高考数学专项第23练 空间几何中的平行、垂直（练习及答案）（新高考专用）

高考数学必考点专项第23练

空间几何中的平行、垂直

一、单选题

1.设/，6表示两条不同的直线，口,月表示两个不司的平面，Q表示一个点，给出下

列四个命题，其中正确的命题是（）

①Qea,luanQel

②lcm=Q」nu廿=1u。

③ua、Qem、Qwa=mua

④aJ,p,且=m,Qe0、Qsl,lLa=Iu0

A.®®B.®@C.②®D.③④

2.如图已知正方体A8CO—4⑸GA,M,N分别是A,。，RA的中点，则（）

A.直线与直线R8垂直,直线MV〃平面ABC。

B.直线4。与直线23平行,直线MN1.平面与

c.直线4。与直线23相交,直线MN//平面ABCO

D.直线4。与直线RB异面,电线MVJL平面3D。圈

3.如图A,B,C,。为空间四点，在一4BC中，AB=2,AC=BC=6,等边三

角形AZ）B以AB为轴旋转，当平面AD4_L平面ABC时，CD=（）

A.73B.2C.A/5D.1

4.如图，四边形ABC。中，ADf/BC,AD=AB,/BCD=45",ZBAD=9Q\

将..45。沿3。折起，使平面ABO_L平面AC。，构成三棱锥A-BCD,则在三棱锥

A—8C。中，下列命题正确的是（）

A.平面AHO_L平面ABCB.平面AOC_L平面3OC

C.平面ABCJ■平面BDCD.平面ADC±平面ABC

二、多选题

5.如图，在正方体A3cr>-44GR中，点尸为线段qc上一动点，贝女）

n

A.直线BqJ.平面AG。

B.异面直线qc与AG所成角为45°

c.三棱锥4。。的体枳为定值

D.平面4G。与底面4BCO的交线平行于AG

6.如图所示,矩形ABCD中，E为边的中点，将《ADE沿直线OE翻转成一A.DE,

若M为线段A。的中点，则在AA力石翻转过程中，下列命题正确的是（）

A.|3Ml是定值

B.点A7在球面上运动

C.一定存在某个位置，使

D.一定存在某个位置，使M8〃平面ROE

7.如图1,在正方形A8CO中，点E为线段8c上的动点（不含端点），将SHE沿

AE翻折，使得二面角3-隹一。为直二面角，得到图2所示的四棱锥B—AECD,

点尸为线段8。上的动点（不含端点），则在四棱锥区-AECQ中，下列说法正确的有

A.B、E、C、尸四点不共面B.存在点F,使得C77〃平面BAE

C.三棱锥B-ADC的体积为定值D.存在点石使得直线与直线CD垂直

三、填空题

8.《九章算术》中将底面是长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四

个面都为直角三角形的四面体称为鳖喘.在如图所示的阳马尸一A5CZ）中，PA_L底面

ABCD,且BC=DC=®PA,3_1尸。于私MN工PD,MN与PC交于点、N.

⑴AM与。。的关系（填“垂直”或“平行”）；

9.如图，在正方形48co中，石,尸分别是4C,CD的中点，G是石”的中点.现在沿

A瓦A厂及Eb把这个正方形折成一个空间图形，使氏C,。三点重合，重合后的点记

为”.下列说法错误的是（将符合题意的选项序号填到横线上）.

①AGLLEH/所在平面；②AHL,.)H所在平面：③“/L.AE尸所在平面；④

HGLAE尸所在平面.

10.如图，在RteABC中，AC=1,BC=x,。为斜边A8的中点.将ABCQ沿直

线C。翻折.若在翻折过程中存在某个位置.，使得C8J_AD,则x的取值范围是

11.如图所示，正方体ABC。—A4G。的棱长为1，8DcAC=O,M是线段。。

上的动点，过点M作平面ACA的垂线交平面A4GA于点M则点N到点人距离的

最小值为.

