高考数学一轮复习高频考点精讲精练(新高考专用)第06讲拓展一：平面向量的拓展应用(高频精讲)(原卷版+解析)

第06讲拓展一：平面向量的拓展应用（精讲）

目录

第一部分:典型例题剖析..............................................2

高频考点一：平面向量夹角为锐角（或钝角）问题....................2

角度L两个向量所成角为锐角..................................2

角度2：两个向量所成角为钝角..................................3

高频考点二：平面向量模的最值（或范围）问题......................4

方法一：定义法................................................4

方法二：几何法................................................5

方法三:三角不等式法..........................................7

方法四:坐标法................................................7

方法五：转化法................................................9

高频考点三：平面向量数量积最值（或范围）问题...................10

方法一：定义法...............................................10

方法二：向量数量积几何意义法.................................12

方法三：坐标法（自主建系法）.................................14

方法四：积化恒等式法.........................................16

第一部分：典型例题剖析

高频考点一：平面向量夹角为锐角(或钝角)问题

角度1:两个向量所成角为锐角

典型例题

例题L(多选)(2023春・河南•高一河南省实验中学校考阶段练习)设向量a=(2,3),/)=(6j)若“与力

的夹角为锐角，则实数，的值可能是()

A.-5B.3C.6D.9

例题2.(2023春•新疆乌鲁木齐•高一乌鲁木齐市第70中校考阶段练习)已知平面向量〃:(1,外，

b=(2x+3,-x),XGR.

(1)若aJ.b，求卜一〃|;

(2)若。与/，的夹角为锐角，求4的取值范围.

例题3.(2023春•山西运城•高一康杰中学校考阶段练习)已知：〃、/，是同一平面内的两个向量，其中〃

=(1,2),)=(1,1)

(1)若4与4+2〃的夹角为锐角，求实数4的取值范围；

(2)求4+/,在4上投影向量.

练透核心考点

1.(2023春•湖北十堰•高一校考阶段练习)若向量。=(1,2)与“(一1,枭)的夹角为锐角，则/的取值范围为

2.(2023春・广东广州•高一广州市真光中学校考阶段练习)已知向量;,=(1,2),/7=(1J)(/eR).

⑴若(〃+力)-b),求/的值；

(2)若f=l,〃与4+〃力的夹角为锐角，求实数小的取值范围.

3.(2023春・山东滨州•高一校考阶段练习)(1)已知〃=(6,3),U(-2,0),求向量力在〃二的投影向量

的坐标.

(2)已知5=(1,3)工=(42),若。泊的夹角为锐角，求丸的取值范围.

角度2：两个向量所成角为钝角

典型例题

例题1.(2023春•江苏常州•高二校联考阶段练习)若a=(-l,x+l,x),力=(2-乂0,3),且〃与方的夹角

为钝角，则x的取值范围是()

A.,8'g)B.(g,+8)C.(-D.g,3)U(3,y)

例题2.(2023春•宁夏•高一六盘山高级中学校考阶段练习)已知。=(1,2)/=(-4/)，则向量。与向量〃

的夹角为钝角时/的取值范围是.

例题3.（2023•河南南阳•高三南阳中学校考阶段练习）已知。=（工-5,-2工-1）,八（3+2工,2）,且“与力

的夹角为钝角，则汇的取值范围是.

练透核心考点

1.（2023春•江苏•高一校联考阶段练习）已知。=（x,l）,/7=（2.2X+3）,若出方的夹角为钝角，则1的取值

范围为（）

(3B.-2M-

A.——,+00

(4

3D-12.用。(-*)

C.-00.------

4

2.（2023春•天津和平•高一校考阶段练习）已知”=（1,-1）,力=（几,1）,若〃与〃的夹角。为钝角，则实数2

的取值范围为

3.（2023春・江苏徐州•高一校考阶段练习）已知向最。=（2人2）,〃=（-2—,-5）,若向量〃与向量〃+〃的

夹角为钝角，则实数/的取值范匡为.

高频考点二：平面向量模的最值（或范围）问题

方法一：定义法

典型例题

例题1.（2023•浙江•模拟预测）已知在二角形A6c中，A8=3,AC=2,乙4=60。，点时，N分别为

边AB,AC上的动点，AM=xAB,AN=yACf其中＞0,x+y=1,点尸，Q分别为MN,8c的中

点，贝UIPQI的最小值为（)

B・噜

例题2.（2023春•吉林•高一东北师大附中校考阶段练习）在乂3c中，2|^|=|AC|=6,ZA=120,

点M满足AM=/M8+〃AC,4+2〃=2,贝加AM|的最小值为.

