（初中数学有理数考点）【七年级上册】期中期末专项复习之有理数十六大必考点

专题7.1有理数十六大必考点

【考点1相反意义的量】

【例1】（河北省保定市新秀学校2022-2023学年七年级上学期期中考试数学试题）在我国古代著名的数学专

著《九章算术》中,首次引入负数,如果收入100元记作+100元,则-50元表示（）

A.支出50元B.收入50元C.支出60元D.收入60元

【变式1-1］（重庆市育才中学校2022-2023学年七年级上学期期中数学试题）如果水库的水位高于正常水位

4m时,记作+4叫那么低于正常水位5m时,应记作（）

A.5mB.-5mC.+|mD.

【变式1-2］（山西省吕梁市交城县2022-2023学年七年级上学期期中数学试题）如果电梯上升3米，记作+5

米，那么-3米表示.

【变式1-3］（2022•全国•七年级上学期期中数学试题）文具店、书店和玩具店依次坐落在一条东西走向的

大街上，文具店在书店西边20米处玩具店位于书店西边100米处，小明从书店沿街向东走了40天,接着又向

西走了60米，此时小明的位置在（）

A.文具店B.玩具店C.文具店西边40米D.玩具店西边60米

【考点2有理数的概念及分类】

【例21（2022•湖北・公安县教学研究中心七年级上学期期中数学试题）把下列有理数填入它所属于的集合

圈内.

【变式2-1］（2022•江苏・泰州市姜堰区第四中学七年级.上学期期中数学试题）在

-4.3,0.25,0,1.23,1.01001000100001-,?中，非负有理数的数有.

【变式2-2］（2022•黑龙江•肇源县超等蒙古族乡学校期中）在下列数中：-I-

3|,0.23,（一2产0,（_3>,一（一20062）,T-（一卷）,该正整数的个数为犯非负数的个数为n,则m-八的值

为-

【变式2-3］（2022•陕西•白水县田家炳实验中学七年级上学期期中数学试题）把下列各数填入它所属的集

合内：

15,—I，-5,0,-5.32,2.3，11,80%,5.

xXD

（1）分数集合{…};

（2）自然数集合{…};

（3）非正整数集合{…};

（4）非负有理数集合{…}.

【考点3相反数】

【例3】（2022•黑龙江•同江市第三中学七年级期中）下列各组数中，互为相反数的是（）

A.2与3B.（-1y与1C.-1与（-I）?D.2与|-2|

【变式3-1]（2022•河北保定•七年级期中）如图，在数轴上表示互为相反数的两数的点是____.

DCBA

♦♦・••---.---->

-3-2-10123

【变式3-2]（2022•宁夏・银川市第三中学七年级期中）下列各组数中：①一号与32;②（-3产与3z;③-（-

2）与-（+2）;@（-3尸与-33;⑤-2与32,其中互为相反数的共有（）

A.4对B.3对C.2对D.1对

【变式3-3]（2022•山东威海・期中）若m,n互为相反数，则下列各组数中不是互为相反数的是（）

A.-m和-nB.m+1和n+1C.m+1和n-1D.5m和5n

【考点4绝对值】

【例4】（2022•黑龙江•哈尔滨市第一二四中学校期中）若|a|=去且QV0,则a+1=.

【变式4-1]（2022•黑龙江・兰西县红星乡第一中学校期中）已知|x|=8,|y|=5,且灯V0,则户y的值等

于_____.

【变式4-2]（2022•广东・肇庆市颂德学校七年级期中）绝对值小于3的正整数有.

【变式4-3]（2022•辽宁本溪•七年级期中）化简：13—4—14—"=.

【考点5根据数轴化简绝对值】

[例5]（2022・四川广安・七年级期末）有理数a,b,c在数轴上的对应点如图所示，化简:-\b\-\c+b\+

\b-a\=________.

b0

【变式5-1](2022・广东・广州市真光中学七年级期中)如图，点4和6表示的数分别为&和A若c是绝对

值最小的数,d是最大的负整数.

(1)在数轴上表示c=,d=.

⑵若户31=2,则x的值是多少?

⑶若TVxVO,化简：|x・b|+|心a|+|c-x|.

AB

-----------1--------•-------------------1-----

-1a01b

【变式5-2](2022・山东德州•七年级期中)有理数a",。在数轴上的位置如图,解答下列问题:

-•-----•-------------------------►

cb0a

(1)若a=2,将a表示的点沿数轴方向平移5个单位,得到的点表示的数为；

(2)数6与其相反数相距10个单位长度，则6表示的数是；

(3)化简：\b-c\+\a+b\+\c-a\.

【变式5-3](2022♦湖南・李达中学七年级期中)如图，数轴上有点a,b,c三点.

