高等代数 北京大学第三版 北京大学课程

第一学期第一次课

第一章代数学的经典课题

§1若干准备知识

1.1.1代数系统的概念

1.1.2一个集合，如果在它里面存在一种或若干种代数运算，这些运算满足一定的运算

法则，则称这样的一个体系为一个代数系统。

1.1.3数域的定义

定义（数域）设是某些复数所组成的集合。如果K中至少包含两个不同的复数,

且对复数的加、减、乘、除四则运算是封闭的，即对内任意两个数、（可以

等于），必有，则称K为一个数域。

例L1典型的数域举例：复数域C；实数域R；有理数域Q；Gauss数域：Q（i）=

{iI6},其中i=。

命题任意数域K都包括有理数域Q。

证明设为任意一个数域。由定义可知，存在一个元素。于是

0=a-aeK,\=—eKo

a

进而VWGZ>0,

〃?=1+1+.......+1£K。

1.1.4最后，Z,,。这就证明了Q。证毕。

集合的运算，集合的映射（像与原像、单射、满射、双射）的概念

定义（集合的交、并、差）设是集合，与的公共元素所组成的集合成为与

的交集，记作；把和B中的元素合并在一起组成的集合成为与的并集，记做

；从集合中去掉属于的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为与B的差集,

记做。

定义（集合的映射）设、为集合。如果存在法则，使得中任意元素在法则

下对应中唯一确定的元素（记做），则称是到的一个映射，记为

/:A—民

。1f（a）.

如果，则称为在下的像，称为在下的原像。的所有元素在下的像构

成的的子集称为在下的像，记做，即。

若都有则称为单射。若都存在，使得，则称为满射。如果既是单射

又是满射，则称为双射，或称一一对应。

1.1.4求和号与求积号

.1.求和号与乘积号的定义.为了把加法和乘法表达得更简练，我们引进求和号和

乘积号。

设给定某个数域上个数，我们使用如下记号:

q+%+…+勺，

f=l

。陷2…%=n《,

/=1

当然乜可以写成

«+%+……+。〃=XX，

14⑼

Q".•…%=riq-

区&J

2.求和号的性质.容易证明,

立4=£皿

r=l

+2）=£《+£，

力£%=££%

Z=lj=\>1；=1

事实上，最后一条性质的证明只需要把各个元素排成如下形状:

\ir.

2/JI

分别先按行和列求和，再求总和即可。

第一学期第二次课

§2一元高次代数方程的基础知识

1.2.1高等代数基本定理与其等价命题

1.高等代数基本定.

设为数域。以表示系数在上的以为变元的一元多项式的全体。如果，则

称为的次数，记为。

定理（高等代数基本定理）cm的任一元素在c中必有零点。

命题设是c上一个次多项式，是一个复数。则存在c上首项系数为的

次多项式，使得

fM=q(x)(x-a)+f(a)

证明对〃作数学归纳法。

推论为的零点，当且仅当为的因式(其中)。

命题(高等代数基本定理的等价命题)设为C上的次多项式，则它可以分

解成为一次因式的乘积，即存在个复数，使

fM=(X-)*-«2)……(X-an)

证明利用高等代数基本定理和命题1.3,对作数学归纳法。

2.高等代数基本定理的另一种表述方式

定义设是一个数域，是一个未知量，则等式

n

aQx++..+。〃_]工+4〃=0(1)

(其中)称为数域上的一个次代数方程；如果以带入(1)式后使它变成

等式，则称为方程(1)在中的一个根。

定理(高等代数基本定理的另一种表述形式)数域K上的〃(N1)次代数方程在复数

域C内必有一个根。

命题〃次代数方程在复数域C内有且恰有〃个根(可以重复)。

命题(高等代数基本定理的另一种表述形式)给定C上两个〃次、加次多项式

n

fM=%+qx+......+anx(anH0),

m

g(x)=b0+b{x+……+bmx0),

如果存在整整数，，与个不同的复数，使得

“a)=g(0)a=12……,/+i)，

则/(X)=g(x)O

1.2.2韦达定理与实系数代数方程的根的特性

设，其中。设的复根为(可能有重复)，则

I

0o廿

z"|

=x"_(&[+a2+---4an)x十…十/a?…%/

所以

—=(-1)1(a1+a2+•••+%);

”二(-1-Z%%；

〃0

，二（一1）”%见…见小

我们记

%（%,%，…，%）=1；

•••,«„）=n44%；

0qV£i,"

a/t（al,a2,--,a/l）=ata2•••«„

（5,%,…。“称为…4的初等对称多项式）。于是有

定理2.5（韦达定理）设，其中。设的复根为。则

L

-=（-l）'（7|（«|,«2,•••,6/„）；

%

幺=（-1）2%（%,%，…,％）；

=（一1）"。”（%，%「,•，％）.

