高考数学考点题型归纳与方法总结(新高考)素养拓展15平面向量中的最值(范围)问题(学案+练习)（2024年）

2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

素养拓展15平面向量中的最值（范围）问题（精讲+精练）

一、知识点梳理

一、平面向■中的最值（范围）问题

平面向量中的范围、最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合.其

基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模,数量积、向量夹角、系数的范围等，

解题思路通常有两种：

一是“形化”，即利用平面向量的几何意义，先将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据

平面图形的特征直接进行判断；

二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，先把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方

程的有解等问题，然后利用函数、不等式、方程有关知识来解决.

二、极化恒等式

设明力是平面内的两个向量，则有G石=;[5+5尸-3-5）2]

222

证明：①+5）2=严+方？+2万石，@（a-b）=a+b-2abt②

将两式相减可得小5=；[（万+5）2-而-5）2],这个等式在数学上我们称为极化恒等式.

①几何解释1（平行四边形模型）以AB,4。为一组邻边构造平行四边形A8CQ,AB=a,AD=b,则

AC=a+b,W=b-d,由必/；=；[5+白）2_（万_/；）2],得=

即•,从平行四边形一个顶点出发的两个边向量的数量积是和对角线长与差对角线长平方差的

4

②几何解释2（三角形模型）在平行四边形模型结论的基础上，若设M为对角线的交点，则由

川变形为能AZ5=：（AC2-8Z叫=：（4AM2-4BM2）,得通.而"”2-3例2,

该等式即是极化恒等式在三角形中的体现，也是我们最常用的极化恒等式的几何模型.

注：具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考虑尤为简单，让“秒杀”向量成为另一种可能；我们从

极化恒等式看到向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差，此恒等式的精妙之处在于建立向量与

几何长度（数量）之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合.

二、题型精讲精练

【典例1】（极化恒等式的应用）已知△ABC中,AB=4,AC=2f且"而+（2-2丸）而（4间的最小值

为瓜若?为边A8上任意一点，求丽•定的最小值.

解：^AD=A,AB+（2-2X）AC=ZAli^（\-X）AE（其中通=2/），则DB,E三点共线（如图），从而

I4丽+（2-24）而..26的几何意义表示点A到直线跖的距离为26,这说明“BE是等边三角形，BC

为边AE上的高，故4c=26.

取BC的中点M,则由向量极化恒等式可得而•定=PMf~~BC=PM|2-3>J--3=,

其中d为点M到边AB的距离.

即当点〃在垂足，（非端点）处时，丽・方达到最小值.

bABinAC

【典例2］（数量积的最值（范围））已知（〃?＞。），若点M是“8c所在平面内的一点，且人7r/=网一国

则M月的最小值为（）

35

C.D.

46

【答案】C

【解析】以A为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示,

依题意人（0,0）,3（2〃?,0）,。（0,3叫，所以而=（2"0）,前=（0,3川）,

^?=i=r--p^Y=(l>-w)

网同所以M(1,-帆),MB=(2m-l,w),MC=(-1,4/2?),

所以福•沅=4〃/一2〃?+1=4[〃L，]故选：C.

I4j44

【典例3]（模的最值（范围））已知向量Z,b,c，满足|£|=|昨|£一昨|£+5-2|=1,记⑸的最大值为

M,最小值为，〃，则M+m=（）

A.2x/3B.2C.73D.1

【答案】A

【解析】在△048中，设4=0及5=08，则Z-另二丽一砺二瓦（，

因为|）|4|U|=1,即|。4|=|。即=|的=1,所以“W5为等边三角形，

以04,08为邻边作平行四边形0AQ8,设ORA8交于点£,

W|0D|=2\0E\=2^\0^-\AE[=>/3,贝必+）=步+茄=35，

因为，取々的起点为0,

可知"的终点。的轨迹为以点。为圆心，半径为/*=1的圆，

如图，当点C为。。的延长线与圆C的交点G时，丘1的最大值为“=|。3|+「二有+1;

当点C为线段。。与圆。的交点G时，|工|的最小值为〃?=|。。|--二百-1;

所以用+〃?=(6+1)_"_1)=26.故选：A.

