专题15 导数中同构与放缩的应用(解析版)

专题15导数中同构与放缩的应用同构法是将不同的代数式(或不等式、方程)通过变形，转化为形式结构相同或者相近的式子，通过整体思想或换元等将问题转化的方法，这体现了转化思想．此方法常用于求解具有对数、指数等混合式子结构的等式或不等式问题．当然，用同构法解题，除了要有同构法的思想意识外，对观察能力，对代数式的变形能力的要求也是比较高的，考点一部分同构携手放缩法（同构放缩需有方，切放同构一起上）【方法总结】在学习指对数的运算时，曾经提到过两个这样的恒等式：(1)当a＞0且a≠1时，有再结合指数与对数运算法则，可以得到下述结论(x＞0)(“e三兄弟与“lnx”三姐妹)xxx，xxln(ｅxaax，(2)当a＞0且a≠1时，有xaax(3)x)xx(4)ｅxx，xxxxxxｅxx，xx(6)xxxxxxx，xx1，x等，可以得到更多的结论1再结合常用的切线不等式：ｅ(7)ｅｅxxx1，xxln(ｅxxx)ex1．exｅxxx(xx)，xxln(ｅx)x1ｅ．ｅxxx(8)ｅxxxx1，xx－１xxxx1ｅxxｅxx(xx)xx，xxxxxx(9)ｅxxxx1，xxxxxxxxx1ｅxxxx)，xxxx【例题选讲】[例1](1)已知f(x)xxｅx1，则函数f(x)的最大值为________．答案－2解析f(x)xxxｅx1xxxx1xx(xx．(当且仅当x＋2lnx10取等号．x1(2)函数f(x)ｅx的最小值是________．x1ｅx1ｅxxxxx1xx1x11解析f(x)ｅx1(当且仅当x答案xxxxlnx＝0取等号)．xｅx2x(3)函数f(x)的最小值是________．2lnxｅ2lnxx2lnx12lnxx1ｅxx2lnxx答案1解析f(x)1(当且仅当x＋2lnx＝0取等x1x1x1)．[例2](1)不等式xx10恒成立，则实数a的最大值是________．exx1exx1exxx11ｅxx10恒成立a(1当且仅当xln＝0等号成立．a(xx0恒成立，则正数a的取值范围是________．)xxxxx1x1x(2)不等式ｅx答案a１解析xｅxa(xx0ｅxxa(xx0ｅxxa(xx，当xxxxxxx1ｅxx1ｅlnx1≤0时，原不等式恒成立，当x＋x＋＞0时，a，由于，当xx1xx1且仅当xln＝1等号成立，所以a故a(3)不等式ｅxa(xx)0恒成立，则正数a的取值范围是________．0aｅxｅxa(xx)0ｅxxa(xx)0ｅxxa(xx)ｅat令ttata0ttxx)0aatｅatt(4)已知函数f(x)xbxaxxx，其中b＞0，若f(x)0恒成立，则实数a与b的大小关系是________．xbxx1ｅ答案ab解析f(x)0xbxaxx1ｅxbxx1axa，由于xxbxx1xbx1x1ｅb，当且仅当＋blnx0等号成立，所以ab．xx(5)已知函数f(x)ｅxx1，若f(x)0恒成立，则实数a的取值范围是________．１ｅx1答案a解析ｅxx10a，由于lnx＋1≤x，e≥ex，两者都是当且仅当x＝1xx1x1e１等号成立，则，所以a．ｅxxxx，对任意的正数x恒成立，则实数k的取值范围是________．1(6)已知不等式exlnexkｅ－1ｅx1xke≥exlnex≤两者都是当且仅当x1xxｅxxexx等号成立，所以，1则1，kｅ－1．xxxx(7)已知不等式x10，对任意的正数x恒成立，则实数a的取值范围是________．1答案(]解析ｅx1axxx1x1x10，当且xx1仅当－axlnx＝，即a时等号成立，由a有解，易得a．ｅxx(8)已知函数f(x)ｅa(xx)有两个零点，则实数a的取值范围是________．x,)f(x)ｅxxa(xx)xxa(xx)令txlnx,tRetett0agt)，gt)(－1)单调递减(1单tt调递增．gt)minge，ae．[例3](2020届太原二模)已知函数f(x)x1.(1)若函数f(x)有两个零点，求实数a的取值范围；(2)若f(x)ex恒成立，求实数a的取值范围．1(1)f(x)定义域是)，f(x)a，x①当a0f(x)0，f(x)在定义域上单调递增，不可能有两个零点；11②当a0时，由f(x)a0得x0，xa1当x)f(x)0，f(x)在定义域上单调递增，a11当x(,)f(x)0，f(x)在定义域上单调递减，所以当xf(x)取得极大值．