线性代数 天津大学考试参考资料答案 天津大学考试题库答案

线性代数复习题

填空题：

0111

2022

L行列式C

3303-

4440

答：-72

0222

2.行列式3:033

4404

5550

答：-360

234

3.行列式;678

023~

0045

答：-4

2345

4579

4.行列式

068

0057

答：-4

」23](2

5.设4=23I.8=2贝ijAR=

、312J12

87,=____

’12-5、

勺21212、

答：12-4

15-4-3

J2T)?

1288

131827

6.行列式

143264

1550125

答：24

/21

7.设配&是非齐次线性方程组AX=/的两个解向量，则A

答：P

422、

8.设3阶方阵A=2a2的秩为2,则a二

、22〜

答:-4

X1I1

9.行列式；x11

1X1

11%

答：(A+3)(X-1)3

x-1222

2x-122

10.行列式

22x-2

222x-1

答：(X+5)(X-3)3

1300

2500_

1L行列式

2412~

1347

答：1

x+3222

2x+322

12.若行列式=0,则x=

22x+32

222x+3

答：-9或-1

q

13.设A=a28=伯也也),JS!1AB=，BA=

哂、

a2b3，(aq+b2al+b3a3)

"1-12A(12、

14.设A=01-2,B=01,则AB=_______________

「112)11

T,

15.设7九%是齐次线性方程组AX=0的两个解向量，则A（3/-5%）=

答：0

16.设是非齐次线性方程组AX=4的两个解向量，则A2。+342

答：P5

T23](0]、

17.设4=023,8=1-1,则A8=

03；[1

<01」

B5=—

’52、

453、

答：51,

J13,

、33,

18.设7,％是齐次线性方程组。=0的两个解向量，则A（37-2%）=

答：0

19.设3阶方阵A的行列式同=2,则总人）,=o

20.设3阶方阵A的行列式同=-12,A的两个二重特征值4=4=-2,则4的

第三个特征值4=。

答：-3

2300

4500

21.行列式］=O

257-----------

3468

答：4

22.设A为正交矩阵，则|A卜

答：±1

单选题

1.设5元齐次线性方程组AX=0,如果,・（A）=1则基础解系含有（）个向量

A.5B.4C.3D.1

答：B

1200、

(0013)

'7-200、'-7200、

-41004-100

B.

003-500-35

0-12><0012

(-7200、<7-200

4-100-4100

c.D.

003-500-35

b

J)0-12；01-2

答：c

100、

7400

3.设A二则=()o

0013，

025,

(4-100、(4100、

-72007-200

A.B.

005-300-53

、。0-21J02

(^-100、(-4100、

-72007-200

C.D.

00-53005-3

02-I00-2

答:c

T30()]

2500

4.设A二,则A-1()o

0021

<0074,

(5-300、「-5300

-2I002-100

A.B.

004-100-4

J)0-72)J)07-2J

'-5300、(5-300、

2-100-2100

C.D.

004-100-41

<00-72,、007一2」

答：C

5.设3阶方阵A的3个特征值为1,2,-4,则4的43个特征值为()。

A.-8,-4,2B.8,4,-2C.1,2,-4D.1,--

24

答：A

%11、

6.设A=1a1的秩为2,则。=（）o

<11W

A.。0―2且。工1B.a=—2C.a=\D.a=-2或。=1

答：B

解下列各题:

200、

1.设4=140,求矩阵8,使得AB-2A=3B。

J14;

答：

由AB-24=3B,.\（A-3E）B=2A

100、

,/A-3E=110可逆:.B=（A-3E）~l2A

1b

"100（800、'800、

:.B=-110280-680

、0-11人228,-68,

r30T、

2.设A=141,求矩阵8,使得45一2A=2区

J。3,

答：由AB—2A=2B,:.（A-2E）B=2A

U0-1、

vA-2E=121可逆

JOI,

]_

0

22r30-1W402

:.B=（A-2E）~l2A=0----2141=04-2

U

o1。3）「204

,1

I22J

3.问攵取何值时，向量组%=(1，1),4=(2,3,4),4=(2,2次)线性无关，又为

何值时线性相关。

111

答：・・・0=234=(2-2)(2+2)