【典例4】（夹角的最值（范围））平面向量入日满足同=2同，且a-b=3,则弓与夹角的余弦值

的最大值是（）

A.一正B.--C.；D.正

2222

【答案】A

【解析】由「一/；卜3两边平方得东一2口出+庐=9,又|可=2忖，则2,4=.+户）—9=5万、9.

b（a-h^ba-b22ba-2b25a2-9-Sa2

cosb,H-b-n----=----=----r-；=-------

|5||a-5|r|5||a-5|r6网12同

=当了=-4同+甯工一半，当14=6时取等号.则B与力夹角的余弦值的最大值-里.故选：A.

12回队即2''2

【题型训练-刷模拟】

1,极化恒等式的应用

1.如图，BC、DE是半径为1的圆0的两条直径，乔=2衍，则而.瓶=

2.如图，在△48C中,/A3C=9（）、,A3=2,3C=2退，M点是线段AC上一动点.若以M为圆心、半径为1

的圆与线段AC交于只。两点，则丽•丽的最小值为（）

A

A.IB.2C.3D.4

3.如图，在AABC中，M是AC的中点,N在边8。上，且炭=3丽,BM与AN交于点、P,若

小反=24丽•丽,则搞的值是

AG

B.73D.3

3c5

4.已知心的斜边A8的长为4,设尸是以C为圆心，1为半径的圆上的任意一点，则丽.丽的取值

范围是（）.

A.B.-HC.[-3司D.[1-26,1+2/]

5.已知图中正六边形ABCDE”的边长为6,圆O的圆心为正六边形的中心，直径为4,若点P在正六边

形的边上运动，MN为圆O的直径，则再7.丽的取值范围是（）

A.[26,35]B.[24,33]C.[25,35]D.[23,32]

6.已知边长为2的正方形ARCD内接于圆O,点P是正方形ABCD四条边上的动点，MN是圆O的一条

直径，则丽・西的取值范围是（）

A.[-U]B.[。.&]C.[12]D.[-L0]

7.在中，AC=2BC=4,/AC8为钝角，M,N是边AB上的两个动点，且MN=1,若西•函的

3

最小值为:，则cos/4C8=_________.

4

8.如图，圆。为maABC的内切圆，已知AC=3,BC=4,4=90。,过圆心0的直线/交圆。于尸、。两

点，则的取值范围是.