例题3.（2023春•江苏常州•高一校考阶段练习）己知向量°,〃满足：同=1,忖=4,卜-〃|=26，

则卜+抬:若/为非零实数，贝由。+仍的最小值为.

例题4.（2023春•河南开封•高一河南省杞县高中校联考阶段练习）已知平面向量其中|川=2,|〃|=1,

。房的夹角是?，则|"2〃卜；若/为任意实数，则,+冈的最小值为.

练透核心考点

1.（2023•陕西榆林•校考模拟预测）已知向量”，人满足口=2忖ab=—l，则,十叶的取值范围为（)

—

A.[2,+oo）B.C.[夜,+8）

2.（2023春•江苏淮安•高一淮阴中学校考阶段练习）已知平面向量”，〃的夹角为g,且|。卜"，忖=2,

€=/«-/?»其中1£R,则H的最小值为.

3.（2023春・河北保定•高一河北省唐县第二中学校考阶段练习）设向量〃，/，满足卜|=2.忖=1.〃与〃的夹角

为60%则fa+b的取值范围是.

方法二：几何法

典型例题

例题1.（2023•全国•高三专题练习）已知平面向量八〃、（•满足〃包=0,”=W=1，（c-a

则4的最大值为（）

A.y/2B.1+立C.2D.2

22

例题2.（2023春•陕西西安•高一西北工业大学附属中学校考阶段练习）己知向量”,〃均为单位向量，

且〃•〃二；・向量与向量八c的夹角为和则忖-4的最大值为（）

A.立B.1C.—D.2

23

例题3.（多选）（2023春•安徽铜陵•高一铜陵一中校考阶段练习）若“力工均为单位向量，且0.〃=（）,

（a-cAS-c）VO,则|。+8一c|的值可能为（）

A.72-1B.1C.V2D.2

例题4.（2023•全国•高三专题练习）已知0为坐标原点，向量。4,OB,OC,满足|。4卜|。⑷=|。4=1,

（OA-OB）（OB-OC）=Ot若|OP|=4,贝IJ|幺+08+PC］的取值范围是

练透核心考点

1.（2023,全国•高三专题练习）已知向量〃，。，c•为平面向量，同则=2人=1,且c使得c-2a与ci

所成夹角为60,则口的最大值为（）

A.G+lB.GC.1D.V7+1

2.（多选）（2023秋•广东•高三校联考期末）向量4也c满足。=M=2，ab=-2,<a-c,b-c>=60°,

则，的值可以是（）

A.3B.6C.4D.275

3.（多选）（2023•辽宁•高二校联考开学考试）向量〃，Ac满足"=川=1'ab=—；,《-6-4=60。,

则同的值可以是（）

3r

A.3B.-C.2D.V5

4.（2023•安徽阜阳•高三安徽省临泉第一中学校考）已知向量〃，〃满足,卜恸=1,且a6=0,若向量c•满

足F+〃+q=i,则口的最大值为.

方法三：三角不等式法

向量模的三角不等式来求解：Id-M业回附+比

典型例题

例题1.（2023•全国•高三专题练习）已知，工8c为等边三角形，A8=2,.A8C所在平面内的点。满足

|AP—A3—4C|=1,卜日的最小值为（）

A.石-1B.2>/2-1C.2\/3-1D.V7-I

例题2.（2023•全国•高三对口高考）设〃，人为单位向量，若向量c满足*（〃+/川=|。-可，则同的最

大值是.

练透核心考点

1.（2023♦安徽安庆・高一安庆一中校考）已知向量〃，b，d，满足同=1，忖=2,同=3,OW义W1,若〃.c=O，

则卜一小一。一/l）d的最小值为.

2.（2023•辽宁大连•高一大连二十四中校考）已知向量4,方满足同=1,恸=3,则悭+可+悭一可的最

小值是，最大值是.

3.（2023•浙江宁波•高三校联考阶段练习）已知向量a,b,d满足卜卜1,|4=3,|*4,0W2W1,若〃工=0,

则的最小值为，最大值为.

方法四：坐标法

典型例题

例题1.（2023•四川成都•高一四川省成都市盐道街中学校考阶段练习）已知边长为1的正方形A5CD位

于第一象限,且顶点A,。分别在x,y的正半轴上（含原点。）滑动,则|OB+OC|的最大值是（）.