四、解答题

12.在三棱柱人—中，AB1AC,4c平面48C,£F分别是AC,B.C

的中点.

⑴求证：所〃平面/4片。1；

(2)求证：平面A『C_L平面48与.

13.在平行六面体ABC。—AMGA中，AA]=AB,AB,1B,CV

求证：（i）A3〃平面44。；

（2）平面A34A，平面ABC

14.如图所示，四棱锥P—A3C。的底面4BCQ为矩形，尸A是四棱锥P—A3C。的

高，瓦凡例分别为的中点.

⑴求证：平面AM/7〃平面PEC；

(2)若PA=2AB=BC=4,求多面体PECFMA的体积.

15.如图，四边形ABCD为菱形，443。=6()°.尸4_1_平面从8。。，E为PC中点.

(I)求证：平面平面ABCQ；

(H)求平面PBA与平面EBO所成二面角(锐角)的余弦值.

16.如图，已知三棱柱ABC-AMG，平面4ACC|_1,平面ABC,ZABC=90,

ZBAC=30c,A,A=AC=AC,E,尸分别是AC,4片的中点.

(I)证明：EF1BC；

(II)求直线E广与平面ABC所成角的余弦值.

17.如图，已知三棱柱ABC—A4G的底面是正三角形，侧面Bq。。是矩形，M、N

分别为的中点，P为AM上一点.过4G司P的平面交4B于E,交AC于F.

⑴证明：AA\〃MN,且平面AAMNJ_平面£耳。|歹；

(2)设。为一A4G的中心,若AO==6,AO//平面EB.C.F,且4MPN=土,

3

求四棱锥B—E4G/的体积.

18.如图，在直三棱柱'BC-ABC中，AB=AC=叵,BC=AA1=2,0,M分别

为BC,AA的中点.

⑴求证：OM〃平面C&A；

(2)求点M到平面A的距离.

19.如图，在正三棱柱ABC—A4G中，AB=2,AA=3,M为8c的中点，N在

线段4A上.

⑴设一=2,当兄为何值时，〃/7//平面4。4？

NA

(2)若AN=1,求直线MN与直线AQ所成角的正弦值.

20.如图，在四棱锥尸一A3CO,底面ABC。为平行四边形，LPCD为等边三角形,

平面R4C_L平面PCDPA±CDfCD=2,AD=3,

⑴设G,"分别为PB,AC的中点，求证：G”〃平面PAD；

(2)求证：幺_1_平面尸CZ)；

(3)求直线AO与平面PAC所成角的正弦值.

答案和解析

1.【答案】D

解：①Qe。，/ua,点Q可以不在直线/上，故4错误；

②直线/可以只有一点在面内，故8错误；

③因为/〃〃？，Iua,若〃?不在平面。内，mIIa,由。£小，

可得Q在平面a外，这与可点Qea相矛盾，故。正确；

④aJ■尸且ac/?=〃z,Qw。,Qel,l上a=Iu0,

由面面垂直的性质定理知£)正确.

故选D.

2.【答案】A

解：连AR,在正方体A6c。一446//中，

M是的中点，所以财为中点，

又N是R8的中点，所以MN〃AB,

MN仁平面ABCD,ABu平面ABCD,

所以MV〃平面48CD

因为不垂直87),所以MN不垂直BD,

则MN小垂直平面,所以选项8,。小止确；

在正方体43co-A4GA中，AD.IA^D,A8_L皿面4AA。，所以AB_LAQ,

ADinAB=A,所以平面ABO-。园＜=平面A8Q_所以AO_L"B,

且直线4。,是异面直线，所以选项c错误，选项，正确.