2,数量积的最值（范围）问题

一、单选题

1.（2023•河南安阳•统考三模）已知菱形A8CD的边长为1，cos/84O=g,。为菱形的中心，E是线段A8

上的动点，则力后.。0的最小值为（）

A.1B.!C.-D.—

236

2.（2023・湖北武汉・武汉二中校联考模拟预测）如图，已知AOB是半径为2,圆心角为的扇形，点石/分

别在OAO8上，且OA=3OE,OB=3。/，点〃是圆弧A8上的动点（包括端点），则亚•所的最小值为（）

OEA

AI4&R.4V2「816

3333

3.（2023•河南新乡•新乡市第一中学校考模拟预测）在“BCMBC=4,AB=3AC,则配•丽的取值范

围为（）

A.[-3,12]B.（-3,12）C.[12,24]D.（12,24）

4.（2023•江苏镇江•江苏省镇江中学校考模拟预测）已知半径为1的圆O上有三个动点A,8,C,且

则恁•南的最小值为（）

A.1一&B.yf2—1C.——5/2D.5/2――

5.（2023・湖南长沙•长沙市实验中学校考二模）已知AA8C是单位圆。的内接三角形，若斗二£,则丽.前

4

的最大值为（）

A.6+1B.2&C.2D.1-72

6.（2023.全国.高三专题练习）已知边长为2的菱形48CD中，点尸为8。上一动点，点E满足诙=2反，

0•加=-鼻，则行.炉的最小值为（）

2415273

337536

7.（2023•全国•高三专题练习）已知菱形A8C。的边长为2,NB4Z）=120°,点E在边4c上，BC=3BE,

若G为线段QC上的动点，则前.赤的最大值为（）

Q

A.2B.一

3

D.4

3

8.（2023•全国•高三专题练习）圆。为锐角“IBC的外接圆，AC=2A3=2,点/在圆O上，则加•标的取

值范围为（）

A.一展4J[°，2）C.—~,2D.[0,4）

二、填空题

7T（兀兀、UUUUIIU

9.（2023・江苏盐城・统考三模）在“WC中，AB=4,B=-4e,则A/TAC的取值范围是____.

3t162）

10.（2023・广东广州•广州市从化区从化中学校考模拟预测）如图所示，△A8c是边长为8的等边三角形，

点P为AC边上的一个动点，长度为6的线段EF的中点为点B,则丽•丽的取值范围是.

11.（2023•全国•高三专题练习）如图，中，M为A8中点，A8=5,CM=3,样为圆心为C、半径为

1的圆的动直径，则屁.而的取值范围是.

12.（2023•全国•高三专题练习）如图，在中，已知A8=*AC=3,N8AC=6（r,点。，E分别在边AB,

4C上，且而=2而，*=3荏，点/为线段上的动点，则而,才的取值范围是.

13.（2023・全国•高三专题练习）在△ABC中，。是其外心，NA=1,AB=\,AC=4.边A8，AC上分别

有两动点〃，Q,线段P。恰好将△ABC分为面积相等的两部分厕的最大值为.