A.1B.2C.3D.M

例题2.（2023•四川资阳•统考模拟预测）已知向量〃，0c满足a〃=0,口=1,,-4=卜-。卜日，

则〔力的最大值是.

例题3.（2023•四川宜宾•统考模拟预测）在平面直角坐标系中，。为坐标原点，A的坐标为（LO）,点产

为动点，且满足犒=2,记/sTzOP+lodaeR）,若/（/）的最小值为41m，贝Kn的最大值为

例题4.（2023・贵州铜仁・高一校考阶段练习）已知向量〃=（8$晨,5吊。），〃=（1,1）,其中&2,xeR.

（1）当％=4时，求。功的取值范围；

（2）当2=】时，求卜+/,的取值范围.

练透核心考点

1.（2023•安徽合肥•高三安徽省肥东县第二中学校考阶段练习）已知平面向量〃，/?,满足。=（L3）,|b|=l,

则［力的取值范围是

2.（2023•重庆沙坪坝•高二重庆八中校考）已知平面直角坐标系中，向量。=（丁,1）,》=（-2,1+%）.

(1)若a_L〃，求X;

（2）当x>0时，求。一切的最小值

x

3.（2023•浙江宁波•高一宁波市北仑中学校考）已知。以0,为，向量“=（cos。,sin6）,6=（1,0）,与多居是

坐标平面上的三点，使得。鸟=2［。《一,。6问，0P,=2［0Pz-（b0P2）b

⑴若。=］，匕的坐标为（20,21）,求。勺；

⑵若心母：，|。同=6,求口叫的最大值.

4.(2023•安徽宣城•高一校考阶段练习)已知向量。=(1,6),8=(-2,0).

(1)求的坐标以及与〃之间的夹角：

(2)当，目-1』时，求卜一叫的取值范围.

方法五：转化法

典型例题

例题L(2023•山东泰安•高三新泰市第一中学校考)已知向量a,。满足忖=1,|〃卜2,«./7=0,

若向量d满足,+匕-2c|=l,则/的取值范围是()

A.[Ux/5-l]

2，

\y/5-\石+175+15

2’5

例题2.(2023•陕西西安•高一陕西师大附中校考)已知向量〃，加C，满足卜|=4,a与/，的夹角为

c-(c-a)=-3f贝的最小值为()

3

A.273+2B.x/3--C.V3+1D.痒1

例题3.(2023•湖南永州-高一永州市第一中学校考)己知平面向量”也。满足忖=2,卜”小=4,

(1卜卜+〃)=-3,贝!|卜的最小值为()

A.>/2—1B.———1C.\/5—2D.V7—2

2

例题4(2023•广东•高三统考阶段练习)若向量a=*,2),方=(-3,y),c=(-1,-2),且(£-£)_!.(He),

则Ia-”的最小值为.

练透核心考点

1.（2023•浙江杭州•高一校联考）已知平面向量a,〃，且闷=W=2,〃?〃2,向量c满足卜-2〃-2可=卜-可，

贝川c-4^（/1eR）的最小值为（）

A.2x/2-2B.26-2C.26+2D.2G

2.（2023秋•安徽铜陵•高三铜陵一中校联考阶段练习）己知之“，了，:G是平面向量，；V与二C<是单位向量，且

:11向量^满足4/_8；1+3=0,则当办的最大值与最小值之和是（）

A.242B.2GC.4D.2石

3.（2023・全国•高三专题练习）在平面直角坐标系xQy中，已知平面向量〃，8满足,卜+耳=4,

则w的取值范围是（）

A.〔20,6]B.[2,2码C.[2,6]D.[1,2网

4.（2023•浙江舟山•高三舟山中学校考阶段练习）己知平面向量a，b，c，满足忖=忖=2,«与5的夹角

为60,且J—2a-c+3=0，则的最小值为（）

A.V3-1B.1

C.>/3D.273-1

高频考点三：平面向量数量积最值（或范围）问题

方法一：定义法

典型例题

例题1.（2023春•湖南•高一校联考阶段练习）如图，正方形ABC。的边长为2,圆A半径为1,点P在

圆A上运动，则BP./?。的取值范围是（）

A.[2,6]B.[2夜,6C.[4-272,4+272]D.[2,2夜]

例题2.（2023春红苏南京福一金陵中学校考阶段练习）如图，ABC中，”为AB中点，A4=5,CM=3,EF

为圆心为C、半径为1的圆的动直径，则3£八F的取值范围是.

c

例题3.（2023春•重庆•高一校联考阶段练习）如图，在四边形ABOC中，CBCD=O,且2。。=6,

若A8=AC=2,则AC的最大值为.