故选A

3.【答案】B

解：由题意，取的中点£连接OE,CE,

因为三角形AQ3为等边三角形，

所以。E_LA3,

当平面AOB_L平面A8C时，且平面4O6c平面A8C=A8,

乂。Eu平面AOB,

所以Z)E_L平面/WC,

又CEu平面/WC,

所以OEJ.EC,

又AB=2,AC=BC=6,

所以3+对=/®,

所以ACJ.BC,

又BE二AE,

所以CE=」AB=1,

2

又DE=BBD=BX2=G，

22

所以此时8=j2£：2+C£2=7iTT=2.

故选B.

4.【答案】D

解：在四边形A8CO中，AD//BC,AD=AB,NBCD=45,N3AO=90,

：.BD1CD,

又平面A3。_L平面BCD且平面43。门平面3。。=8。，CDu平面BCQ,

故CO_L平面八8。，

则CD_LAB,

又ADcCD=D,AD,COu平面AOC,

.•.A3_L平面4QC

又ABu平面ABC,

平面ABC_L平面AOC.

故选D

5.【答案】ACD

解：在4中，v±B,D,,AG_L8与，=BR,BB】u平面BBQ「

AG，平面84仅，

BD[u平面BBR,4G_LBD、,同理，DC}J.BR,

・.・AGcDC,=G,AG,DC]u平面AG。，

直线_L平面AC。，故A正确；

对于B,易知AD〃旦C,

在AA£>G中，A,D=DCt=A,C,f可得44OG为正三角形，

异面直线8G与AC所成角为60。，故8错误；

对于c,・・人。〃与。，4。<=平面AG。，耳。仁平面46。，「.与。〃平面人£。，

.点产在线段用。上运动，.•.尸到平面AG。的距离为定值，

又AAG。的面积是定值，・二三棱锥。一4G。的体积为定值，故c正确；

对于D,设平面4G。与底面ABCD的交线为nt,4cl是平面\C.D和平面的交

线，平面A8co〃平面agGR，所以AG〃机，故D选项正确.

故选ACD.

6.【答案】ABD

解：A对，取CO中点N,连接MN、NB,则MN//AQ、NBUDE,ZAQE=/MNB,

MN=：AO=定值，NB=DE=定值,根据余弦定理得，

MB2=MN2+NB2-2MN,NBCOS4MNB,B8M|是定值，

B对，B是定点，「.M是在以A为球心，MB为半径的球面上,

C错，当矩形ABC。满足ACJ_DE时存在，其他情况大存在,

。对，取CO中点N,连接MN、NB,则WN〃4。、NB//DE,

因为MN仁平面AOE,A/)u平面4。£,所以MN〃平面AQE,同理3N〃平面

\DE,又MNcNB=N,；.平面MNB//平面A]DE,•.•痴＜=平面知74,1.加8//平

面A}DE.

故选ABD.

7.【答案】AB

解：对于A：假设直线BE与直线C/在同一平面上，所以：点E在平面8c/上，又点E在

线段8C上，8CC平面BC『=C,

所以点E与点。重合，与点E异于C矛盾，

所以直线BE与CF必不在同一平面上，即8、E、C、尸四点不共面，故A正确；

对于/工当点厂为线段8。的中点时，EC=-AD,再取人8的中点G,

2

则尸G〃AO且FG=』4D,

2

则EC〃尸G,且EC=FG,

所以：四边形ECFG为平行四边形，

所以FC〃EG,又因为EGu平面ABE,FCa平面48后，

则：直线CT〃平面B4E,故8正确；

对于C：由题匕rx，底面二的面积不变，但E的移动会导致点8到平面AC。的距

离在变化，所以/_八℃的体枳不是定值，故。错误；

对于力：过点8作BO_LAE于0,

由于平面B4E_L平面AECZ),平面HAEc平面AECQ=AE,

所以8。_1_平面AECQ,

过点D作O〃_LAE于凡因为平面8AE_L平面4ECD,

平面BAEc平面AECD=AE,

所以。H_L平面BAE,

又因为BEu平面ABE,

所以OH_LBE,

若存在点上使得直线BE与直线CO垂直，Q"u平面AECQ,

QCu平面AECD,

DHcDC=D,

所以3E_L平面4ECQ,

所以E和O重合，与&ABE是以点B为直角的三角形才盾，

所以不存在点E,使得直线BE与直线C。垂直，故。错误.