-1c0\ab2

(l)c-帅c-aO-”);

(2)化简|c-b|-|c-a|+|a-l|

⑶求3+看+后+慧;的值

【考点6相反数、绝对值、倒数综合】

[例6](2022•全国•七年级课时练习)若zn、九互为相反数，贝-54-n|=_____.

【变式67](2022•广东•揭西县宝塔实验学校七年级期中)-3的绝对值加上-3的倒数等于.

【变式6-2](2022•湖南-李达中学七年级期中)-：的倒数的绝对值是

【变式6-3](2022•湖北十堰•七年级期中)已知a"互为相反数，c,d互为倒数，。的绝对值为1,求

3m3Z>+cd+。的值.

【考点7有理数的混合运算】

[例7](2022•黑龙江・兰西县崇文实验学校期中)计算：

(1)(-7)-(-10)+(-8)-(+2);

(2)3X(-l)-44-(-2);

⑶(鸿-汴(一12);

(4)-14-(1-0.5)XiX[2-(-3)2]

3

【变式7-1](2022•黑龙江・哈尔滨市第一二四中学校期中)计算,有简便方法的用简便方法.

⑴(/)T5+(V)

(2)(-2)x31x(-0.5)

(3)-9+2x(-4)4-(-6)

(4)(-1)2°21X2+(—2)2.4

【变式7-2](2022•天津市红桥区教师发展中心七年级期中)计算：

(1)(-3)x(-4)-15-1

⑵(M看+》x36

(3)-14-|-7|+3-2

(4)-2^i-[2^-(l-ixl)]xl2

【变式7-3](2022•安徽.七年级期中)计算：

(1)(畀连)*(-24)；

(2)(T1)三x"(~8).

49

【考点8新定义中的有理数运算】

[例8](2022•河南驻马店•七年级期中)对于有理数a,b,定义一种新运算"。"，规定aGb=\a+引+|a

-b\.

⑴计算：20(-3)的值；

(2)当在数轴上的位置如图所示时，化简：aOb.

bt।aj

-101

【变式8-1](2022•山东•招远市教学研究室期中)现定义运算“*"，对于任意有理数a,b,都有a^b=a2-

ab-b,例如：5*3=52-5x3-3=25-15-3=7,由此算出2*(—4)=.

【变式8-2](2022・吉林长春•七年级期中)完成下列各题.

(1)定义新运算：对于任意有理数a、b,都有a㊉b=a(a-b)+1.计算如下：2©5=2x(2-5)+l=2x

（-3）4-1=—6+1=-5.

求（一2）㊉3的值.

（2）对于有理数Q、6,若定义运算：=求（一4）③3的值.

【变式8-3］（2022•辽宁沈阳•七年级期中）定义一种新运算：湃勿=aX|勿|.

如5®（-3）=5X|-3|=15,-8空=-8X⑷=-32.

（1）计算：65®。=,-43®|-2|=;

（2）若〃V0,化简48®（-3/?）;

（3）若a,m,n为任意有理数,等式e（研〃）=*〃汁奖〃一定成立吗。请说理由.

【考点9科学记数法】

【例9】（2022•山东济南•七年级期中）我国的北斗卫星导航系统中有•颗中高轨道卫星高度大约是

21500000米.将数字21500000层科学记数法表示为（）

A.2.15x107B.0.215x108C.2.15x106D.21.5x106

【变式9-1］（2022•北京市陈经纶中学分校七年级期中）2020年国庆档电影《我和我的家乡》上映13天票

房收入达到21.94亿元,并连续10天拿下票房单日冠军.其中21.94亿元用科学记数法可表示为（）

A.21.94x108元B.2.194x108元c0.2194x10】。元D.2.194x10。元

【变式9-2］（2022•河北・廊坊市第四中学七年级期中）整数613550…0用科学记数法表示为8.1555x1O10,

则原数中"0”的个数为（）

A.4B.6C.5D.10

【变式9-3］（2022•广东-广州四十七中七年级期中）过度包装既浪费资源又污染环境，据测身如果全国每

年减少十分之一的包装纸用量那么能减少3.12x106吨二氧化碳的排放量，把3.12x106写成原数是

（）

A.312000B.3120000C.31200000I）.312000000

【考点10有理数乘方的应用】

【例10】（2022・全国•七年级期中）我们平常用的是十进制，如：1967=1X103+9X102+6X1047,表示十进

制的数要用10个数码:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.在计算机中用的是二进制，只有两个数码:0,1.如:二进

制中111=1X22+1X2'+1相当于十进制中的7,又如：11011=1X24+1X23+0X22+1X2*+1相当于十进制中的

27.那么二进制中的1011相当于十进制中的（）

A.9B.10C.11D.12

【变式10-11（2022・广东・东莞市光大新亚外国语学校七年级期中）将一根绳子对折一次后从中间剪一刀,

绳子变成3段;对折两次后从中间剪一刀,绳子变成5段：将这根绳子对折n次后从中间剪一刀,绳子变成

_____段.

【变式10-2]（2022•河南郑州•七年级期中）你喜欢吃拉面吗?拉面馆的师傅，用一根很粗的面条,把两头捏

合在一起拉伸,再捍合,再拉伸,反复几次,就把这根很粗的面条拄成了许多细的面条，如下面草图所示.这样

捏合到第一次后可拉出64根细面条.