练透核心考点

ULUUIUU

1.（2023・全国•高一专题练习）在.工3。中，已知3=30。，b=\,则ABAC的最小值为（）

2.（2023・全国•高一专题练习）四边形/WCO中，A3=4,Z4=Z«=60°,/。=150。，则D4.QC的最

小值为（）

B.-V3D.-3

3.（2023春•安徽淮北•高一淮北一中校考阶段练习）如图所示，扇形408的弧的中点为M,动点CD分

别在OAO"上（包括端点），且。04=2,408=120”，则MCMO的取值范围.

D

OC%

4.（2023春•江苏宿迁•高一校考阶段练习）在认8c中，A4=7l8C=2,/3=15（）,点。是AC边上的一

点（包括端点），点M是4C的内点，则8M•80的取值范围是.

5.（2023・全国♦高一专题练习）在如图所示的平面图形中，CM=1,CN=2,BM=2MA.CN=2NA,3R：

（1）设BC=xOM+yON,求*+了的值；

⑵若OM〃CN且NMON心闱，求.AC的最小值.

64

方法二：向量数量积几何意义法

典型例题

例题1.（2023•辽宁沈阳•高一沈阳市第三十一中学校联考）《易经》是阐述天地世间关于万象变化的

古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图.图中正八边形代表八卦，中间的圆代表

阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田.已知正八边形A8C£）£/『G〃的边长为28，点P是正

八边形ABCDEFGH边上的一点,则的最大值是（）

A.4人B.8-46C.8+4啦D.4+272

例题2.（2023•上海普陀•高三曹杨二中校考阶段练习）如图，P为/4C外接圆。上一个动点，若C4=1,

CB=g,ZAC^=150°,则的最大值.

例题3.（2023•湖南衡阳-高一统考）剪纸艺术是一种中国传统的民间工艺，它源远流长，经久不衰，

已成为世界艺术宝库中的一种珍藏.某学校为了丰富学生的课外活动，组织了剪纸比赛，小明同学在观看

了2022年北京冬奥会的节目《雪花》之后，被舞台上一片片漂亮的“雪花”所吸引，决定用作品“雪花”

参加剪纸比赛.小明的参赛作品“雪花”如图1所示，它的平面图可简化为图2的平面图形，该平面图形

既是轴对称图形，又是中心对称图形，其中，P为该平面图形上的一个动点（含边界），六边形ABCDEF

为正六边形，DC=4CK=4JK=8,CK1.JK,/为等边三角形，则A8AP的最大值为

练透核心考点

1.（2023•海南•高一统考）在直角坐标系宜为中,已知点A（T,0）,4（1,0）,C（fl）,动点尸满足以.PB=0,

则COV尸的取值范围是.

y

2.（2023•上海浦东新•高一上海市建平中学校考）已知平面上两定点A、8满足43=4,动点P、。分别满

足4/）=1,8。=2,则从2・4。的取值范围是___.

3.（2023•广东深圳•高一福田外国语高中校考）如图，边长为2的正三角形A8C的边AC落在直线/上，

AC中点与定点。重合，顶点3与定点。重合.将正三角形44C沿直线/顺时针滚动，即先以顶点C为旋转

中心顺时针旋转，当顶点B落在/上，再以顶点B为旋转中心顺时针旋转，如此继续.当ABC滚动到A4G

时，顶点8运动轨迹的长度为；在滚动过程中，OZhO"的取值范围为.