14.（2023•河北・统考模拟预测）如图，在边长为2的正方形A8C。中.以C为圆心，1为半径的圆分别交CO,

BC于点E,F.当点〃在劣弧E〃上运动时，丽.丽的最小值为

/，、

DE：C\

N

B

3.模的最值<范围）J词题

一、单选题

1.（2023•陕西榆林•校考模拟预测）已知向量入方满足同=2恸，01=-1，则F+1的取值范围为（）

A.[2,+oo）B.g'+8）C.[E+8）D.悍•+（»）

2.（2023・新疆•统考二模）已知向量Z，■满足日=1,1（肛2-6），忖咽8S。（夕为£与否的夹角），则

卜一闸的最小值为（）

A.—B.72C.1D.2

2

向量）满足ZS—2,口一：3-1，则；的最大值为（）

3.（2023•北京海淀校考三模）已知】为单位向量

A.1B.2C.V5D.4

4.（2023・全国•高三专题练习）已知向量4,B,2都是单位向量,若（"2）2+（—,则〃-司的最大

值为（）

A.——B.2C.叵D.6

42

；、Z满足ZB=o，向明=i,0T.俱叫=3,则

5.（2023・全国•高三专题练习）已知平面向量入1

的最大值为（）

A.V2B.1+变C.1D.2

2

6.（2023•浙江•模拟预测〉已知在三角形A3c中，/W=3,AC=2,乙4=60、点M,N分别为边AB,AC

上的动点，AM=xAB,AN=yAC,其中乂）〉。/+），=1,点尸，Q分别为MM8C的中点，则|PQI的最

小值为（）

3后

A•察

1419

7.（2023・全国•高三专题练习）在长方形4A8中，AB=2,AC-26，点”在边八〃上运动，点N在边人£>

上运动，月.保持MN=2,则|川右一饮力的最大值为（）

A.2>/17B.2x/13C.后D.V13

8.（2023・全国•高三专题练习）已知平面向量肩/；,3满足忖=明=方力=4,仅-勾.仅+与=-3,则的最

小值为（）

A.V2-1B.--1C.y/5-2D.近一2

2

9.（2023・全国•高三专题练习）已知单位向量£与向量刃二（0,2）垂直，若向量2满足K+》+W=l，则卜|的取

值范围为（）

A.［1.^-1］B.［亨,怨］C.［石-1.6+1］D.［亨.3

10.（2023•重庆•统考三模）已知爪方均为单位向量，且夹角为号，若向量2满足（2-2力・（2-5）=0,贝ij"|的

最大值为（）

A7+V3R币-百VFT+Sn疗+G

A.-------n.-----------rJ------------1J.-----------

2222

二、填空题

11.（2023・全国•高三专题练习）已知向量及=（cos。,sin。）出=（"0）,则团-5|的最大值为_______.

12.（2023・全国•高三专题练习）三知是平面内两个.互相垂直的单位向量，若向量2满足

（Z-0.伍一2工）=0,则同的最大值是.

13.（2023・全国•高三专题练习）平面向量乙叱满足降1,同=2,"与行的夹角为60,且传-2。）・卜-B）=0

则⑹的最小值是

14.（2023秋•重庆沙坪坝•高三重庆南开中学校考期末）已知向量心5,1,满足同=2,W=3,同=4,

0W/IW1,若儿2=0，则K一羽-（1-4）W的最小值为.

15.（2023•辽宁沈阳,东北育才学校校考模拟预测）己知平面向量3,加,且满足云/=|万|=|5|=2,若"为平

面单位向量，则,•巨+方t的最大值

16.（2023•全国•高三专题练习）三知西，宓为正交基底，且9=4画，前=〃宓,义>〃>1,RQ分别为

AC,8。的中点,若网画=1,则I闻|的最小值为一.

17.（2023・全国•高三专题练习）已知。为坐标原点，向量函，。月，0C，满足|3|=|丽卜|西=1,

（厉-丽）•（丽-强=0,若|研=4,则的取值范围是

4.夹角的最值（范围）问题

一、单选题

1.（2023・全国•高三专题练习）已知向量1=（2,川），力二（3,1）,若向量"，「的夹角是锐角，则机的取值范

围是()

A.(-6,+oo)

D.

2.（2023・全国•高三专题练习）已知非零向量Z，4的夹角为。，忖+4=2,且忖Wt，则夹侑。的最小值

3.（2023・全国•高三专题练习）已知3与坂均为单位向量，其夹角为仇若归一»1,则。的取值范围是（）

C.D.^r<0<7T

3

4.（2023春・江西鹰潭•高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知单位向量H,若对任意实数x,|法+/；|2B

恒成立，则向量的夹角的取值范围为（）

九2兀］「冗3冗

A，［才引B.匕工

7i7r"|「兀兀

C.—D.—

［42J\_32_

5.（2023・全国•高三专题练习）已知平面向量满足同=105=1,记B与Z+5夹角为。，则cos。的最

小值是（）

旦

6.（2023・全国•高三专题练习）平面向量入5满足卜|=3瓦且忖-+4,则2与d夹角的正弦值的最大

值为（）

7.（2023•全国•高三专题练习）已知向量"，］满足忖=1,«词，（3£词，则［与］的夹角的最大值为（）

A.30°B.60°

C.120°D.150°

8.（2023・全国•高三专题练习）若平面向量d,b>3满足同=1,«c=l,=3»alb2.则B夹

角的取值范围是（）

5刃

9.（2023•全国•高三专题练习）平面向量漏满足|£-/；|=3,|£|=2仍|,则15与Z夹角最大值时|2|为（）

A.近C.2aD.2G

1（）.（2023・全国•高三专题练习）三知不共线的平面向量沅,无满足闷=2,同N石，阿+同一惘一司=2,

则汾与万的夹角的余弦取值范围为（）

立（第

11.（2023・全国•高三专题练习）己知平面向量入b>2满足忸=*2+1,贝UI-访与2-2区所成夹

角的最大值是（）

二、填空题

12.（2023•高三课时练习）已知向量入方满足加卜1,同=4,且22,则3与方的夹角的取值范围是.