O

一o第一次程合。第二次捍合第三次捏合

【变式10-3】（2022•全国•七年级期中）一质点P从距原点1个单位的A点处向原点方向跳动,第一次跳动

到0A的中点AI处,第二次从AI点跳动到OAI的中点A2处，第三次从A2点跳动到。八2的中点A3处，如此不断跳

动下去，则第5次跳动后，该质点到原点0的距离为.

P

P

（｝AJA»A:AIAx

【考点11有理数的大小比较】

【例11]（2022•湖北・老河口市第四中学七年级阶段练习）下列有理数的大小关系正确的是（）

A.-l>-0.01B.0>|-10|C.|-3|<|+3|D.一（一一一5

【变式11-1]（2022・浙江•七年级专题练习）已知b40,a+b>0,那么〃/,一〃,一〃的大小关系是

（）

A.a>-b>-b>a>-a>b

C.a>b>-a>-^.ci>-b>b>-a

【变式11-2]（2022•天津市红桥区教师发展中心七年级期中）有理数，。在数轴上的位置如图所示,试比较

a,b,—a,一Z）四个数的大小关系：<<<.

-----------------------------------1-------------------------------;-------►

“0b

【变式11-3]（2022・全国•七年级专题练习）探索研究:

（1）比较下列各式的大小（用“V"、〃>“、"="连接）

①|2|+|3||2+3|;

②|-2|+|・3||・2・3|;

③|2|+|-3||2-3|;

@|2|+|0||2+0|.

⑵a、6为有理数，通过比较、分析，归纳|a|+|4与I/”的大小关系.(用"V"、〃>“、〃="、〃》”、"W"

连接)

当a、6同号时同a|+|b||a+6|;

当a、8异号时，|a|+1b||m■引;

当a=0或6=0时，|a|+||a^b\;

综上，a|+|Z>|\a+b\.

(3)根据(2)中得出的结论，当|川+2015=|x-2015时,则x的取值范围是.

【考点12阅读材料中的有理数运算】

【例12】(2022•浙江•余姚市高风中学七年级期中)阅读下列材料：对于排好顺序的三个数：%1，不，％3称

为数列必，立，叼.将这个数列如下式进行计算：4,%I-*，々一兀2十叼，所得的二个新数中，最大的那个

数称为数列内,不，％3的“理想数值”.例如:对于数列1,-2,3,因为1,1-(-2)=3,1-(-2)+3=6,所以数列

1,-2,3的“理想数值为6,进一步发现：当改变这三个数的顺序忆所得的数列都可以按照上述方法求出〃理

想数值”，如：数列-2,1,3的“理想数值"为0……而对于〃1,-2,3”这三个数,按照不同的排列顺序得到的

不同数列中，“理想数值”的最大值为6.

(1)数列-5,4,-3的“理想数值”为；

(2)将-5,4,-3这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个不同的数歹U,这些数列的〃理想数值”的最大值

是，取得〃理想数值”的最大值的数列是；

(3)将〃T,7,Q(a<0)”这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个不同的数歹山这些数列的〃理想数

值”的最大值是10,求a的值，并写出取得〃理想数值”最大值的数列.

【变式12-1](2022•山东威海・期中)【数学阅读】高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算〃从1到

1()()这10()个正整数的和”.许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常繁琐，且易出错•.聪明的

高斯经过探索后,给出了下面的解答过程：

解：设S=1+2+3+…+100,①

则S=100+99+98+…+1.②

①+②,得(即左右两边分别相加)：

25=(1+100)+(2+99)+(3+98)+-+(100+1)=100X101.

所以，

所以，1+2+3+…+100=5050.

后来人们将高斯的这种解答方法概括为"倒序相加法”.

【问题解决】利用"倒序相加法”解答下面的问题：

(1)计算：1+2+3+…+101;

(2)猜想:1+2+3+…+〃=;

(3)利用(2)中的结论,计算：1001+1()02+…+2000.

