ+2kπ(k∈Z)(舍)或2+φ+(-2+φ)=2kπ(k∈Z),

则φ=kπ(k∈Z),∴f(x)=cos(2x+kπ).

若k为偶数，则f(x)=cos(2x)为偶函数；若k为奇数，则f(x)=-cos(2x)为偶函数.

若f(x)为偶函数，则f(1)=f(-1),必要性成立.∴甲是乙的充要条件，故选C.

7.答案：C

解析：f'(x)=(x-2)²+2(x-2)(x-a)=(x-2)(3x-2a-2),显然x=2不是f(x)的极大值点，

为f(x)的极大值点，且

解得a=1,故选C.

8.答案：B

解析：依题意，sin(θ+20°)=cos(θ-10°)+cos(θ+70°)=cos(θ-10°)+sin(20°-θ),

∴sin(20°+θ)-sin(20°-θ)=2cos20°sinθ=cos(θ-10°),

∵cos(θ-10°)=cosθcos10°+sinθsin10°,∴2cos20°sinθ=cosθcos10°+sinθsin10°,

,故选B.

高三数学第1页(共8页)

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二

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.答案：AC

解析：a+b≥2√ab,∴ab≤1,故选项A正确；

故选项B错误；

故选项C正确；

log₂√a+log₄b=log₂√ab≤0,故选项D错误.故选AC.

10.答案：ABC

解析：易知B₁D⊥平面ACD₁,∵B₁D⊥BP,BP4平面ACD₁,∴BP//平面ACD₁,A选项正确；

∵B₁D⊥平面BAC₁,∴P在对角线A₁C₁上，B选项正确；

∵AC⊥平面BB₁D₁D,∴当且仅当P为AC₁的中点时，满足BP⊥AC,C选项正确；

BP与平面A₁B₁C₁D₁所成角即为∠BPB₁,∴当P为AC的中点时，∠BPB₁取得最大值，

此时,D选项错误；故选ABC.

11.答案：ACD

解析：考查选项A:,两函数图象有且仅有两个

不同的交点..,y'<0→0<x<1,

x(0,1)1(1,+o)

y+0+

y单调递减极小值单调递增

∴..n=3,另外，x→0和x→+00,f(x)→+00,∴a>3时，两函数图象有且仅有两个不同的交点，

∴A选项正确；

考查选项B:由A选项知，a>3时，f(x)有三个单调区间：

易知f(x)在区间(0,x₁)上单调递增，在区间(x₁,x₂)上单调递减，

在区间(x₂,+∞)上单调递增，且

则,(极大值)

设则

∴当x∈(0,1)时，g'(x)>0,g(x)单调递增，当x∈(1,+∞)时，g'(x)<0,g(x)单调递减，

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∴f(x)的极大值小于零，不可能有三个零点，∴B选项错误；

考查选项C:同理可得，由B选项可知，

,C选项正确.

考查选项D:由选项B知，,且x₁∈(0,1),x₂∈(1,+o),

,即

∵x₁+x₂>2√xx₂,∴即x₁x₂<1,∴D选项正确.故选ACD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.答案：3

解析：b·(a-b)=a·b-b²=4-1=3,故填3.

14.答案：

解析：不妨设PA=x,PC=y,则PB=2x,AB=√5x,

过P作PH垂直AB于H,则

∵PC⊥AB,PH⊥AB,PH∩PC=P,∴AB⊥平面CPH,

三棱锥P-ABC的体积1

不妨设,则

令f'(x)=0,解得x=√3,∴f(x)的最小值为

∴三棱锥P-ABC体积的最小值为故填

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四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)

记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知√3bsinC+ccosB=c.

(1)求B;

(2)若A=3C,且△ABC的面积为3-√3,求a.

解：(1)∵√3bsinC+ccosB=c,由正弦定理，

∴√3sinBsinC+sinCcosB=sinC,…………………2分

∵sinC>0,

∴√3sinB+cosB=1,即,……………………4分

由B为三角形内角，即B∈(0,π),

,得…………6分

评分细则：

步骤一：使用正弦定理转化条件(2分)

步骤二：辅助角公式化简得到：(2分)

步骤三：结合B的范围求B(2分)

(2)∵A=3C,且

……………7分

,…………………8分

由正弦定理有……………9分

△ABC的面积为…………………11分

由△ABC的面积为3-√3,可得

∴a=2√2.……………13分

评分细则：

步骤一：得到A,C(1分);步骤二：求出sinC(1分);步骤三：正弦定理得到(1分);

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步骤四：表达△ABC的面积(2分);步骤五：代入求a(2分).其他过程酌情给分.

16.(15分)

已知函数f(x)=(1-x)e*.