。0

命题给定R上〃次方程

如果i是方程的一个根，则共辗复数i也是方程的根。

证明由已知，

小。”+qa""++a^a+。〃=0.

两边取复共软，又由于R,所以

n

a^a+q也”一++an_}a+。“=0.

推论实数域上的奇数次一元代数方程至少有一个实根。

证明因为它的复根（非实根）必成对出现，已知它在C内有奇数个根，故其中必有一

根为实数。

第一学期第三次课

§3线性方程组

1.3.1数域{上的线性方程组的初等变换

举例说明解线性方程组的Gauss消元法。

定义（线性方程组的初等变换）数域K上的线性方程组的如下三种变换

（1）互换两个方程的位置；

（2）把某一个方程两边同乘数域K内一个非零元素C；

（3）把某一个方程加上另一个方程的倍，这里

的每一种都称为线性方程组的初等变换。

容易证明，初等变换可逆，即经过初等变换后的线性方程组可以用初等变换复原。

命题线性方程组经过初等变换后与原方程组同解

证明设线性方程组为

/内+。12工2+一・+4〃%二4，

《2玉+。22%2+一・+〃2“%二打，

+6”2戈2+…+43〃=2

经过初等变换后得到的线性方程组为（**）,只需证明（*）的解是（**）的解，同时

（**）的解也是（*）的解即可。

设是（*）的解，即（*）中用代入后成为等式。对其进行初等变换，可以得到代

入（林）后也成为等式，即是（**）的解。反之，（**）的解也是（*）的解。

证毕。

1.3.2线性方程组的系数矩阵和增广矩阵以与矩阵的初等变换

定义（数域上的矩阵）给定数域K中的个元素（，）。把它们按一定次序

排成一个行列的长方形表格

。22

称为数域K上的一个行列矩阵，简称为矩阵。

定义（线性方程组的系数矩阵和增广矩阵）线性方程组中的未知量的系数排成的矩阵

称为方程组的系数矩阵;如果把方程组的常数项添到内作为最后一列，得到的矩

阵

a.

称为方程组的增广矩阵。

定义（矩阵的初等变换）对数域K上的矩阵的行（列）所作的如下变换

<1）互换两行（列）的位置；

（2）把某一行（列）乘以K内一个非零常数c;

把某一行（列）加上另一行（列）的倍，这里

称为矩阵的行（列）初等变换。

定义（齐次线性方程组）数域K上常数项都为零的线性方程组称为数域K上的齐

次线性方程组。

这类方程组的一般形式是

4内+42鼻+—・+4”（:0，

42%+。22工2=0，

+-+〃”了”=（）♦

命题变元个数大于方程个数的齐次线性方程组必有非零解.；

证明对变元个数作归纳。

说明线性方程组的解的存在性与数域的变化无关（这不同于高次代数方程）。事实上,

在（通过矩阵的初等变换）用消元法解线性方程组时，只进行加、减、乘、除的运算。

如果所给的是数域上的线性方程组，那么做初等变换后仍为上的线性方程组，所

求出的解也都是数域中的元素。因此，对上线性方程组的全部讨论都可以限制在数

域中进行。

第一学期第四次课

第二章向量空间与矩阵

第一节ID维向量空间

2.1.1向量和R维向量空间的定义与性质

定义（向量）设K是一个数域。K中〃?个数心,......,4〃所组成的一个M元有序数组

称为一个切维向量；

'a\'