【变式12-21(2022•上海黄浦-期中)每个假分数可以写成一个自然数与一个真分数的和(例如背=3+R

真分数的倒数又可以写成一个自然数与一个真分数的和(费=1+3，反复进行同样的过程，直到其分数的倒

数是一个自然数为止《=4+a：=2),我们把用这种方法得到的自然数,按照先后顺序写成一个数组

{3,1,4,2},那么这个数组叫做由这个假分数生成的自然数组.

如:对于假分数,则含=3+2,

11,2

7=1+?

i+5

22,

所生成的自然数组为{3,1,4,2}.

请根据上述阅读材料填空：

(1)由假分数日生成的自然数组是I}；

(2)已知某个假分数所生成的自然数组为{2,4,1,1,3},那么这个假分数是.

【变式12-3](2022•重庆市第九十五初级中学校七年级期中)阅读理解

材料一：若一个正整数的各个数位上的数字之和能被3整除,则这个数就能被3整除;反之也能够成立.

材料一：两位数0和三位数G它们各个数位上的数字都不为0,珞数)任意一个数位上的数字作为一个新的

两位数的十位数字,将数q的任意一个数位上的数字作为该新数的两位数的个位数字,按照这种方式产生的

所有新的两位数的和记为T(p,q).例如：7(12,123)=11+12+13+21+22+23=102,7(33,456)=

34+35+36+34+35+36=210.

(1)计算：7(15,345)=_____.

(2)试说明：当。能够被3整除时r(p,q)一定能够被6整除.

【考点13有理数的实际应用】

[^113]（2022•湖北黄石•七年级期末）地球北纬30。线是•条神秘而又奇特的纬线，我国有许多资源丰富

的名山都分布在这条纬线附近.峨眉山与黄山植物种类的比是11:5,已知峨眉山有植物3300种，黄山的植物

种类是庐山的"那么庐山有植物多少种？

O

【变式13-1]（2022•黑龙江省新华农场中学期末）下面是学校到少年宫的行走路线图

（1）如果小明从公园到学校,请叙述一下他的行走路线.

⑵如果他每分钟走60米,那么他从公园走到学校要走几分钟？

【变式13-2]（2022•黑龙江・哈尔滨德强学校期中）当温度每上升2℃时，某种金属丝伸长0.003mm.反之,

当温度每下降2c时，金属丝缩短3.002mm.把17c的这种金属丝加热到63C,再使它冷却降温到5℃,最后

的长度和原来相比是伸长了还是缩短了？伸长了或缩短了多少？

【变式13-3]（2022•湖北黄石•七年级期末）一个高为8cm，容积为50mL的圆柱形容器里装满了水，现把高

16cm的圆柱垂直放入,使圆柱的底面与容器的底面接触,这时一部分水从容器中溢出，当把圆柱从容器中拿

出后，容器中水的高度为6厘米.求圆柱的体枳.

【考点14正负数的实际应用】

【例14]（陕西省西安市雁塔区师范大学附属中学2022-2023学年七年级上学期期中数学试题）为全力迎接

全国第十四届运动会,西安市将继续加快交通高质量发展,不断增强市民获得感和幸福感.某检修小组从0

地出发,在东西向的马路上检修线路,如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶记录如下，（单

位：km）

第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次

-4+7-9+8+6-5-1

（D求收工时距。地多远？

（2）在第几次记录时距（）地最远?

(3)若每千米耗油0.2升，问共耗油多少升？

【变式14-1](黑龙江省哈尔滨市德强初中2022-2023学年下学期双减下的数学汇报试卷六年级(五四制))

某一出租车一天下午以博物馆为出发地在东西方向营运，向东为正，向西为负，行车里程(单位：km)依先后次

序记录如下：+9、一3、一5、+4、一8、+6、­3、一6、一4、+8

(1)在第次记录时距博物馆最远.

(2)将最后一名乘客送到目的地，出租车离博物馆出发点多远?在博物馆的什么方向？

(3)若每千米的价格为1.9元，司机一个下午的营业额是多少？

【变式14-2](山东省烟台市牟平区2022-2023学年六年级上学期期中数学试题)某小型体育用品加工厂计

划一天生产300个足球,但由于各种原因,实际每天生产足球个数与计划每天生产足球个数相比有出入.下

表是某周的生产情况(增产记为正、减产记为负)：

星期—•二三四五六七

增减+3-5-2+9-7+12-3

(1)求该厂本周实际生产足球的个数；

(2)求产量最多的一天比产量最少的一天多生产足球的个数；

(3)该厂实行每日计件工资制,按计划完成每生产一个足球可得6元,若超额完成任务,则超过部分每个另奖2

元,若未能完成任务，则少生产一个扣2.5元,那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？

【变式14-3](广西桂林市灌阳县2022-2023学年七年级上学期期中数学试题)如图，某快递员要从公司点A

出发，前往B、C、D等地派发包裹，规定：向上向右走为正，向下向左走为负，并且行走方向顺序为先左右再

上下.如果从力到8记为：4一以+1,+4),从8到月记为：8-4(—1,—4),其中第一个数表示左右方向，第

二个数表示上下方向,请根据图完成如下问题：

(2)若快递员的仃走路线为ATH请计算该快递员走过的路程；

(3)若快递员从月处去某〃处的行走路线依次为(+2,+2),(一2,+3),(—1,一2),请在图中标出

P的位置.