aa1当x0f(x)当xf(x)，f(x)有两个零点，所以f()0，a1a0．exx1(2)f(x)ex恒成立，x1ex恒成立，a恒成立，xexx1exx1exxx1xx1x1令g(x)，则1当且仅当时取等号．xxxxf(x)ex恒成立，实数a的取值范围为a1．【对点精练】1．函数f(x)ｅ1．答案f(x)ｅ成立．xxx的最小值为________．xxxxxxxxx1xx1当且仅当＋lnx＝0ｅxx2．函数f(x)的最小值为________．ｅxｅxxx1xx1f(x)3．函数f(x)xx1)ｅxxx2．答案11当且仅当xln＝0等号成立．x1x1x1xx的最大值是________．xx1ｅxxx1ｅxx3．答案0f(x)(xxｅxxxxxx1(xx0(当且仅当xlnx＝0取等号)．x4．已知不等式ｅxa(xx，对任意正数x恒成立，则实数a的取值范围是________．ｅxｅxｅxx1xxxlnx4．答案a1ｅxa(xxax1x1xx1x1，a1．x15．已知函数f(x)ｅxa(xx，若f(x)0恒成立，则实数a的取值范围是________．5．答案aｅf(x)0ｅxa(xxｅxxa(xx，当xlnx＋xxｅxxｅ(xx)ｅｅｅ时，原不等式恒成立，当x＋lnx10时，a=当且仅xx1当x＋lnx1等号成立，所以a故axx1xx16．已知函数f(x)ｅ2xx1，若f(x)0恒成立，则实数a的取值范围是________．１x1e2x6．答案af(x)ｅ2xx1alnx＋x，2≥2ex，两者都是当且仅ｅx1x1１，所以a．当x＝1等号成立，则ｅ2xxｅ7．已知a，b分别满足eae2,b3，则ab＝________．aeabe2aeae2eaeae27．答案3同构化处理，并利用函数的单调性．，bbbbbe3e2ee2eeebbbbaeaee令f(x)ex，显然该函数单调递增，即f(a)f)aab＝e．eee8．已知x0是函数f(x)x2ex2x2的零点，则e200________．e2e2e2e28．答案2x2ex2x＝０x2ex22xxexxx)，xxxxe2)x，即2xx2xx，则e20xxx2．000x考点二整体同构携手脱衣法【方法总结】在成立或恒成立命题中，很有一部分题是命题者利用函数单调性构造出来的，如果我们能找到这个函数模型（即不等式两边对应的同一个函数），无疑大大加快解决问题的速度，找到这个函数模型的方法，我们就称为整体同构法．如，若(x)≥0能等价变形为[g(x)]≥[h(x)]，然后利用(x)的单调性，如递增，再转化为g(x)≥h(x)，这种方法我们就可以称为同构不等式（等号成立时，称为同构方程），简称同构法．1地位同等同构（主要针对双变量，合二为一泰山移）ff1－fx2(1)(2)>k(xx)(x)(x)<kx－kxf(x)－kxf(x)kxy(x)－kx为增函数；1212121122x－x21－fx2kk(x－x)kkkk12<(x<x)1(x)－f(x)>＝－2(x)＋x1>(x)＋y＝(x)＋212x－2xx2xx1x212kx为减函数；含有地位同等的两个变xx或q”12如果整理（即同构）后不等式两边具有结构的一致性，往往暗示单调性（需要预先设定两个变量的大小）2指对跨阶同构（主要针对单变量，左同右同取对数）aeab)elnb构造函数f(x)exf(x)xxaabb)构造函数f(x)xx同左(1)积型：aeabb三种同构方式同右eaeabb构造函数取对mxmxmmxm如，2x3xx2x2ex2x2elnｅ，后面的转化同(1)xx说明；在对“积型”进行同构时，取对数是最快捷的，同构出的函数，其单调性一看便知．aelnbxeef()构造函数同左abxeabeabx(2)商型：三种同构方式同右构造f(x)函数abeabx取对aabb)构造函数f(x)xx同左aaaelnbb构造函数f(x)exxf()xxln(xln(xee(3)和差：eaabb两种同构方式同右eabb构造函数ｅaxln(xx1ｅｅax3无中生有同构（主要针对非上型，凑好形式是关键）a()；ln(x．(1)eexx211(2)exaa)aexa(x1exaaln(x1(无中生exaxa加aln(xx1ln(xln(xxaln(x；x(3)axaxexaxexax)．a【例题选讲】[例4](1)若0xx112A．