13.（2023春・重庆・高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知非零向量2,3满足日+2©=3,且同恸22,则

cosR©的最大值为.

14.（2023・全国•高三专题练习）已知△人8c的面积为S满足石K25W3,且丽.而=3，而与前的夹角

为仇则血与画夹角的取值范围.

15.（2023・上海闵行・上海市七宝由学校考二模）已知单位向量延，若对任意实数八|点_回之如恒成立，

则向量〃,5的夹角的最小值为.

16.（2023・全国•高三专题练习）已知向量工友屋满足同=1,5=-25,|c-5|=2p-5|,则向量2-石与2的

夹角的最大值是.

17.（2023•北京海淀•高三专题练习）已知平面向量£石满足忖=6,忖=1,则向量2+石与工一％夹角的最大

值是________

2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

素养拓展15平面向量中的最值（范围）问题（精讲+精练）

一、知识点梳理

一、平面向■中的最值（范围）问题

平面向量中的范围、最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合.其

基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模,数量积、向量夹角、系数的范围等，

解题思路通常有两种：

一是“形化”，即利用平面向量的几何意义，先将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据

平面图形的特征直接进行判断；

二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，先把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方

程的有解等问题，然后利用函数、不等式、方程有关知识来解决.

二、极化恒等式

设明力是平面内的两个向量，则有G石=;[5+5尸-3-5）2]

222

证明：①+5）2=严+方？+2万石，@（a-b）=a+b-2abt②

将两式相减可得小5=；[（万+5）2-而-5）2],这个等式在数学上我们称为极化恒等式.

①几何解释1（平行四边形模型）以AB,4。为一组邻边构造平行四边形A8CQ,AB=a,AD=b,则

AC=a+b,W=b-d,由必/；=；[5+白）2_（万_/；）2],得=

即•,从平行四边形一个顶点出发的两个边向量的数量积是和对角线长与差对角线长平方差的

4

②几何解释2（三角形模型）在平行四边形模型结论的基础上，若设M为对角线的交点，则由

川变形为能AZ5=：（AC2-8Z叫=：（4AM2-4BM2）,得通.而"”2-3例2,

该等式即是极化恒等式在三角形中的体现，也是我们最常用的极化恒等式的几何模型.

注：具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考虑尤为简单，让“秒杀”向量成为另一种可能；我们从

极化恒等式看到向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差，此恒等式的精妙之处在于建立向量与

几何长度（数量）之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合.

二、题型精讲精练

【典例1】（极化恒等式的应用）已知△ABC中,AB=4,AC=2f且"而+（2-2丸）而（4间的最小值

为瓜若?为边A8上任意一点，求丽•定的最小值.

解：^AD=A,AB+（2-2X）AC=ZAli^（\-X）AE（其中通=2/），则DB,E三点共线（如图），从而

I4丽+（2-24）而..26的几何意义表示点A到直线跖的距离为26,这说明“BE是等边三角形，BC

为边AE上的高，故4c=26.

取BC的中点M,则由向量极化恒等式可得而•定=PMf~~BC=PM|2-3>J--3=,

其中d为点M到边AB的距离.

即当点〃在垂足，（非端点）处时，丽・方达到最小值.

bABinAC

【典例2］（数量积的最值（范围））已知（〃?＞。），若点M是“8c所在平面内的一点，且人7r/=网一国

则M月的最小值为（）

35

C.D.

46

【答案】C

【解析】以A为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示,

依题意人（0,0）,3（2〃?,0）,。（0,3叫，所以而=（2"0）,前=（0,3川）,

^?=i=r--p^Y=(l>-w)

网同所以M(1,-帆),MB=(2m-l,w),MC=(-1,4/2?),

所以福•沅=4〃/一2〃?+1=4[〃L，]故选：C.