【考点15有理数中的规律探究】

【例15】（2022•四川省内江市第六中学七年级期中）观察下面算式的演算过程:

21x3+1422.,12x4+1932

1+--==----------=-------=-------1--------=------------=-------=-------

■1X1X31X31X32X42X42x42x4

3x5+11642.,14x6+12552

14--==----------=-------=-------1-J--------=-----------=-------=-------

3X53x53x53x54x64x64x64x6

（1）根据上面的规律,直接写出下面结果：

1++=---------------•1+焉=------------•

1+亮念石=•（几为正整数）

（2）根据规律计算：

（l+a）x（l+a）x（l+*）x（l+三）x-x（l+』）x（l+.）.

【变式15-1]（2022•湖南岳阳•七年级期中）请观察下列算式，找出规律并填空.

1,1111111111

b^2"一]，石一二记而一丁"石一厂h

则第10个算式是第〃个算式是________.

根据以上规律解读以下两题：

（1）求一^+—+—+…+-----!-----的值；

1X22x33x42019X2020

（2）若有理数。，Z?满足1。一2|+|〃-4|=0,试求：-y+-----B~~—+；----R~~—+•,•+------）二的

ab（a+2）（b+2）（a+4）（/?+4）（a+2016）（6+2016）

值.

【变式15-2】（2022•湖南长沙•七年级期中）由乘方的定义可知：a71=axaxax…xa（〃个a相乘）.观

察下列算式回答问题：

22x32=(2x2)x(3x3)=4x9=36=(2x3)

23x33=(2x2x2)x(3x3x3)=8x27=216=(2x3)3

25x35=(2x2x2x2x2)x(3x3x3x3x3)=32x243=7776=(2x3)5

(1)52x62=—;

(2)m2xn2=________;

(3)计算：(一2)202ix(_y2°22

【变式15-3](2022•宁夏・银〃英才学校七年级期中)点A，4,4，L,4(〃为正整数)都在数轴上，点A在

原点o的左边,且A。=1;点4在点A的右边,且4A=2；点A在点4的左边,且&&=3；点儿在点的

右边，且44=4；…，依照上述规津，点&仲A刈9所表示的数分别为()

A.2018,-2019B.1009,-1010C.-2018,2019D.-1009,1009

【考点16数轴与绝对值、动点的综合探究】

【例16】(2022•湖南・永州市德雅学校七年级阶段练习)阅读下面材料：如图，点46在数轴上分别表示有

理数a、b,则儿夕两点之间的距底可以表示为|a-b\.

ab

-------------11>

A---R

根据阅读材料与你的理解回答下列问题：

(1)数轴上表示3与-2的两点之间的距离是.

(2)数轴上有理数x与有理数7所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为_____.

(3)代数式卜+8|可以表示数轴上有理数*与有理数所对应的两点之间的距离；若反4-8|=5,则x=

(4)求代数式+1010|+|x+505|+以-1010|的最小值是______,并直接写出这时x的值为—.

【变式16-1](2022•黑龙江•哈尔滨德强学校期中)如图，数轴上点0为原点，点A所表示的数为点B所表

示的数为瓦且a、b满足|a+4|+(b-2)2=0.

A0B

图1

A6BC

图2

A6BC

备用图

(1)请直接写出点力所表示的数：，点B所表示的数:

(2)如图1,点P从4出发以2个单位/秒的速度沿数轴向右运动，点P运动的同时，点Q从8出发以1个单位/秒

的速度沿数轴向右运动,在运动过程中，数轴上动点M到点P、原点。的距离始终相等,设点Q到点M之间的距

离为d,求d的值.

(3)如图2,在(2)的条件下，当点P、Q之间的距离等于;d时,N从点C出发(点C所表示的数为14),以2个单位

/秒的速度沿数轴向左运动，此时P、Q仍按原速度、原方向运动，当N与P、Q都未相遇之前，是否存在点M,

使点N到点P、Q距离之和等于点M到原点。距离,若存在,求点M所表示的数,若不存在,请说明理由.