ex2e121B．ex2e121C．2e11ex2D．2e11ex21设f(x)exx则fx故f(x)在f(x)在上不是单()exxexex(xf(x)与f(x)ABg(x)g(x)故g(x)在12x2x上单调递减，所以gxgx选C．12(2)若0xxa，都有xxxxxx成立，则a的最大值为()12211212１A．1．eD．2e2112211111221x1即令f(x)则f(x)在a)上为增函数，2x11x2xxxf()0在a)上恒成立，f(x)f(x)0f(x)在得x1，)令x2上为减函数，a1，a的最大值为1．f(pf(q(3)已知f(x)aln(xx2内任取两实数pqp≠q1pq恒成立，则实数a的取值范围为________．解析①当p>q时，f(pf(q(p(q即f(p(pf(q(q，令g(x)f(x(xg(pg(q，g(x)在递减，即g(x)aln(x(x2(x，ax2在递减，(x)0在上恒成立，(x)2(x10在上恒成立，a2x27x6在上恒成立，a(2x27xmin．②当p<q时，同理可得出a28，综上所述a(,)[例5]对下列不等式或方程进行同构变形，并写出相应的一个同构函数(1)2xk202xk20x2x22x)log2x2，f(x)x2x．m(2)x2xｅ0xmmmmmx2xｅx0xxｅxxx)，f(x)xx．xxx1(3)aｅ2(x)lnxaxx1aｅ2(x)lnxax2x2x2xaxx2x2x2axxaxｅaxx2ｅx2xf(x)xx(4)xaxxxa(xxa，f(x)xx．xaxxxaxxxaxaxxxa(5)xxx0x1111xxx0ｅxｅxｅxｅx，f(x)xx．xxxxx[例6](1)已知不等式axax(aa，对任意正数x恒成立，则实数a的取值范围是________．1xaeeaxaxexa(xa)exaxxa(xa)exax)exf(x)exexaexaxxf()xx()由(3)xax，xaln(xa)xx)f(x)xxx11即a，由导数法可得a，从而所以aee．xｅ(2)已知函数f(x)mln(x3x3，若不等式f(x)x在)上恒成立，则实数m的取值范围是(A．0m3)．m3．m3D．m0解析mln(xxxmexx(同构)，令g(x)mx3x，由g(xg(ex)，且m1x1ex，知g(x)在)为减函数，所以g(x)30m3xm3．x(3)对任意x0，不等式e2xxa0恒成立，则实数a的最小值为________．xxxxx解析e2xxa0e2x2e2x2x2x)(积型同构取对aaaaaxxxx)令f(x)xx则f(x)f(2x)f)得2xag(x)2x，aaｅ2xｅ12x111则g(x)，易得g(x)maxg()，所以实数a的最小值为．2eｅ2x2(4)已知函数f(x)ｅ范围是(A．e2]xaa)a(a，若关于x的不等式f(x)0恒成立，则实数a的取值)．e2)．e2]a(x1ｅD．e2]aln(x1ｅ1f(x)ｅxaln(axa)a0ｅxxaxaxaaeln(xln(x(和差型同构)令g(x)exx然g(x)g(xa)gxxaln(xaxln(xxln(xx(xa20ae2．1(5)对任意x0，不等式a(eax2(x)lnx恒成立，则实数a的最小值为________．x1a(eax2(x)lnx(eax(x2x2(eaxeax(x2x2(积型同构)，令解析xx111x1f(x)(xx，则f(x)x，f(x)=，易知f(x)在上递减，在)上xxx2x2f(x)f20以f(x)在)(eaxeax(x2x2f(eax)2x2lnx2e2f(x2)eaxx22xa，由导数法易证，所以a．xxe1(6)已知不等式xaxxa对任意的x)恒成立，则实数a的最小值为()exeA．e．．eD．2e，令f(x)xx，)，x)211xaxxaxxaaxxaxaexexxaxaexexx1则f(x)，易知f(x)在上递减，在)上递增，所以f(ex)f(xa，x1xxexe)根据选项只讨论a＜0a＜0时，xaexxaa(x)，xx1xx)2则h(x)h(x)在e))(x)maxeaeC．ln(x[例7]已知函数f(x).x(1)判断f(x)在)上的单调性；(2)若x0，证明：(exxx2．xln(xxx(x2ln(x(1)f(x)x1令g(x)，g(x)0g(x)在)上x2x1单调递减，g(x)g0即f(x)0，f(x)在)上单调递减．