方法三：坐标法（自主建系法）

典型例题

例题1.（2023•天津•校联考一模）如图所示，梯形A8CO中，点E为A8的中点，弘-8C=0,

BDBA=BDAD=4f若向量CE在向量CB上的投影向量的模为％设M、N分别为线段CD、八/）上的

动点，且CM=/tC£>,AN=-ADt贝ljEMEN的取值范围是（）

例题2.（2023•河南新乡-统考二模）剪纸是中国古老的传统民间艺术之一,剪纸时常会沿着纸的某条

对称轴对折.将一张纸片先左右折叠，再上下折叠，然后沿半圆弧虚线裁剪，展开得到最后的图形，若正

方形A8CO的边长为2,点P在四段圆弧上运动，则A3的取值范围为（）

।f--E312fz

!A

A.[-1,3]B.[-2,6]C.[-3,9]D.[-16]

例题3.（2023春•江苏南京•高一南京市中华中学校考阶段练习）如图，在平面四边形48CO中,

ZCDA=NCBA=90°,NBAD=120°,AB=AD=1,若点E为CO边上的动点,则AE-BE的最小值为

例题4.（2023春•江苏常州•高一校联考阶段练习）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传

统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.如图2,

正八边形ABCQEFG”中，若4E=/MC+〃4产a,〃eR）,则义+〃的值为；若正八边形

ABCDEFGH的边长为2,P是正八边形ABC。瓦G”八条边上的动点，则APA8的最小值为.

E

AB

图2

练透核心考点

1.（2023•北京东城•统考一模）已知正方形4BCO的边长为2,尸为正方形ABC。内部（不含边界）的动点,

且满足PAP3=0，则CPQP的取值范围是（）

A.（0,8]B.[0,8）C.（0,4]D.[0,4）

2.（2023•河南开封•统考二模）已知等边以8c的边长为右，P为所在平面内的动点，且|PA|=1,

则P8•尸C的取值范围是（）

「391F11111一i门ri

A.[-5引句C.R4]D.[L7]

3.（2023春・湖南长沙•高一长沙一中校考阶段练习）如图，在四边形ABC。中，23=60。,A8=3,8C=6,

^,AD=ABC.ADAB=--.

2

⑵若M是线段3c上的动点，求OM4C的取值范围.

方法四：积化恒等式法

典型例题

例题1.（2023春•河北衡水•高三河北衡水中学校考阶段练习）在ABC中，A=90°,A8=4,AC=45/3,

P,。是平面上的动点，AP=AQ=PQ=2,M是边3C上的一点，则MPMQ的最小值为（）

A.1B.2C.3D.4

例题2.（2023•全国•模拟预测）如图所示，AA8C是边长为8的等边三角形，点尸为AC边上的一个

动点，长度为6的线段环的中点为点B,则PE.尸产的取值范围是.

练透核心考点

1.（2023•全国•模拟预测）在边长为2的等边三角形A8c中，M为边AC上的动点，则8例CM的最小值

是（）

1111

A.——B.——C.——D.——

2345

2.（2023春•浙江宁波•高一余姚中学校考阶段练习）在三角形48C中，A=],AA=6,AC=4,。是A8的中

点.

⑴求CQ在4c上的投影向量；

⑵若「4=1,求的取值范围.

第06讲拓展一：平面向量的拓展应用（精讲）

目录

第一部分:典型例题剖析..............................................2

高频考点一：平面向量夹角为锐角（或钝角）问题....................2

角度L两个向量所成角为锐角...................................2

角度2：两个向量所成角为钝角...................................3

高频考点二；平面向量模的最值（或范围）问题......................4

方法一：定义法................................................4

方法二：几何法................................................5

方法三：三角不等式法..........................................7

方法四：坐标法................................................7

方法五：转化法................................................9

高频考点三：平面向量数量积最值（或范围）问题...................10

方法一：定义法...............................................10

方法二：向量数量积几何意义法.................................12

方法三：坐标法（自主建系法）.................................14

方法四：积化恒等式法.........................................16

第一部分：典型例题剖析

高频考点一：平面向量夹角为锐角（或钝角）问题

角度1：两个向量所成角为锐角

典型例题

例题1.（多选）（2023春轲南南一河南省实验中学校考阶段练习）设向量4=（2?力=（64）

若4与人的夹角为锐角，则实数/的值可能是()

A.-5B.3C.6D.9

【答案】BC

ab12+3/八

H=砸[=一由—则12+3〉。」….

当a与力同向时，，=9,由于a与匕的夹角为锐角，则，〉Y且/工9

故选；BC

例题2.(2023春-新疆乌鲁木齐・高一乌鲁木齐市第70中校考阶段练习)已知平面向量

6/=(l,x),/?=(2x+3,-x),xeR.

⑴若dJ.b,求,一同；

(2)若。与〃的夹角为锐角，求x的取值范围.

