高考数学一轮复习攻略高频考点集中练概率统计

高频考点集中练概率统计

L(2019•全国卷I)某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学

生编号为1,2,…，1000,从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100

名学生进行体质测验,若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的

是()

号学生号学生

号学生号学生

【解析】选C.由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，

用系统抽样,46号学生被抽到，所以第一组抽到6号，且每组抽到的学

生号构成等差数列{4},公差d=10,所以位=6+10(nl)(n£N*),

若8=6+10(n1),则n=1.2,不合题意；若200=6+10(n1),则"20.4,不合

题意；

若616=6+10(川),则n=62,符合题意；若815=6+10(n1),则"81.9,不合

题意.故选C

【真题拾贝】系统抽样适合抽取样木较多且个体之间没有明显差异的

总体，系统抽样最主要的特征是,所抽取的样本相邻编号等距离,可以

利用等差数列的性质解答.

2.(2018•全国卷1川若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,

既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率

为()

【解析】选B.方法一：画Venn图，如图

设只用非现金支付(不用现金支付)的概率为x,则0.45+0.15+x=1,解得

x=0.4,

所以不用现金支付的概率为0.4.

方法二：记“用现金支付”为事件A,“用非现金支付”为事件B,则“只

用非现金支付(不用现金支付)”为事件B(ACIB),

由已知，P(A)=0.45+0.15=0.6,P(AnB)=0.15,

又P(AUB)=P(A)+P(B)P(AAB)=0.6+P(B)0.15=1,所以P(B)=0.55,

P(B(AClB))=P(B)P(AAB)=0.550.15=0.4.

【真题拾贝】解决此类问题:①判断事件的基本关系利用概率的计算公

式计算;②若事件为互斥事件的和，则由公式P(AUB)=P(A)+P(B)+P(AB)

计算可得；③若事件为独立事件的积,则由公式P(AB)=P(A)P(B)计算可

得.

3.(2019-全国卷II)演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评

分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低

分,得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比,不变的数字

特征是()

A.中位数B.平均数C.方差D.极差

【命题思维分析】可不用动笔,直接得到答案,亦可采用特殊数据，特值

法筛选答案.

【解析】选A.由于去掉1个最高分、1个最低分，不影响中间的数值，

故中位数不变.

【真题拾贝】本题旨在考查学生对中位数、平均数、方差、极差本质

的理解.理解概念即可.

4.(2019•全国卷m)《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》

是中国古典文学瑰宝,并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本

校学生阅读四大名著的情况,随机调查了100位学生，其中阅读过《西

游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有

80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位,则该校

阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为

()

【解析】选C.由题意知阅读过《红楼梦》而没有阅读过《西游记》的

学生人数为8060=20,所以阅读过《西游记》的学生人数为9020=70,故

70

所求的估计值为而0.7.

【真题拾贝】本题考查抽样数据的统计，渗透了数据处理和数学运算素

养.采取去重法,利用转化与化归思想解题.

5.(2018•全国卷HD某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,

各成员的支付方式相互独立,设X为该群体的10位成员中使用移动支

付的人数,DX=2.4,P(X=4)<P(X=6),则p=()

【解析】选B.由题意可知X〜B(10,p),故DX=10p(lp)=2.4,解得或

p=0.4,当p=0.6时，

p(x=4)^x4x^xi2J±

643‘x2’八2

P(X=6)=C^X6XJCax^^CLx^^X32,满足P(X=4)<P(X=6),

oo

所以p=0.6;

同理可验证p=0.4时不满足P(X=4)<P(X=6).

【快解】选B.由题意可知X〜B(10,p),故DX=10p(lp)=2.4,解得或

P=0.4,

由P(X=4)<P(X=6),

即的%/(4)6。％)6[]»,解得p£.

【真题拾贝】判断二项分布的关键点：判断一个随机变量是否服从二项

分布，要看两点：

一是是否为n次独立重复试验.每次试验都只有两种结果,且在每次试

验中事件A发生的概率是否均为p.二是随机变量是否为在这n次独立

重复试验中某事件发生的次数.且P(X=k)=C3k(ip)“k表示在独立重复

试验中，事件A恰好发生k次的概率.