a=611（«.eKJ=1,2,,in）

4_

称为一个R维列向量；而

。‘=⑷'，牝',……，*）

称为一个卬维行向量。

我们用心记集合｛（*s'，……，wK,i=12…….m]o

定义（中的加法和数量乘法）在中定义加法如下：两个向量相加即相同位置

处的数相加，即

a}+4

ba

+22+/

•……

在定义数量乘法为用中的数去乘向量的各个位置，即对于某人

定义（〃?维向量空间）集合厂和上面定义的加法、数乘运算组成的代数系统称为

数域（上的R维向量空间。

（I）命题（向量空间的性质）向量空间中的元素关于加法和数乘运算满足如下性

质（其中表示数域，表示中的向量）：

（2）加法结合律：；

（3）加法结合律：

（4）向量（0,0,……,0）（记为）具有性质：对于任意，有；

<5）,令，称其为的负向昼，它满足：

（5）对于数1,有

（7）对内任意数，，有；

对内任意数，，有；

对内任意数，有。

2.1.2线性组合和线性表出的定义

定义（线性组合）设，，则称向量为向量组的一个线性组合。

定义（线性表示）设，。如果存在，使得

P=kxax+k2a2+......+ksas,

则称少可被向量组四,%,……，线性表示。

2.1.3向量组的线性相关与线性无关的定义以与等价表述

定义（线性相关与线性无关）设。如果存在不全为零的，使得

k1%+k2a2+.......+ksa,=0,

则称线性相关，否则称为线性无关。

注意：根据这个定义，线性无关可以表述如下：若，使得，则必有。

如果

显然四,&线性相关当且仅当齐次线性方程组

42Ml+a22X2+……+生”七=°，

品内+品2々+……+册,再二°・

有非零解，线性无关当且仅当此齐次线性方程组只有零解。

命题设，则下述两条等价：

1）囚,”线性相关；

2）某个/可被其余向量线性表示。

证.1）2）.由于线性相关，故存在不全为零的个数，使得

k[Ct\+k2a2+.....+knan=0。

不妨设某个。于是，由向量空间的性质有

%=（-匕/匕）%+（一心/匕）％+…+（-%/+（-尤+i/尤）%+i+…+（一kjkt）an

2）1）.如果某个可被其余向量线性表示，即存在，使得

4=电+「2%+・・・+尤_1氏_]+匕+|%*|+•••+&%・

由向量空间的性质有

匕％+k2a2+•••+k._[aiA++kMaM+•••+）“%=0.

于是4,…%线性相关。证毕。

推论设，则下述两条等价：

1）…线性无关；

2）任一见不能被其余向量线性表示。

第一学期第五次课

2.1.4向量组的线性等价和集合上的等价关系

定义（线性等价）给定K〃，内的两个向量组

如果向量组（木木）中每•个向量都能被向量组（木）线性表示，反过来向量组（木）

中的每个向量也都能被向量组（**）线性表示，则称向量组（*）和向量组（**）线性

等价。

定义（集合上的等价关系）给定一个集合，上的一个二元关系称为一个

等价关系，如果满足以下三条：

（1）反身性：；

（2）对称性：；

（3）传递性：。

与。等价的元素的全体成为〃所在的等价类。

命题若与在不同的等价类，则它们所在的等价类的交集是空集。进而一个定义了

等价关系的集合可以表示为所有等价类的无交并。

证明记所在的等价类为，的等价类为。若它们的交集非空，则存在，

于是有。由等价关系定义中的对称性和传递性即知，与和在不同的等价类矛

盾。这就证明了和所在的等价类交集是空集。而集合包含所有等价类的并集，又集

合中的任一个元素都属于一个等价类，于是集合是等价类的并集。

综上可知，命题成立。证毕。

命题给定K"内两个向量组

,⑴

,（2）

且（2）中每一个向量都能被向量组（1）线性表示。如果向量能被向量组（2）

线性表示，则也可以被向量组（1）线性表示。

证明若向量组（2）中的每一个向量都可以被向量组（1）线性表示，则存在，使

得

..................（........（i）

由于能被向量组（2）线性表示，故存在，使得

将代入，得

;=11=11=1;=1/=17=|

即y可被囚,%…%线性表示。

由此易推知

命题线性等价是X的向量组集合上的等价关系。

2.1.5向量组的极大线性无关部分组和向量组的秩

定义（向量组的极大线性无关组）设为中的一个向量组，它的一部分组称

为原向量组的一个极大线性无关组，若

（1）生0,…0线性无关;

*I*2*r

（2）a,中的每一个向量都可被%线性表出。

容易看出向量组电,…和%线性等价。

引理给定上的向量组和，如果可被线性表出，且，则向量组线

性相关。

证明由于可被线性表出，故存在，使得

%+船—+…+—，

a2二右自+般河+…+乙瓦，/^\

a$=k超+QB?+…+kj3r.