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)设点(a,b)在曲线y=f(x)上，求f(a)-f(b)的最大值.

解：(1)f'(x)=-xe………………………2分

当x<0时，f'(x)>0,f(x)单调递增，

当x>0时，f'(x)<0,f(x)单调递减………………………4分

∴f(x)在区间(-∞0,0)上单调递增，在区间(0,+o)上单调递减……………5分

评分细则：

步骤一：求导(2分);步骤二：判断单调性(2分);步骤三：结论(1分);

(2)由(1)可知，f(x)的最大值为f(0)=1,………7分

又x→+00时，f(x)→-∞,∴b≤1…………8分

由题意得，b=f(a),∵f(a)-f(b)=b-f(b),

不妨设g(x)=x-f(x)(x≤1)………………11分

则g'(x)=1-f'(x)=1+xe,设h(x)=g'(x),则h(x)=(x+1)e,

∴h(x)在区间(-∞,-1)上单调递减，在区间[-1,1]上单调递增，

………………13分

∴g'(x)>0,g(x)在区间(-∞,1)上单调递增，∴g(x)≤g(1)=1-f(1)=1,

∴f(a)-f(b)的最大值为1.………………15分

评分细则：

步骤一：得到b≤1,没有极限说明扣1分(3分);

步骤二：代换得到f(a)-f(b)=b-f(b),设g(x)=x-f(x)(x≤1)(3分);

步骤三：求导判断g(x)单调递增(2分);

步骤四：求最值以及结论(2分);

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二

17.(15分)

如图，在梯形ABCD中，AD//BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=CD=4,E是CD的中点，

将△ADE沿AE翻折至△APE,使得PC=2√3.

(1)证明：平面PAE⊥平面ABCE;

(2)求平面PAE与平面PBC夹角的余弦值.

解：(1)连接BD交AE于点O,连接OP,OC,OB,

∵PA=PE,∴OP⊥AE,

在Rt△ADE中，AD=DE=2,∴OP=OD=√2,

……………2分

在△POC中，OP=√2,OC=√10,PC=2√3,

∴OP²+OC²=PC²,∴OP⊥OC,………3分

又∵AE∩OC=0,AE,OCc平面ABCE,

∴OP⊥平面ABCE,……5分

又OPc平面PAE,二平面PAE⊥平面ABCE.6分

评分细则：

步骤一：求oc(2分);

步骤二：勾股定理得到OP⊥OC(1分);

步骤三：线面垂直证明：OP⊥平面ABCE(2分);

步骤四：面面垂直证明：平面PAE⊥平面ABCE(1分).

(2)易知∠DEA=∠CDB=45°,∴BD⊥AE,即OA⊥OB,

由(1)可知OP⊥平面ABCE,又∵OA,OBc平面ABCE,

∴OP⊥OA,OP⊥OB,∴OP,OA,OB两两垂直，………7分

易知AB=2√5,OA=√2,∴OB=3√2,…………8分

评分细则：

步骤一：由几何关系得到OP,OA,OB两两垂直(1分);

步骤二：求得OB=3√2(1分);

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方法1:

如图，以O点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

0(0,0,0),A(√2,0,0),B(0,3√2,0),C∈2√2;√2,0),P(0,0√2,E-√2,0,0),

CB=(2√2,2√2,0),PB=(0,3√2,-√2),EP=√2,0,√2),………9分

设平面PBC的法向量为n=(x,y,z),则

取x=1,得y=-1,z=-3,则n=(1,-1,-3),………11分

易知平面PAE的法向量为m=(0,1,0),………………13分

∴设平面PAE与平面PBC夹角的为θ,

则

∴平面PAE与平面PBC夹角的余弦值为……15分

评分细则：

步骤一：建系得到点和向量(1分);

步骤二：求平面PBC的法向量(2分);

步骤三：求平面PAE的法向量(2分);

步骤四：求值和结论(2分).

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方法2:

如图，分别延长AE,BC交于点Q,则0Q=3√2,PQ=2√5,

Q过0作OH垂直PQ于H,9分

∵BO1平面PAQ,PQc平面PAQ,∴BO⊥PQ,

又OH⊥PQ,OH∩OB=0,∴PQ⊥平面OHB,

∴PQ⊥HB,平面PAE与平面PBC的夹角即为ZOHB,……………12分

易知

故………15分

评分细则：

步骤一：作辅助线(1分);

步骤二：证明∠OHB为平面PAE与平面PBC的夹角，具体过程酌情给分(3分);

步骤四：求值和结论(3分).

18.(17分)

已知数列{a}满足a₁=1,a+a+1=k×2”⁻¹(k>0).