6.(2018•全国卷I)如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何

图形.此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的

斜边BC,直角边AB,AC,AABC的三边所围成的区域记为I,黑色部分记

为II,其余部分记为HI,在整个图形中随机取一点，此点取自I,II,III

的概率分别记为P1,P2,p3,则（）

导学号

1=P21=P3

2=P31=P2+P3

【命题思维分析】首先设出直角三角形三条边的长度,根据其为直角三

角形,从而得到三边的关系,之后应用相应的面积公式求得各个区域的

面积，根据其数值大小,确定其关系,再利用面积型几何概型的概率公

式确定出Pl,P2,P3的关系,从而求得结果.

【解析】选A.方法一：取AB=AC=2,则BC=2V2,

11

所以区域I的面积为S1=-X2X2=2,区域III的面积为Sm=-•n（、②吃二

2

n2,区域II的面积为Sn=n•1Sm=2,故pi=p2.

方法二：设AC=b,AB=c,BC=a,贝”有b2+c2=a2,

从而可以求得aABC的面积为Si二异,

黑色部分的面积为Si产;•g*（J）

7ra22z

f\1,1TT/C2ba\1

2•（2）-5叫二十+T"社产

71c2+h2-

2

其余部分的面积为SH1=^

4

所以有S尸S“，根据面积型几何概型的概率公式，可以得到P1=p2.

【真题拾贝】高考考查的问题常见类型有:长度型、角度型、面积型、

体积型，求与长度、角度、面积、体积有关的几何概型问题，主要考查

几何概型的基本事件的求解和概率的计算问题.一定要注意几何概型

中基本事件的“等可能性”.

7.(2019•全国卷II)11分制乒乓球比赛,每赢一球得1分，当某局打成

10:10平后,每球交换发球权,先多得2分的一方获胜,该局比赛结束.

甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发

球时甲得分的概率为0.4,各球的结果相互独立.在某局双方10：10平

后，甲先发球,两人又打了X个球该局比赛结束.

⑴求P(X=2).

(2)求事件“X=4且甲获胜”的概率.

【命题思维分析】(1)本题首先可以通过题意推导出P(X=2)所包含的事

件为“甲连赢两球或乙连嬴两球”，然后计算出每种事件的概率并求和

即可得出结果；⑵本题首先可以通过题意推导出P(X=4)所包含的事件

为“前两球甲、乙各得1分，后两球均为甲得分”，然后计算出每种事

件的概率并求和即可得出结果.

【解析】(1)X=2就是10：10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，

则这2个球X0.4+(10.5)X(10.4)=0.5.

(2)X=4且甲获胜，就是10:10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，

且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得

分.

X(10.4)+(10.5)X0.4]XX0.4=0.1.

【真题拾贝】本题考查古典概型的相关性质，能否通过题意得出P(X=2)

以及P(X=4)所包含的事件是解决本题的关键,考查推理能力,考查学生

从题目中获取所需信息的能力，是中档题.

8.(2018•全国卷IH)某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出

了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效

率,选取40名工人，将他们随机分成两组,每组20人,第一组工人用第

一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务

的工作时间(单位:min)绘制了如下茎叶图：导学号

(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由.

⑵求40名工人完成生产任务所需时间的中位数叫并将完成生产任务

所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表:

超过m不超过m

第一种生产方式

第一种生产方式

(3)根据⑵中的列联表,能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有

差异？

附:KJ.滋一人产

(a+b)(c4-d)(a+c)(b4-d)

P(K2>/c0)

【命题思维分析［(1)计算两种生产方式的平均时间即可;

⑵计算出中位数，再由茎叶图数据完成列联表；

⑶由公式计算出K2,再与比较可得结果.

【解析】(1)第二种生产方式的效率更高.

理由如下：

方法一：由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成

生产任务所需时间至少80min,用第二种生产方式的工人中，有75%的

工人完成生产任务所需时间至多79min.因此第二种生产方式的效率

更高.

方法二：由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时

间的中位数为85.5min,用第二种生产方式的工人完成生产任务所需

时间的中位数为73.5min.因此第二种生产方式的效率更高.

方法三：由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所

需时间高于80min；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需

时间低于80min,因此第二种生产方式的效率更高.

方法四：由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时

间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式

的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对

称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间

相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第

一种生产方式完成生产任务所