22k

当k。2时。。0/.%,a2，巴线性无关

当女=2时。=0「.%,a2，a3线性相关

4.问h/取何值时，向量组%=(1,2,3),%=(2#,6),4=(2,5,/)线性无关，又

为何值时线性相关。

123

答：令。=2k6=(^-4)(/-6)

25I

当且//6时。/0，%,出，。3线性无关

当2=4或/=6时。=0.•.%,%，内线性相关

5.问—取何值时，向量组1=(1,2,-1),4=(2/3)，%=(3,6/)线性相关，又

为何值时线性无关。

答：

12-1

令。=2k3=(/+3)(%—4)

36I

当/=-3或攵=4时力=0/0,4，%线性相关

当/H-3且Zw4时。。0,4,4线性无关

6.问ab取何值时，向量组[=(〃/[)，%=(1,“)，%=(2,342)线性无关，

又为何值时线性相关。

a\1

答：令。=1b1=—/?(«—1)

23b2

当aw1且Z?¥0时。。0.•.q,%，内线性无关

当。=1或人=0时。=0.•.%,。2，。3线性相关

7.问2取何值时，向量组1=(1,1,丸+1),a2=(A,1,O),4=(LZ。)线性相关，又

为何值时线性无关。

答：

112+1

令10=(2+1)2(2-1)

120

当2=1或兄=一1时。=0「.ai，%，阳线性相关

当2x1且4#一1时DKO即%,内线性无关

8.求向量组（I）%=（1,1,一1,2）,4=（2,3,T5）,a3=（-1,2,-3,4）,

4=（4,5,-6,9）的秩，并求出它的一个极大无关组。

答：

’11-12）（\1-12、

23-4501-21

令A=—

-12-340023

k45-69；（0000,

.•1（4）=3=R（I）极大无关组为四,a2，巴

9.求向量组％=(1,1,1,1),02=(2,3,3,4),4=(4,5,6,7),4=(3,4,4,5)的秩,

并求出它的一个极大无关组。

答：

71In（\।1r

23340112

令A=4

567o11

、344V1°0（）0,

.”(A)=3=向量组的秩极大无关组为四,见，。3

10.求向量组(I)a,=(1,1,1,-2),4=(3,2,1,-4),4=(2,3,4,0),a4=(5,4,3-8)

的秩，并求出它的一个极大无关组。

<111-2、‘1I1-2、

4人321-40-1-22

答：令4=

23400006

<543-8；“000,

.•.r(y4)=3=Z?(I)极大无关组为名,%，%

1L求向量组(I)«=(1,2,-1,3),&=(2,3,-3,4),4=(4,7,-6,7),

4=(3,5,-4,7)的秩，并求出它的一个极大无关组。

答：

2-13、

人23-1-2

令4

7-1-3

、35。0,

.•,（A）=3=R（I）极大无关组为囚,见，。3

内+工2+S+七=0

12.求齐次线性方程组2玉+3J+4/+5%=0的基础解系及通解。

3玉+4X2+5X3+6X4=0

答:

」111、」0-1-2、

A=2345―>f0123

、3456>、°00

r（4）=2<4有无穷多解

同解方程组为＜

x,+

(］、

-2

二.基础解系为7二］,

。

通解为X=匕〃］+22〃2其中K，自wR

X1+x,++2%=3

13.求非齐次线性方程组2占+3/+5&+7%=5的全部解(用基础解系表

5工1+6.r2+8JV3+13JT4=14

示)。

答:

;11123、0-2-1

A=235757->0133

、5681314?eo00

vr（A）=r（^4）=2<4有无穷多解

X一2七-x=4

同解方程组为《4

x2+3刍+3工4=-1

「4、

-1

，特解为x导出组的基础解系为7=

00

全部解为X=X。+%+其中W£R

玉+/+2&-％=2

14.求非齐次线性方程组，2王+3々+刍-4.!=5的全部解（用特解与导出组

4玉+5X2+5X3-6X4=9

的基础解系表示）。

答：

I2-1210511

A=231-4501-3-21

J55-6900000

vr（A）=r（A）=2<4有无穷多解

X+5/+x=1

同解方程组为4

x2-3玉-2X4=1

1

・••特解为X。二导出组的基础解系为〃产

0

O

全部解为X=Xo+k[%+k2n2其中勺/2wR

x1+x2+x3-2X4=4

15.非齐次线性方程组2M+x2+=7的全部解（用基础解系表示）。

5x}+4X2+8为-5/=19

答:

」11-24(\0433、

A=215177・,701-3-51

、548-5190000

1°>

vr（A）=r（A）=2<4有无穷多解

同解方程组为*

1

二.特解为X。导出组的基础解系为7

0

全部解为X=X。+5+k2rj2其中4,他£R

XI+X2+X3+A4=2

16.问〃取何值时线性方程组-3%+2々+看+5%”5有解？有解时，求出全部解

4%+3X2+2&+6X4=a

（特解及导出组的基础解系表示）。

答：

T1112、10-i31

A=32155->->02-21

\43260000a-7

当々=7时〃(A)==2<4有无穷多解

x-x+3x=1

同解方程组为}34

々+2&-2X4=1

V,1、

1导出组的基础解系为〃产；2

特解为X。=，%=

00

O

全部解为X=X。+k"+k2%其中4,&eR

x,+2X2+x3=2

17.求解线性方程组'2玉+5占+3退=5

4%+7X2+5X3=11

答:

212、i002、

A=2535——>0I0-1

I。

、4755012,

Xi=2

vr（A）=r（A）=3=n有唯一解

x2=-1为所求

W=2

X[+々+工3=6

18.求解线性方程组J2玉-w+3&=9。

2玉+3X2-2X3=2

答:

116、U00n

A=2-1390102

123-22,、0013,

玉二1

*:?*(A)=r(A)=3=/7.•.有唯一解

X2=2为所求

犬3=3

设（%,七,七占

19.f）=x；+W-6%-6LX3-6X2X2）

（1）求一正交变换化了为标准形（2）判定了的正定性

答:

‘1-3-3、

(1)/的矩阵A=-31-3

「3-31,

2-133

\AE-A\=32-13=(A+5)(2-4)2

33A-l

.*.4=4=44=—5

-I’1、

对于4=%=4得七=1x2=1已正交单位化

6

得G=专

0

对于4=-5得X3=1单位化，得。3=

令正交矩阵。=（。］,。2，。3）

则正交变换X=CY化/=4犬+4£-5）。

(2),••〃=2<3/./不正定

20.设/(5,9,不)=3x；+3x；+3%；+2xtX2+2xix3+2占当

(1)求一正交变换化/为标准形

(2)判定/的正定性

答：

‘311、

(1)/的A=131

J13,

A-3-1-1

\AE-A\=-12-3-1=(2-5)(2-2)2

-1—14—3

「•4=4=24=5

r-r

对于4=2得X1=1已正交单位化

O

1!\

一'

疗

1

得G

正

C一

。2

7—

>/6

f—

（1

对于&=5得Xj=1单位化，得。3=f

耳

令正交矩阵C=（G，G，C3）

则正交变换X=CY化/=2），：+2y；+5y；

（2）vp=3为正定二次型

21.设/（%,32，七）=%；+e+后+4%x2+4%&+4工/3

（1）求一正交变换化了为标准形

⑵判定了的正定性

」22、

答：(1)/的矩阵人=212

Q2"

2-1-2-2

\AE-A\=-22-1-2=(/l+l)2(/l-5)

-2-22-1

\=A,=-14=5

'叫[1

对于4=4=7得X=1,x2=i已正交单位化

I"1-2；

1\

（1

#一

一正

1

得丧

一

726

一

0卡

7

1

耳

1

对于4=5得X,单位化，得。3=耳

1

耳

令正交矩阵C=（G，G，G）

则正交变换X=CY化f=-），；-£+5

（2）p=l<3/不正定

'3-1-r

22.设A=-13-1

「1-13)

1.求一正交矩阵Q,使得。ZQ为对角形。

2.写出A对应的二次型/,并判定/的正定性。

答：

2-3I

(1)|/IE-A|=12-31=(/l-l)(A-4)2

112-3

4=几=