【变式16-21(2022•广东♦广州市越秀区育才实验学校七年级期中)已知：a是一1,且a,无。满足(c-4)2+

\-2a+b\=0,请回答问题:

(1)请直接写出的值：b=,c=;

(2)在数轴上,a",c所对应的点分别为力、氏C点2为一动点，其对应的数为篇

①当点尸在4与8之间运动时，请化简式子：|x+l|-|x-4|+2|x+2|;

②若点。为数轴.卜.另一动点，点，以每秒2个单位长度从8点出发向右运动，点0以每秒4个单位长度从。

点出发向左运动,两点同时出发，当两点相遇时，点。马上以同样速度往反方向运动,厂点继续按原方向运动，

在整个运动过程中，假设两点运动时间为t秒后,PQ=QC,求2的值.

【变式16-3](2022•重庆•七年级期中)已知数轴上两个点之间的距离等于这两个点表示的数的差的绝对

值.如图1,在数轴上点A表示的数为-2,点Z?表示的数为1,点。表示的数为3,则4,C之间的距离表示为：

BC=\3-1|,4C之间的距离表示为：AC=\3-(-2)|=|3+2|.

若点P在数轴上表示的数为x,则内力之间的距离表示为:PA=\x-(-2)\=\x+2\,P,8之间的距离表示为：

PB=\x-l\.

ABC

_!____I____I___4____I----1----L------1----L-----1------►

-5-4-3-2-101234图1

(i)如图1,

①若点P在点、A左侧，化简+2|+|x-l|=________;

②若点P在线段上,化简氏+2|+|x-l|=________;

③若点户在点8右侧，化简氏+2|+|x-l|=________；

④由图可知，1%+2|+—1|的最小值是_________.

(2)请按照(1)问的方法思考：|x+3|+|x-l|+|x-2|的最小值是_________.

(3)如图2,在一条笔直的街道上有E,F,G,〃四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为200m.已知E,F,G,H

四个小区各有2个,2个,3个，1个小朋友在同一所小学的同一班级上学,安全起见,这8个小朋友约定先在街

道上某处汇合,再一起去学校.聪明的小朋友们通过分析,发现在街道上的加处汇合会使所有小朋友从小区

门n到汇合地点的路程之和最小，请直接写出汇合地点v的位置和所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程

之和的最小值.

EFGH图2

专题7.1有理数十六大必考点

【浙教版】

【考点1相反意义的量】........................................................................1

【考点2有理数的概念及分类】..................................................................3

【考点3相反数】...............................................................................5

【考点4绝对值】...............................................................................6

【考点5根据数轴化简绝对值】..................................................................8

【考点6相反数、绝对值、倒数综合】..........................................................11

【考点7有理数的混合运算】...................................................................12

【考点8新定义中的有理数运算】...............................................................16

【考点9科学计数法】.........................................................................18

【考点10有理数乘方的应用】...................................................................19

【考点II有理数的大小比较】...................................................................21

【考点12阅读材料中的有理数运算】............................................................24

【考点13有理数的实际应用】...................................................................29

【考点14正负数的实际应用】...................................................................31

【考点15有理数中的规律探究】.................................................................36

【考点16数轴与绝对值、动点的综合探究】......................................................40

三

【考点1相反意义的量】

【例1】（河北省保定市新秀学校2022-2023学年七年级上学期期中考试数学试题）在我国古

代著名的数学专著《九章算术》中，首次引入负数，如果攻入100元记作+100元，则-50元表

示（）

A.支出50元B.收入50元C.支出60元D.收入60元

【答案】A

【分析】根据正负数的相反意义即可得出答案.

（详解】解：收入100元记作十100元，则-50元表示支出50元,

故选：A.

【点睛】此题考瓷了正负数表示一对相反意义的量，正确理解正负数的意义是解题的关键.

【变式1-1］（重庆市育才中学校2022-2023学年七年级上学期期中数学试题）如果水库的水

位高于正常水位4m时,记作+4m,那么低于正常水位5m时,应记作（）

A.5mB.-5mC.I）,

【答案】B

【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正,则另一个就用负表示,据此可求

解.

【详解】解：如果水库的水位高于正常水位4m时,记作+4m,那么低于正常水位5m时,应记作

-5m.

故选：B.

【点睛】此题主要考查正负数的意义,关键是掌握正数与负数表示意义相反的两种量,看清规

定哪一个为正,则和它意义相反的就为负.

【变式「2】（山西省吕梁市交城县2022-2023学年七年级上学期期中数学试题）如果电梯上

升5米,记作+5米,那么-3米表示.

【答案】电梯下降3米

【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正,则另一个就用负表示.

【详解】解：〃正”和〃负”相对,

•・•电梯上升5米,记作+5米，

・・・-3表示电梯下降3米.

故答案为：电梯下降3米.

【点睛】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正"和“负”的相对性，确定一对具有相反

意义的量.