【答案】⑴2或10

(2){-l,O)U(O,3)

【详解】(1):.d〃=2x+3-3=0,解得：x=-l或x=3,

当户一1时，a-0=(0,-2),:.\a-b\=yl()2+(-2)2=2：

当K=3时，a-b=(-8,6),|«-^|=>/(-8)2+62=10；

综上所述：卜-耳=2或10

(2)若内〃共线，贝i」—x=x(2x+3),解得：x=0或工=一2,

当％=。时，6/=(1,0),Z?=(3,0),此时〃，〃同向；

当了=一2时，。=(1,一2),Z;=(-1,2),此时a,5反向；

,若〃与A的夹角为锐角，则卜72%+3-厂>0,解得：T<x<3且XH0,

・•,x的取值范围为(TO)(0,3).

例题3.(2023春•山西运城•高一康杰中学校考阶段炼习)已知：〃、/,是同一平面内的

两个向量，其中a=(1,2),

⑴若。与〃+筋的夹角为锐角，求实数4的取值范围；

⑵求〃+在〃上投影向量.

【答案】(l)[-|，0)D(0，+8)；

【详解】（1）,.•〃=（1,2）力=（1,1）,「.〃+劝=（/1+1,4+2）,

又。与"劝的夹角为锐角，劝）＞。且。与"劝不平行，

2+1+2（/1+2）＞0

■＜A+2-2（/l+l）^0，

解得％且九二0，

二•实数4的取值范围是卜*0）50,+8）.

（2）由题得々+〃=（2,3）,（〃+〃）.4=2+6=8,同=炉方=后

..,.....（a+b]-a8（816、

a+〃在。上的投影向量为----/—Q'

\af5\55）

练透核心考点

1.（2023春•湖北一|堰•高一校考阶段练习）若向量1-（1,2）与〃=（/-1,水）的夹角为锐角，则

/的取值范围为

【答案】（；，4）U（4,+8）

【详解】根据题意，向量〃=（1，2）与b=（一1,|/）的夹角为锐角，则〃力＞0且。、〃不共线,

（r-l）+3r＞0

即3/，解可得/且C4,

2（一七4

则/的取值范围为（；，4）J（4,y）.

（\\

故答案为：14U（4,-KX）

2.（2023春•广东广州•高一广州市真光中学校考阶段练习）已知向量）=（1,2）,〃二（⑺

（reR）.

⑴若（。+份||（。一6）,求/的值；

（2）若/=1,a与〃+〃彷的夹角为锐角，求实数机的取值范围.

【答案】（1）/=2

（2）f-|,olu（O,+x））

【详解】(1)由题可知。+“(1,2)+(1#=(2,2+/),

67-Z?=(l,2)-(1,r)=(0,2-f)

•l-(a+b)l^a-b),

2(2—t)=0,/=2.

(2)若/=1,则)=(1,1),a+mb=(\+m,2+m),

a与a+mb的夹角为锐角,

+〃活)>0,且°与〃+〃必不共线,

1+/??+2(2+m)>05

[2。+〃»2+〃，，解得…尹"。，

..m的取值范围是=(0,+oo).

3.(2023春•山东滨州•高一校考阶段练习)(1)已知，=(6,3),力=(-2,0),求向量〃在

〃上的投影向量的坐标.

(2)已知。=(1,3),力=(42),若a,〃的夹角为锐角，求4的取值范围.

【答案】⑴当;(2)T，+00)

【详解】(1)由题意可得："=Gx(—2)+3x0=-26向=J(可+32=26，

向量〃在。方向上的投影向量为：

rr'

rr山(即

/cos/0rH郦rhhr_2石「5/3r(1⑸;

同|«|\af126122J

(2)因为a,〃的夹角为锐角，所以］：=|x/l+3x2=/l+6>0，解得：兄>-6,

2

又当。与力共线时，可得：1x2=32,解得：A=j,

r/212r.

此时力=-,2=-«,此时。与/，同向，需排除，

IJ)J

所以4的取值范围是：2ef-6,1luf|,+a)l

角度2：两个向量所成角为钝角

典型例题

例题1.(2023春•江苏常州•高二校联考阶段练习)若。=(-l,x+l,x),力=(2—爸0,3),

且4与〃的夹角为钝角，则、的取值范围是()

A.18,：B.g.”)C.(-8,T)U(T；D.U(3,+oo)

【答案】C

【详解】因为。=(—l,x+l,力，8=(2-％0,3),

-1=4(2--¥)x=-\

令。与6共线，则3="，即(―1»+1/)=处2-乂0,3),即卜+1=0解得＜1.