设

..................（**）

将（*）代入（**）,得

（X（内冽+（£♦%）/+•••+（£V/）A=°-

i=l1=1f=l

设各系数均为零，得到

,（***）

（***）是一个含有个未知量和个方程的其次线性方程组，而，故方程组

（***）有非零解，于是存在不全为零的，使得（**）成立。由线性相关的定义即知

向量组线性相关。

定理线性等价的向量组中的极大线性无关组所含的向量个数相等。

证明设和中的线性等价的向量组。设向量组和分别是原向量组的极大

线性无关部分组，则由线性无关部分组的定义和线性等价的传递性知此二极大线性无

关部分组线性等价。由于可将中的每一个向量线性表出，知（否则由引理知向量

组线性相关，矛盾）。同理。于是。

推论任意向量组中，任意极大线性无关组所含的向量个数相等。

定义（向量组的秩）对于内给定的一个向量组，它的极大线性无关组所含的向

量的数量称为该向量组的秩。

第一学期第六次课

第二章§2矩阵的秩

2.1.1矩阵的行秩与列秩、矩阵的转置

定义2.1矩阵的行秩与列秩。

一个矩阵的行向量组的秩成为的行秩，它的列向量组的秩称为的列秩。

命题2.1矩阵的行（列）初等变换不改变行（列）秩；

证明只需证明行变换不该行秩。容易证明，经过任意一种初等行变换，得到的行

向量组与原来的向量组线性等价，所以命题成立。证毕。

定义2.2矩阵的转置

把矩阵A的行与列互换之后，得到的矩阵称为矩阵的转置矩阵。

命题2.2矩阵的行（列）初等变换不改变列（行）秩。

证明只需证明行变换不改变列秩。列变换可用矩阵的转置证得。

假设的列向量为，它的一个极大线性无关部分组为，而经过初等行变换之

后的列向量为，只需证明是变换后列向量的一个极大线性无关部分组即可。

只需分别证明向量组（*）线性无关和中的任意一个向量都可以被（*）线性表

出。构造方程，由于线性无关，线性方程组只有零解。而方程是由经过初等

行变换得来的，而初等行变换是同解变换，所以只有零解，于是线性无关。对于

的任意一个列向量，都可被线性表出，利用初等行变换是同解变换同样可以证明

经过初等行变换后，可以被（*）线性表出。

证毕。

推论矩阵的行、列秩相等，称为矩阵的秩，矩阵的秩记为r；

证明设

aila\2…a\n

%一生…小,

\品1am2…4*

不妨考虑，经过行、列调换后，可使左上角元素不等于零。用三种行、列变换可

使矩阵化为如下形式

cm：、其中（**）代表一个矩阵。

（o（op

若（**）不是零矩阵，重复上面做法，归纳下去，最后得到形如

jl1

1

Iol

的•个矩阵，可知，矩阵的行秩和列秩都等于矩阵中“1”的个数。于是由初等变

换可逆和推论可以知道，矩阵的行秩等于列秩。

定义2.3一个矩阵的行秩或列秩成为该矩阵的秩，记作。

2.2.2矩阵的相抵

定义2.4给定数域上的矩阵和，若经过初等变换能化为，则称矩阵

和相抵。

命题2.3相抵是等价关系，且秩是相抵等价类的完全不变量。

证明逐项验证等价类的定义，可知相抵是等价关系；由于初等变换不改变矩阵的

秩，于是矩阵的秩是等价类的完全不变量。

2.2.3用初等变换求矩阵的秩

用初等行变换或列变换将矩阵化为阶梯形，阶梯形矩阵的秩这就是原矩阵的秩。

第一学期第七次课

第二章§3线性方程组的理论课题

3.1.1齐次线性方程组的基础解系

对于齐次线性方程组

7/11x14-tz12x2+...+«1„x/J=0,

%芭+%.+••・+.〃.=°，

4再+。，，，2工2+.••+〃，，”"=（）.