【变式1-3］（2022•全国•七年级上学期期中数学试题文具店、书店和玩具店依次坐落在

一条东西走向的大街上,文具店在书店西边20米处,玩具店位于书店西边100米处，小明从书

店沿街向东走了40米,接着又向西走了60米,此时小明的位置在（）

A.文具店B.玩具店C.文具店西边40米D.玩具店西边60米

【答案】A

【分析】根据题意以书店为原点，向东方向为正方,10米为单位长度,画出数轴，根据数轴分

析即可得出答案.

【详解】如图,根据题意一书店为原点，向东方向为正方,10米为单位长度,画出数轴，

玩具店文具店书店

IIillII1111111

-100-90-«O-70-60-50^10-30-20-10010203040

则文具店表式的数是一20,玩具店所表示的数是一100,依题意,40-60=-20

故此时小明的位置在文具店

故选A

【点睛】本题考查了数轴的应用，具有相反意义的量,有理数的加减的应用，根据数轴分析是

解题的关键.

【考点2有理数的概念及分类】

【例2】（2022•湖北-公安县教学研究中心七年级上学期期中数学试题）把下列有理数填入

它所属于的集合圈内.

【分析】利用负数、分数、正整数和非负数的定义即可区分作答.

【点睛】本题考查了负数、分数、正整数和非负数的的定义,理解相关定义是解答本题的关

键.注意：有限小数和无限循环小数都属于分数即他们都是有理数.

【变式2T】（2022•江苏・泰州市姜堰区第四中学七年级上学期期中数学试题）在

|,-4.3,0.25,0,1,23,1.01001000100001-,押，非负有理数的数有.

【答案】|,0.25,0,1.23

【分析】根据有理数的定义及分类：整数与分数统称为有理数，逐个判定即可得到结论.

【详解】解根据有理数的定义及分类可知,:符合题意;-4.3是负数,不合题意;0.25符合题

意;0符合题意；L23符合题意；1.01001000100001…是无理数,不合题意尚是无理数,不合题

意；

故答案为：I0.25,0,1.23.

【点睛】本题考查有理数的定义及分类,掌握有理数的分类是解决问题的关键.

【变式2-2］（2022•黑龙江•肇源县超等蒙古族乡学校期中）在下列数中：-I-

3|,0.23,（—2产,0,（-3）3,-（-20062）,--（-^）,该正整数的个数为犯非负数的个数为

九，则m-九的值为

【答案】-2

【分析】根据正整数的概念知所给数中（一2）2,-（一20062）,-（-七）为正整数,得到m=3;

根据非负数的概念知所给数中0.23,（-2产0,一（一20062）,-（一会为非负数,得到n=5,代

入求值即可.

【详解】解：-|-3|=-3,0.23,（一2产=4,0,（-3）3=-27,-（-20062）=

20062,—£）=5,

•••正整数有：(一2)2,-(一20062),-(一白)，即m=3,

非负数有：中0.23,(-2)10,一(一20062),-(一*),即n=5,

.••m—n=3—5=—2,

故答案为：一2.

【点睛】本题考查代数式求值,掌握有理数概念及分类是解决问题的关键.

【变式2-3](2022•陕西・白水县田家炳实验中学七年级上学期期中数学试题)把下列各数

填入它所属的集合内：

15,一a-5,卷,0,-5.32,2.3，n,80%,5.

(1)分数集合{…};

(2)自然数集合{…};

(3)非正整数集合{…};

(4)非负有理数集合{…}.

【答案】⑴三,-5.32.2.3.80%

(2)15,0,5

⑶-5,0

(4)15,卷,0,2.3,80%,5

【分析】根据有理数的相关定义及分类方法解答即可.

(1)

解：分数集合解强,-史32,2.3,80%);

故答案为：J，1，-5.32,2.3,80%;

(2)

解：自然数集合{15,0,5};

故答案为：15,0,5;

(3)

解：非正整数集合(-5,01；

故答案为-5,0;

(4)

解：非负有理数集合{15,1,0,2."80%,5};

故答案为：15,卷,0,2.3,80%,5.

XD

【点睛】本题考查了有理数的分类，熟记有理数的分类方法是解题的关键.

【考点3相反数】

[例3](2022•黑龙江・同江市第三中学七年级期中)下列各组数中，互为相反数的是

()

A.2与:B.(-I)?与1C.-1与：-I)?D.2与|-2|

【答案】C

【分析】两数互为相反数.它们的和为0,可对四个选项进行一一分析,看选项中的两个数和

是否为0,如果和为0,则那组数互为相反数.

【详解】解：A.24=1；

B、(・1产+1=2;

a-1+(-1尸=0；

D、2+|-2|=4.