2ln(x即证：x1ln(xln(ex1即证：，x(2)(exxx2ln(xex1xexxex1ln(x令(x)，即证：(x)(ex，由(1)，h(x)在)上单调递减，即证：xx．令e1xs(x)exx1，s(x)ex10，s(x)在)上单调递增，s(x)s0，exx10，即xex1．[例8](2020·新高考Ⅰ)已知函数(x)＝e1lnxln．(1)当ae时，求曲线y＝(x)在点(1，(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；(2)若()≥1a的取值范围．1x(1)当＝e，(x)＝xx1，∴′()e－，∴′(1)e－．f(1)e1，∴切点坐标为(11e)，yf(x)在点(1f(1))处的切线方程为ye－1(e－1)·(x1)，即＝(e－x＋2，－2，0切线与两坐标轴的交点坐标分别为，2)e1，－2||122所求三角形面积为×2×e1＝．e11x(2)解法一：f(x)aex＋lna，∴′(x)＝ex1－>0．1x2设g(x)f′(x)则g′(x)ae＋>0，∴g(x)(0，＋∞)上单调递增，即′(x在(0，＋∞)上单调递增，当a1时′(1)0则(x)在，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，f(x)f(1)1，∴(x)≥1成立；1111a11当a，<1ea<1，∴′a′(1)＝a(eaa0，1存在唯一x>0′(x＝aex－0，∈(0x)时′()<0当∈(x，＋∞)时′(x)>0，00000x01aex1＝，∴lnax1＝－lnx，000x011x0(x)＝(x)＝aex－lnx＋ln＝lna＋x1lna≥2lna1＋2·x＝2lna1>1，0000x0f(x)>1，∴(x)≥1恒成立；当0<a，(1)＝alnaa<1，∴(1)<1，()≥1不恒成立．综上所述，a的取值范围是[1，＋．解法二：(x)＝e－lnxlna＝e－ln＋lna≥1等价于e＋lnax1≥lnx＋＝e＋lnx，令g(x)exx上述不等式等价于g(lna＋－1)≥(lnx，()为单调递增函数，∴又等价于lnax1≥lnx，即lna≥lnxx＋，1x－x令h(x)lnxx1，则′(x)＝1＝，x(01)上h′(x)>0h(x)单调递增；在(1，＋∞)上h′(x)<0，h()单调递减，h(x)h(1)＝，a≥0，即a，∴a的取值范围是[1，＋∞)．【对点精练】1．已知函数f(x)ｅ成立，则实数m的取值范围是________．1．答案m≥0由f(x)f(x)xxf(x)xf(x)x，令g(x)f(x)x，xmx(mR)，若对任意正数x，x，当x＞x时，都有f(x)f(x)xx1212121212121122mxg(x)g(x)g(x)在)g(x)f(x)xｅxxg(x)ｅx10，12在)mex)x(x)ex)x(x)ex(x10(x)在)单调递减，(x)max0(但取不到)．m≥0．xf(1)2f(2)12．已知函数f(x)，x)，当x＞x时，不等式0恒成立，则实数a21x的取值范围是()eeA．(,．(,．(,D．(,)]22f(1)2f(2)12．答案D由0xf(x)xf(x)g(x)(x)g(x)在)1122exex调递增，又g(x)ｅxax2，g(x)ｅx0在)上恒成立，即ah(x)2x2xex(x2x2eh(x)(x)0h(x)在)(x)2D．13．对不等式ｅ2xx0进行同构变形，并写出相应的一个同构函数．113．答案f(x)xｅxｅ2xx0ｅ2xxｅ2xxxｅ2xxｅx4．对方程ｅx2xx0进行同构变形，并写出相应的一个同构函数．4．答案f(x)xxｅ5．对不等式aln(x2(xｅ5．答案f(x)ax2xaln(x2(xｅxxxxxxxx20ｅｅｅ-xx．xx进行同构变形，并写出相应的一个同构函数．xaln(x2(xaｅxｅxx6．设实数0，若对任意的x)，不等式ｅx0恒成立，则的最小值为________．1exx0ｅxxx0ｅxxxｅxx，令f(x)ex，易知f(x)6．答案ｅxx1x在)上递增，所以fx)fx)，xx，(x)(x)，xxx211h(x)在上递增，在)上递减，则(x)max．ee7．已知函数f(x)ｅ是________．0ae2f(x)ｅx1aa(a，若关于x的不等式