(1)设bn=a2n+1-a₂n-1,证明：数列{b,}为等比数列；

(2)若{a}为等比数列，求k的值；

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(3)若Vn∈N,a<an+1,求k的取值范围.

方法1:

解：(1)由已知可得azn-1+a₂n=k×22-2,且an+azn+1=k×2-1,1分

∴a2n+1-azm₋1=k×(2-1-22-²)=k×4”-1,即bₙ=k×4”-1,2分

∵b₁=a₃-a₁=k>0,且

∴数列{b}是首项为k,公比为4的等比数列.………4分

评分细则：

步骤一：求bₙ=k×4”⁻¹(2分);

步骤二：证明和结论(2分).

(2)易知a₁+a₂=k,且a₂+a₃=2k,

∴a₂=k-1,a₃=2k-(k-1)=k+1,∴,……………5分

∵k>0,∴k=3,……………………6分

当k=3时，

∵a₂+1-a2n-1=3×4”⁻¹,

∴a2n+1=(a₂n+1-a₂n-1)+(a₂n-1-a₂n-3)+…+(a₃-a)+a₁

=3×(4”⁻¹+4”⁻²+…+1)+1=2²”,……………7分

∵a₂n+a₂n+1=3×22-1,

∴a₂=3×22ᵐ-¹-4”=2²ᵐ-1,………8分

∴aₙ=2”⁻¹,n≥2,n∈N,

又a₁=1=2¹-¹,∴a=2”-¹,n∈N,∴{a}为等比数列，

综上所述，若{a}为等比数列，则k=3.……………9分

评分细则：

步骤一：必要性得到k=3(2分);

步骤二：验证k=3,其中奇数项和偶数项通项各1分(3分).

高三数学第9页(共8页)

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其他解法酌情给分

(3)∵a₂n+1-azn-1=k×4”-1,

∴a₂+1=(a₂n+1-a₂n-1)+(azn-1-a₂n-3)+…+(a₃-a₁)+a₁

………………10分

………………11分

·,n≥2,n∈N*,且

·,n∈N°,

不难知道a₂n-1<a₂n+1,a₂n<a₂n+2,故条件等价于azn-1<a₂n<azn+1恒成立，………………12分

由a₂n<a2n+1,

,∴任意k>0均符合题意，…………14分

由a₂n-1<a₂n,,解得

显然是递减数列，∴∴k>2,…16分

综上所述，k的取值范围为(2,+o).……………………17分

评分细则：

步骤一：求奇数项和偶数项通项(2分);

步骤二：分别处理a₂n<a₂n+1,a₂n-1<a₂n(4分);

步骤三：结论(1分);

其他解法酌情给分

高三数学第10页(共8页)

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方法2:

解：(1)由aₙ+an+=k×2”-¹可得，…………………1分

,2分

,…………3分

∴数列{b}是首项为k,公比为4的等比数列.……………4分

评分细则：

步骤一：求出通项(2分);

步骤二：求b,(1分);

步骤三：证明及结论(1分);

(2)易知a₁+a₂=k,且a₂+a₃=2k,

∴a₂=k-1,a₃=2k-(k-1)=k+1,∴,………5分

∵k>0,∴k=3,……6分

由(1)可得，aₙ=2”⁻¹,∴{a}为等比数列，

综上所述，若{a}为等比数列，则k=3.……………9分

评分细则：

步骤一：必要性得到k=3(2分);

步骤二：验证及结论(3分);

(3)依题意，Vn∈N,a<an+1,

即Vn∈N°,,………………11分

高三数学第11页(共8页)

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当n为偶数时，即

即

对任意偶数恒成立，…………………13分

当n为奇数时，即,即

∵2”-¹≥2¹-¹=1,∴解得k>2,………………16分

综上所述，k的取值范围为(2,+o).………17分

评分细则：

步骤一：转化为an<an+,代入写出目标式(2分);

步骤二：分别讨论n为偶数、奇数(5分);

步骤三：结论(1分).

19.(17分)

设函数

(1)求曲线y=f(x)在点处的切线方程；

(2)设x,为f(x)从小到大的第n(n∈N*)个极值点.

(i)证明：x₂-x₁>π;

(ii)设,证明：

解：(1)易知…………………2分

又,∴曲线y=f(x)在点)处的切线方程为,……………3分

整理得，

∴曲线y=f(x)在点处的切线方程为…………4分

评分细则：

步骤一：求导以及得到(2分);

步骤二：写出切线方程(1分);

步骤三：整理以及结论(1分).

高三数学第12页(共8页)

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(2)令f'(x)=0,显然cosx≠0,

,∴tanx-x=0,即tanx-x,=0,………5分

时，设g(x)=tanx-x,则

∴当)时，g(x)>g(0)=0,……