故选：C.

【点睛】此题考查相反数的定义及性质：互为相反数的两个数的和为0,以及有理数的加法

计算法则.

【变式3-1](2022•河北保定•七年级期中)如图，在数轴上表示互为相反数的两数的点是

DCBA

♦♦•••----.---->

-3-2-10123

【答案】A和C.

【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数,可得答案.

【详解】解：由题意得：点A表示的数为：2,点B表示的数为：1,点C表示的数为：-2,点

D表示的数为：-3,

则A与C互为相反数，

故答案为：A和C.

【点睛】本题考查了数轴利相反数的定义,知道数轴上某点表示的数,并熟练掌握相反数的定

义即可.

【变式3-2](2022•宁夏•银川市笫三中学七年级期中)下列各组数中：①-3’与3：②(-

3产与32;©・(・2)与■(-2);@(-3尸与-33;@-2,与32,其中互为相反数的共有()

A.4对B.3对C.2对D.1对

【答案】C

【分析】两数互为相反数，它们的和为0.本题可对各选项进行一一分析，看选项中的两个数

和是否为0,如果和为0,则那组数互为相反数.

【详解】解：根据相反数的定义可知：①-32与32;③-(-2)与-(+2)互为相反数.

故选：c.

【点睛】此题考查相反数的概念.解题的关键是掌握相反数的概念，明确两数互为相反数，

它们的和为0.

【变式3-3]（2022•山东威海・期中）若叫n互为相反数,则下列各组数中不是互为相反数

的是（）

A.-m和-nB.m+1和n+1C.m+1和n-1D.5m和5n

【答案】B

【详解】分析：直接利用互为相反数的定义分析得出答案.

详解：A、・・・m,n互为相反数，

A-m和-n也是互为相反数,故此选项错误；

B、・・・m,n互为相反数,

・・・m+l和n+1不是互为相反数,故此选项正确；

C、・・・m,n互为相反数,

Am+l和n-1是互为相反数，故此选项正确；

D、・・・m,n互为相反数，

A5m和5n也是互为相反数,故此选项错误；

故选B.

点睛：此题主要考查了互为相反数,正确把握定义是解题关键.

【考点4绝对值】

【例4】（2022•黑龙江•哈尔滨市第一二四中学校期中）若|a|=p且Q<0,则Q+

1=.

【答案】耕0.5

【分析】根据绝对值的定义和Q<。确定a的值，代入”】计算即可.

【详解】解：・・・|a|=M

=-2f

Va<0,

=~2f

.\a+l=-i+l=i

故答案为：

【点睛】本题考查绝对值的定义和代数式求值，正确求出〃的值是解题的关键.

【变式4-11（2022•黑龙江・兰西县红星乡第一中学校期中）已知|川=8,3=5,且xjYO,

则产y的值等于.

【答案】±3

【分析】根据绝对值的意义,求得％y的值,进而根据町<0,确定居y的值,进而求得代数式的

值.

【详解】解：•・•"I=8,3=5,

，x=±8,y=±5,

又,•"yVO,

/.x=8,y=-5或x=-8.y=5,

当x=8,y=-5时，原式=8+（-5）=3,

当才=-8,y=5时，原式=-8+5=-3,

综上,Gy的值为±3,

故答案为：±3.

【点睛】本题考查了绝对值的意义,代数式求值,注意分类讨论是解题的关键.

【变式4-21（2022•广东♦肇庆市颂德学校七年级期中）绝对值小于3的正整数有______.

【答案】1

【分析】根据绝对值的性质，即可解答.

【详解】绝对值小于3的正整数有1,2,

故答案为：1,2.

【点睛】本题考查了绝对值，解决木题的关键是熟记一个正数的绝对值是它本身;一个负数的

绝对值是它的相反数;零的绝对值是零.

【变式4-3］（2022•辽宁本溪•七年级期中）化简：|3-K|-|4-K|=.

【答案】2n-7

【分析】根据绝对值的定义即可得.

【详解】解：|3-1Tl一|4一互|=兀-3-4+7T=2n•-7;

故答案为：2n—7

【点睛】此题考查了绝对值,掌握绝对值的定义：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的

绝对值是解题的关键.

【考点5根据数轴化简绝对值】

【例5】（2022•四川广安•七年级期末）有理数a,瓦c在数轴上的对应点如图所示，化简：

—\b\—\c+b\+\b-a\=_______.

cb0a

【答案】Q+b+c

【分析】根据数轴得出a>0,b<0,c<0,据此将绝对值化简即可得到答案.

【详解】由图知：a>0,b<0,c<0,

c+b<0,b—a<0,

-\b\-\c+b\+\b-a\=b+c+b-b+a=a+b-^c.

故