则上述方程组即为

xial+x2a2+•••+xnan=0（*）

（其中0为零向量）。将（*）的解视为维向量，则所有解向量构成中的一个向

量组，记为。

命题S中的元素（解向量）的线性组合仍属于S（仍是解）。

证明只需要证明S关于加法与数乘封闭。设，，则

，，

于是，故；又因为

,，所以。证毕。

定义（线性方程组基础解系）齐次线性方程组（*）的一组解向量如果满足如下

条件：

（1）7,”线性无关；

(2)方程组(*)的任一解向量都可被线性表出，

那么，就称是齐次线性方程组(*)的一个基础解系。

定理数域上的齐次线性方程组的基础解系中的向量个数等于变元个数减去系数

矩阵的秩；

证明记线性方程组为，其中

•••

，，，

设的秩为，无妨设为其极大线性无关部分组，则皆可被线性表出，即

存在，使得

一a川=姮/+乂2%+…+3%,

f+2=k21al+Z22a2+…+&/%，

=kn-r\a\+12%+.一+2“-〃々「，

即kixa+ki2a2+•••+kirar+1•ar+i=0,(i=l,2,…〃-r)。于是S中含有向量

7=(Ki，:2,…，…，°)，

%=化1，%22,…，"2r，°』，…，°)，

Hn-r=("〃-r1'"n-r2,r。0,1).

只需要证明是解向量组的一个极大线性无关部分组即可。易见，向量组线性无

关。只需要再证明能线性表出任意一个即可。为此，需要证明引理：

引理设线性无关，可被线性表出，则表示法唯一。

证明设

=/向+3+…+3

两式相减，得到

4-----

化—/])£[+(k2—/2)£?\-(kt—lt)£t=0.

由于线性无关，故各的系数皆为零，于是，即的表示法唯一。引理证毕。

现在回到定理的证明。设，则有

................................(1)

考虑，则形如，且有

..................................(2)

记，则由引理，它可以被线性无关的向量组唯一地线性表示，于是由(1)、(2)

两式可知

q=q'；=c?'；…J=c,',

于是乙=（69,…,q,）=j]〃|+*“2+…。这就证明了7,…是解向量组的一个极

大线性无关部分组。再由矩阵的秩的定义可知命题成立。证毕。

基础解系的求法

我们只要找到齐次线性方程组的各自有未知量，就可以获得它的基础解系。具

体地说，我们先通过初等行变换把系数矩阵化为阶梯形，那么阶梯形的非零行数就是

系数矩阵的秩。把每一个非零行最左端的未知量保留在方程组的左端，其余个未知量

移到等式右端，再令右端个未知量其中的一个为1,其余为零，这样可以得到个解

向量，这个解向量构成了方程组的基础解系。

例求数域K上的齐次线性方程组

x14-x2-3X4-X5=0,

x,-x2+2X3-X4=0,

4X]-2X2+6七+3JV4-4X5=0,

2xI+4X2-2X3+4X4-7X5=0.

的一人基础解系。

解用初等行变换把系数矩阵化为阶梯形:

-110-3-110-3-f

1-12-1002-2-2-1

4-463-40003-1

_24-24-7_00000

于是r,基础解系中有r个向量。写出阶梯形矩阵所对应的方程组

移项，得

X+x23%=£

毛+

2x>2X4=2x5

3X4-x5

（1）、取，得一个解向量

7=（-1,11,0,0）；

（2）、取,得另一解向量

即为方程组的个基础解系，方程组的全部解可表示为

"i+&〃2(匕，22£万)・

解毕。

非齐次线性方程组的解的结构

设给定一个一般线性方程组

41玉+《2々+……+4〃&=4,

生Mi+ax+……+ax,=b,

2222nt2(*)