A=——

x=323

此时。=(一1,0,-1),〃=(3,0,3),即右=一3々，a与力反向，

又“与力的夹角为钝角，

所以a小<0且a与〃不反向共线，

即-(2-x)+3x<0且XH-1,

解得且

故选：C

例题2.(2023春•宁夏•高一六盘山高级中学校考阶段练习)已知。=(1,2)为=(-4/),

则向量。与向量5的夹角为钝角时/的取值范围是.

【答案】/<2且8

【详解】因为a=(l,2),〃=(T"),向量a与向量匕的夹角为钝角

,a-b.,„

则cos〃，〃=丽p(T，。)，所以a.〃=(l,2>(T」)=T+2/<0,且向量d与向量〃不共线，

即〃。M,

解得f<2且，工一8.

故答案为：/<2且/#—8.

例题3.(2023婀南南阳•高三南阳中学校考阶段练习圮知。=(x-5,-2x-1),人=(3+2工,2),

且a与〃的夹角为钝角，则x的取值范围是.

［，…］(11-7^-5+屈1J-5+屈11+7257^

。非［4'4厂［4'4,

【详解】因为“与〃的夹角为钝角，

所以cos(a,b)=(x-5)(3+2x)+2(-2x-l)<0=>——'<x<"+，

当：与I的夹角为平角时,则有(％-5,%-1)=〃3+2屈2)(><0),

x-5=A(3+2x].、,c八八-5±V53

则有'-2x-1=2%=2(x-5)=(3+2x)(-2.1)nx=，因为7v0,

4

所以.三叵

"ll-x/257-5+453「5+屈11+V257"|

所以x的取值范围是

4444

(11-V257-5+而]]-5+屈H+A/257^

故答案为:

I4444

练透核心考点

1.（2023春•江苏•高一校联考阶段练习）已知d=（x,l）,〃=（2,2x+3）,若的夹角为钝

角，则x的取值范围为（）

3(c3]

A.—,+COB.-2,——

4<4,

3-2.用U-却8

C.—oo,—D.

4I4

【答案】B

ab

【详解】•・4〃夹角为钝角，，8sva/>=<°且“，力不共线,

\a\]h\

3

即a/?=4x+3<0且x(2x+3)工2,解得：x<--

•r的取值范围为（2,-2»卜2,一\）.

故选:B.

2.（2023春•天津和平•高一校考阶段练习）已知a=（1,-1）,〃=（41）,若-与。的夹角。为钝

角，则实数2的取值范围为

【答案】2<1且

【详解】若.与〃的夹角a为钝角,

则q.A<0,且a与〃不共饯，

A-l<0

即《1X1工-1X/T"“<LT,

故答案为：义<1且义工—1.

3.（2023春・江苏徐州•高一校考阶段练习）已知向量。=（2f,2）,力若向量°

与向量〃+力的夹角为钝角，则实数t的取值范围为

【答案】｛"T</<3且V》

【详解】由题意得。-2,-3）,

向最a与向员a+b的夹角为饨角，即“•（“+〃）<0,且向吊：Q与向吊a+〃不共线，

则2«，-2）-6<0,且-6f-2（f-2）w0,

故J-2r-3<0,且七工，

2

解得日.旧，

故答案为：｛"T</<3且

高频考点二：平面向量模的最值（或范围）问题

方法一：定义法

典型例题

例题1.（2023•浙江•模拟预测）已知在三角形A8C中，AB=3,AC=Z44=60。，点

M,N分别为边AB,AC上的动点，AM=r4B,/lN=yAC,其中,1,），>0,1+），=1,点尸，

。分别为MV,8C的中点，贝IJIPQI的最小值为（）

A历B.逑IN/19

A・------Rv«------D.叵

141442

【答案】B

・,垩,n八,c,AB+ACAM+AN1—,v._1—y.1—x_x,

【详解】PQ=AQ-AP=------------------=——AB+--AC=——AB+-AC，

222222

则PQ2=比与AB2+—AC2+A（1-A）ABAC,

442

2—2.

而A歹=9,AU=4,A8AC=3X2X-=3,

2

c79

/.PQ=-X2-3X+^（0<A:<1）,

7o6

而y~~x-3%+：的对称轴为xe（0,1）,

447

故当x时，|PQ『=2」产0|=延1,

7I^Imm