I4j44

【典例3]（模的最值（范围））已知向量Z,b,c，满足|£|=|昨|£一昨|£+5-2|=1,记⑸的最大值为

M,最小值为，〃，则M+m=（）

A.2x/3B.2C.73D.1

【答案】A

【解析】在△048中，设4=0及5=08，则Z-另二丽一砺二瓦（，

因为|）|4|U|=1,即|。4|=|。即=|的=1,所以“W5为等边三角形，

以04,08为邻边作平行四边形0AQ8,设ORA8交于点£,

W|0D|=2\0E\=2^\0^-\AE[=>/3,贝必+）=步+茄=35，

因为，取々的起点为0,

可知"的终点。的轨迹为以点。为圆心，半径为/*=1的圆，

如图，当点C为。。的延长线与圆C的交点G时，丘1的最大值为“=|。3|+「二有+1;

当点C为线段。。与圆。的交点G时，|工|的最小值为〃?=|。。|--二百-1;

所以用+〃?=(6+1)_"_1)=26.故选：A.

【典例4】（夹角的最值（范围））平面向量入日满足同=2同，且a-b=3,则弓与夹角的余弦值

的最大值是（）

A.—正B.--C.；D.正

2222

【答案】A

【解析】由「一/；卜3两边平方得东一2口出+庐=9,又|可=2忖，则2,4=.+^）—9=5万、9.

加仅一5）ba-b22ba-2b25a2-9-Sa2

COSb,H-b=-j—n----r=-j—n----r=----r-,---=---------

|5||a-5||5||a-5|6M12同

=当了=-4同+甯工一半，当I4=6时取等号则与力夹角的余弦值的最大值-坐.故选：A.

121al4（即2''2

【题型训练-刷模拟】

1.极化恒等式的应用

1.如图，BC、DE是半径为1的圆O的两条直径，丽=2劭，则丽・丽=

【答案】B

【解析】因为圆半径为1BC是直径，旃=2而，所以|。户卜g；根据向量加法和减法法则知:；又OE是直

径，所以则

FbFE=(Ob-OF)(()E-OF)=(-()E-OF)(OE-OF)

=-(OE+OF)(OE-OF)=0F：-0E：=一一1=一一.故选B

99

2.如图，在“8c中,/ABC=90,AB=2,BC=26，M点是线段AC上一动点.若以M为圆心、半径为I

的圆与线段AC交于P,Q两点，则丽•苑的最小值为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】由题意，破=-神，且|丽卜1,|4C|=7|^r+|fiC|2=4,

所以Bp=BM+Mp，=BM+MQ=BM-MP,

所以加80=(而+标=|丽叶一1,

易知，当8M_LAC时，BM最小，

所以网|用=m.|8M「即2X26=4X|SML，解得忸叽「公,

故丽的最小值为(6『-1=2.故选B

3.如图，在AABC中，历是AC的中点，N在边BC上，且豌=3丽,BM与AN交于点、P,若

\AB\

ABBC=24BPPN，则阖的值是

BN

A.当B.73C.-D.3

33

【答案】B

【解析】过M作MQ//NC交AN于。.因为M是AC的中点，故。是AN的中点，

故QM是“WC的中位线，故QM//NC且QM=^NC.又阮=3丽,故BN=；N（j,故QM//BN且

QM=BN.

故&QPM-NPB,故QP=PN,BP=PM,故PN=、AN.

4

A

又须•反=24而而,故而肥=3的初，即福•阮=38明+《宓）（通+（肥）

2ABBC=（BA+BC）（3AB+BC）=-3AB+2ABBC+BC:

化简得前2=3通2,所以1^二等.故选A

4.已知^4ABC的斜边4B的长为4,设/＞是以C为圆心，I为半径的圆上的任意一点，则用.而的取值

范围是（）.