内+《"2占+……+"”=%

于是其系数矩阵和增广矩阵分别为

和

&42…4〃\

7_a2la22・••a2„b2

aa

_,n\品2….n„b,,一

定理(数域K上线性方程组有解的判别定理)对于数域K上的线性方程组(*),

若rr,则方程组无解；rr,则有唯一解；rr,则有无穷多解。

证明写出线性方程组的向量形式，

其中

4]R、

a、；b、

%二.~,(i=1,2,・・•,〃)，/?=.~。

••

若rr,则由矩阵秩的定义，可知列向量组的秩小于列向量的秩，即向

量组的秩小于向量组的秩。只需证明不可以被向量组线性表出即可证明方程组

无解。事实上，若可以将线性表出，则向量组与线性等价，则两个向量组的秩

相等，矛盾于向量组的秩小于向量组的秩。所以不能将线性表出，方程组无解

得证。

若rr,则的极大线性无关部分组就是的极大线性无关部分组。于是能

被线性表出，即线性方程组有解。

任取线性方程组的一个解向量，记为，对于线性方程组的任意一个解向量，是

由原方程组系数矩阵所对应的齐次线性方程组（称为线性方程组（*）的导出方程组）

的解向量。事实上，可以分别将和带入（*）,再将对应方程相减，即可证明上述

结论。反过来，容易证明，对于导出方程组的每一个解向量，都是线性方程组（*）

的解向量。以记导出方程组的解向量组成的集合，则（*）的解为

{%+川”丁}.

详言之，记导出方程组的基础解系为，则（*）的解为：

k

7（）+%/+&%+•••+n-rYn-r，£K,i=1,2,…，〃一厂）•

如果rr,则，故方程组（*）有唯一解；如果rr,则为无穷集合，故方程

组（*）有无穷多解。

第一学期第八次课

第二章§4矩阵的运算

2.4.1矩阵运算的定义

定义（矩阵的加法和数乘）给定两个矩阵

A和6加法定义为

4+如%+“12…

“21+41

。22+%…。2〃十82”

A+B=*

3%+24%2+粼2…册〃+%_

给定数域中的一个元素，与的数乘定义为

32・••*、

*ka•••ka2n

。2n22

kA=k•—••*

••*

**•

•••

m2amn)〃册2kn,”,“

定义（矩阵的乘法）给定一个机x〃矩阵和一个〃x/矩阵

A和5的乘法定义为

〃

zabz〃%

I•1b

II1<Z2%

2f2f

/=i/=l

〃%

。I

,H

A-/2J

〉〃也…z*也

\/=l1=11=1)

2.4.2矩阵的运算(加法、数乘、乘法、转置)的性质

⑴命题矩阵和定义在矩阵上的运算满足如下运算规律(其中均为上的矩阵,

为数域中的元素)

(2)加法结合律(A+8)+C=A+(8+C);

(3)加法交换律A+8=3+A;

(4)数乘结合律k(lA)=(kl)A;

(5)数乘分配律k(A+B)=kA+kB;

(k+l)A=kA+lA;

(5)乘法结合律(AB)C=A(BQ;

k(AB)=(kA)B=A(k用;

(6)乘法分配律A(B+C)=A8+BC;

(B+C)A=BA+CA;

(7)(A+8y=A+8；

(8)(AB)'=Ao

2.4.3矩阵的和与积的秩

⑴命题矩阵的运算与秩的关系满足如下性质(其中均为数域上的矩阵,

为中的元素)：

(2)若，则rr；

(3)r(A,)=r(A)；

(3)r(A+B)<r(A)+r(5)

证明(1)和(2)显然成立。关于(3),由矩阵的秩的定义，只需要证明的列

向量组的秩小于等于的列向量组的秩加上的列向量组的秩即可。的列项量可

以被和的所有列向量线性表出，于是的秩小于等于所有列向量的所组成的

向量组的秩，小于等于秩的和。于是命题成立。

命题设分别为矩阵和一个矩阵，则rminrr

证明由矩阵乘法的定义，有

〃

〃

zz%

ab

II/%I1<Z%2

/=i2f/=l2f

4%

A-2J

ZX4也…工见油"

\i=l1=11=1)

48的列向量(记为A・6j(i=l,2,...,/))可表示为

,(),

于是每一个列向量都可以写成的列向量组的线性组合，故rr；同理可证,

rr,于是rminrr。

命题r(AB)>r(A)+r(B)-n.

证明记，设的列向量为，则的列向量可以表示为

...........................................................................(1)

设的列向量的一个极大线性无关部分组为，

C.=ABt,j=l,2「.,r,

任取的一个列向量，存在，使得，将(1)式代入，得到

A(kj[B%+kj2Bi2+­••+kjrBit)=Ci,

于是与4+勺2纥+…+号声是方程组AX=C.的一个特解。

设齐次线性方程组的基础解系为，由线性方程组理论知，方程的解可以表示为

勺=kj,4+勺2纥+…+勺建,+q%+m2y2+…+叫一⑸九一⑷，

其中，由，是方程的解，于是的列向量可以被向量组线性表示，于是

rrr,B|J

rrr.

证毕。

定义〃阶方阵A自左上角到右下角这一条对角线称为A的主对角线。主对角线上

的n个元素的连加称为A的迹。

第一学期第九次课

第二章§5刀阶方阵

2.5.1n阶方阵，对角矩阵，数量矩阵，单位矩阵，初等矩阵，对称、反对称、上

三角、下三角矩阵

定义(数域上的阶方阵)数域上的矩阵成为上的阶方阵，上全体

阶方阵所成的集合记作。

定义(〃阶对角矩阵、数量矩阵、单位矩阵)数域K上形如

40

\NZ/IX/I

的方阵被称为n阶对角矩阵，与其他矩阵相乘，有

形如

九0、

Ek)

的方阵被称为n阶数量矩阵，与其他矩阵相乘，有

矩阵

10

被称为n阶单位矩阵，记作，有

我们记第i行第j列为1,其余位置全为零的n阶方阵

1

/nxzr

定义初等矩阵

我们把形如

1

1九〃

其中对角线上除了第i个元素为k以外，全为1,其他位置全为0的矩阵和形如

(\1

1

•••

k…1

**

1

x/nxn

其中对角线上的元素全为1,第i行j列位置上为k,其余位置都为0的矩阵和形如

1

其中对角线上的元素除了第i和第j个元素为零外，都为1,第i行第列和第（n-i）

行第（n-j）列位置上为1,其余位置均为零的矩阵称为初等矩阵，分别用，，

来表示。初等矩阵都是由单位阵经过一次初等变换得到的。

定义对称矩阵、反对称矩阵

设为数域K上的n阶方阵，若，称A为对称矩阵;若，则称为反对称矩阵。

若为数域上的阶对称（反对称）矩阵，则仍为K上的n阶对称（反对称）

矩阵，其中。

定义上三角、下三角矩阵

数域K上形如

&al2…

的n阶方阵被称为上三角矩阵；形如

a2\

的n阶方阵被称为下三角矩阵。

对于n阶上（下）三角矩阵，同样有

若为数域K上的n阶上（下）三角矩阵，则仍为K上的n阶上（下）三角矩阵,

其中。

命题矩阵的初等行（列）变换等价于左（右）乘初等矩阵；

证明我们分别考察三种初等矩阵

对于

等价于初等行变换中将第i行乘以一个非零数,

等价二初等列变换中将第i列乘以一个非零数;

对于

1

k...1

Vynxn

有

等价于初等行变换中将第j行加上第i行的k倍,

等价于初等列变换中将第j列加上第i列的k倍;

对于

%

等价于初等行变换中互换i,j两行，而

等价于初等列变换中互换i,j两列。

于是初等行（列）变换可以等价为左（右）乘初等矩阵。证毕。

定理一个方阵是满秩的当且仅当它能表示为初等矩阵的乘积。

证明必要性经过初等变换可以将一个满秩n阶矩阵（记为A）化为对角形，由初等

变换与乘初等矩阵的等价性，可知存在初等矩阵

•.比和如口,…,0，

使得，由于初等变换存在逆变换，于是可知用初等变换的逆变换可以将单位矩

阵化为满秩矩阵A,于是，存在n阶初等矩阵和，使得

…乙—・Q=A，

由矩阵运算的结合律和单位矩阵的性质，可以知道，必要性证毕。

充分性若可以表示成为初等矩阵的乘积，则，表示可由阶单位阵

经过次初等变换得到，于是满秩。证毕。

推论设是满秩矩阵，对于任意矩阵，有rr,rr（只要乘法有意义）.

证明由于满秩矩阵可以写作初等矩阵的乘积，于是存在初等矩阵，使得，于是,

,由初等矩阵于初等变换的等价关系，相当于对B做r次初等行变换。由于初等变

换不改变矩阵的秩，所以rr；同理，rr。证毕。

第一学期第十次课

2.5.2可逆矩阵，方阵的逆矩阵

1.可逆矩阵，方阵的逆矩阵的定义

定义设A是属于K上的一个n阶方阵，如果存在属于K上的n阶方阵B,使

BA=A3=E,

则称B是A的一个逆矩阵，此时A称为可逆矩阵。