A.-B.-C.[-3,5]D.[1-261+21]

【答案】C

【解析】如图所示，在RSABC上,不妨取回的中点则方•而二两?—而2=两2_4.

设圆的半径为r=l,而|PM|g=|CM|+r=2+l=3,则:

22

（M-ra）nux=3-4=5dPM|n,n=|CM|-r=2-l=L（S4-ra）inin=l-4=-3.

因此苏•丽的取值范围是[-3,5].故选C

5.已知图中正六边形A3CDM的边长为6,圆0的圆心为正六边形的中心，直径为4,若点P在正六边

形的边上运动，MN为圆0的直径，则丽.原的取值范围是（）

【答案】D

【解析】因为正六边形A8CZ?瓦•的边长为6,圆。的圆心为正六边形的中心，直径为4,所以正六边形

ABCDEF的内切圆的半径为r=OAsin60=6sin60“=3右，外接圆的半径R=6,

又由万彳丽=（闻+两）•回+网=阀+西）.阀一两j

=力-励,=2-4'

因为|广匕|7七区A,即|叫u13jj,6],可得历;4e[23,32],

所以两.两的取值范围是.故选：D

6.已知边长为2的正方形ABCD内接于圆O,点P是正方形ABCD四条边上的动点，MN是圆O的一条

直径，则两.两的取值范围是（）

A.[-1,1]B.[。,及]C.[U]D.[-1,0]

【答案】D

【解析】设圆的半径为穴，则2«=后■齐=2后，所以R=6.

P

如图，根据向量加法的三角形法则可知

PM=P6+OM\PN=PO+ONf且0河=-0力，

所以而丽二（用+两）•（协—诉）=/Y）2_OM）=p42_R2=pq2_2

由已知可得，正方形上的点。到点O的距离14|8|＜亚，

所以1引。叶42,所以-闫。呼-240.

故选：D.

7.在“3。中，AC=2BC=4,/AC8为钝角，M,N是边人B上的两个动点，且MN=1,若的

最小值为口，则cosNAC8=.

【解析】取MN的中点P,取而=-同0,|丽卜,

冰丽=（在+两）•向+而）=（守+丽）•（乔一两］屈

因为CM的最小值3，

4

所以Can=l.作CH_LAB,垂足为“，如图，

则C，=l,又BC=2,所以N3=30。,

因为AC=4,

所以由正弦定理得：sinA=1,cosA=,

44

所以cosNACB=cos(150。-A)=-生。sA+京A

=一名巫+故答案为：山L

242488

8.如图，圆。为mAABC的内切圆，已知AC=3,8c=4,NC=90。，过圆心0的直线/交圆。于尸、。两

点，则的取值范围是.

【解析】圆O的半径为1,考虑到P、Q两点都是动点，不妨将方户=初+次，这样一转化,,

22

CTCe=CO-OP=2-l=b而，若CQ工BC,贝lJ(CaCd)nu,=0.

若Q在C8的投影为BC的中点时，，因此W.由的取值范围是卜7,1].

2.数量积的最值（范围）问题

一、单选题

1.（2023•河南安阳•统考三模）已知菱形A8CO的边长为1，cos/84Z）=g,。为菱形的中心，E是线段

上的动点，则。后的最小值为（）

A.1B.1C.-D.—

236

【答案】C

【分析】设理=4亚，其中0W4W1,将方后、前用基底表示，再利用平面向量数量积的运算性质可求

得瓦•前的最小值.

【详解】设荏=丸而，其中OWK1,

由平面向量数量积的定义可得就乱=网.|码8S/BAD=1,

因为O为菱形ABCD的中心，则=gD月=:（或一AD）,

所以，丽•丽=卜福一而）3（而一而）=3卜而〈a丽.而_丽.而+而2）

因此，诙丽的最小值为5.

故选：c.

2.（2023・湖北武汉•武汉二中校联考模拟预测）如图，已知AO8是半径为2,圆心角为的扇形，点区尸分

别在OAO3匕且OA=3O£OB=3。尸，点尸是圆弧A8上的动点（包括端点），则西.历的最小值为（）

16

D.

T

【答案】A

【分析】以O为原点，0A04所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，设尸（3），）,即），＞。，则f+丁=4,

利用平面向量的坐标运算得尸必尸「=4-：（工+），），结合基本不等式即可求得最值.

【详解】如图，以。为原点，。儿。4所在直线为轴建立平面直角坐标系

则A（2,0）,8（0,2）,E（m）,|）,设P（xM，x,y>0,贝！］/+/=4,

所以尸百.户产=|-x,-ylf-x,|-y1=x2-|x+j2-|y=4-|（x+j'）,

因为丁+y2=（x+y『-2个=4,所以（x+），y=4+2»,又x，）“2孙，贝|]422",所以0＜盯42,当

且仅当x=y=应时，等号成立

则（x+»的最大值为8,所以"V的最大值为2废，即而.而的最小值为4-平.

故选：A.

3.（2023•河南新乡•新乡市第一中学校考模拟预测）在融。中，8c=4,AB=3AC,则阮.丽的取值范

围为（）

A.[-3,12]B.（-3J2）C.[12,24]D.（12,24）

【答案】D

【分析】设AC=〃?，利用余弦定理可求得cos8,根据向量数量积定义可得而.丽=4〃『+8,利用三角形

三边关系可求得机的范围，结合二次函数性质可求得结果.

【详解】设AC=/〃，则A6=3m,

BC2+AB2-AC216+8/n22+m2

由余弦定理得:CCS/<-______________----—

2BCAB~24m~3m

BC-BA=12//2cosB=4(2+nr)=4m'+8；

3m+m>4

\<m<2/.W+8G(12,24),

3m―"zv4f

即BCBA的取值范围为（12,24）.

故选：D.

4.（2023•江苏镇江•江苏省镇江中学校考模拟预测）已知半径为1的圆O上有三个动点A,B,C,且|A8|=0,

则前•交的最小值为（）

A.1—5/2B.y/2-1C.—>/2D.>/2—

22

【答案】A

【分析】建立平面直角坐标系，求出相关点和向量的坐标，用数量积的坐标运算.德.南，转化为直线

X+y+/一|=0与圆f+y2=[有公共点求参数最值问题.

【详解】因为|A8|=后,^\OA\=\OB\=\t所以|OA|2+|O4|=A8|2,所以人神专，

以。为原点，。4。8所在直线为乂丁轴建立平面直角坐标系:

则A(l,O),8(0,1),设C(x,y),则V+y2=],

AC=(x-l,y),BC=(x,y-l),

所以E•肥=x(x-l)+y(y_l)+),2=_%_)，+],

设一x-y+l=/,即x+y+f-1=0,

依题意直线工+>'+，-1=0与圆有公共点，

I/-II

所以为=7々，得I-0WY1+夜，

所以衣.尤的最小值为1-加-

故选：A

5.(2023・湖南长沙•长沙市实验中学校考二模)已知△ABC是单，立圆。的内接三角形，若4=工，则画.册

4

的最大值为()

A.72+1B.2&C.2D.1-72

【答案】A

【分析】由题设易知O8_LOC且成=函-砺，W=OC-OB,进而求丽•而即可得答案.

【详解】由圆O是△ABC的外接圆，且A=J,故08_L0C,

4

A

所以丽=丽-两BC=OC-OBt

^BABC=^A-OB]\OC-OB]=OAOC-OAOB-OBOC-¥O^

,*、

=cosZAOC-cos/AOB+1=cosZAOC-cos--/AOC+1

12]

=cosZAOC+sinZ40C+1=缶布（ZAOC+；）+1V员1,

仅当/AOC=£时等号成立.

4

故选：A

6.