故选：AB.

8.【答案】垂直

2

3

解：⑴由题意易得CO_L平面

所以CDJLAW,

又于M,CDcPD=D,

进而得AM_L平面PC。，得AW_LCD

⑵设BC=DC=&PA=a,

2

则。力="2+2〃=扃,

PMPA叵

Rt_PA。中,

~PA~~PD~^3

则PM二述。

3

易得CO_L平面PAQ,因为MN_LPQ,

所以MN"CD,

2G

ZI1PNPMK"2

得=----=-7=—=―

PCPD扃3

2

故答案为⑴垂直；（2）—.

9.【答案】①@④

解：折之前AG_L斯，CGLEF,折之后也垂直，

所以■平面A〃G,折之前N8,ZD,NC均为直角，折之后三点重合,

所以折之后人"EH,"/三条直线两两垂直，

所以切所在平面，②对；

同时可知AH1HG,

又_L.AE〃所在平面，过AE不可能做两个平面与直线”尸垂直，③错；

如果HGJLeAQ所在平面，则有HG_LAG,与②中4〃_LHG矛盾，

④错；

若4GL"H所在平面，则有AG_L”G,与②中AH_LHG矛盾，

所以①也错.

故答案为①③④.

10.【答案】（0,JJ]

解：由题意得，AD=CD=BD=^^~,BC=x,

2

取8C中点£翻折前，在图1中,

连接OE,CD,则。E=,，AC=\,

2

翻折后，在图2中，此时CB1AD.

vBC1DE,BC1AD,

DEcAD=D,

图1图3

.•.3。_1_平面从。£：,AEcTffiADE,

/.BC1AE,DE1,BC,

又BC_LAE,E为BC中点，；.AB=AC=1,

...AE=Jl-+2,AD=^[+Lf

在『.AZ）七中：①"丁+；〉J-；"，②"J<；+/_32，®x>0,

由①@③，得（）<x<G.

如图3,翻折后，当与二ACD在一个平面上,

人。与片。交于M,且AO_L31C,AD=BtD=CD=BD,ZCBD=ZBCD=NB、CD,

又NCRD+NRCD+NRCD=90'，

/.ZCBD=ZBCD=ZB,CD=30°,

.*.ZA=60\BC=ACtan此时％=以6=6,

综上，X的取值范围为（o,G].

故答案为：（0,6].

11.【答案】—

2

解：由题易知，DO1AC,D.O1AC,DOcD0=O,DO,DQu平面BDRB「

4CJ•平面BOA。],又二ACu平面4c2,.,.平面ACR_L平面，

又MN_1_平面ACD,,平面ACD,c平面BDD^=D]0,

；.MNu平面BDRBi,且N在平面44。1°内，Nw片。|,

过N作NGJ_AA，交AS于G,将平面A6GA展开，如图：

设NG=x,（喷Ik1），

・.・NG_LAM，AQ_LAl，:.NGHAQ、,

又4Al.平面A88M，「.NG，平面A84A，

且AGu平面A84A，;.NGJ_AG,

/.AN=Jf+dA+f=卜£-2X+2

=J2（W.亭

当工=，时，AN取最小值

22

故答案为：

2

12.【答案】证明：⑴E,广分别是AC,修。的中点.

所以EF〃AB1,因为夕《平面AB|U平面4BC1

所以EF〃平面A81G；

(2)因为J■平面ABC,A3u平面ABC,

所以4。_LA8,

又因为ABJLAC,ACnB,C=C,ACu平面AgC,^Cu平面48(,

所以AB_L平面ABQ,

因为ABu平面AB0,

所以平面AB}C1平面ABB」

13.【答案】证明：(1)平行六面体48co—A4G。中，ABHAE，

又A6u平面人罔GA片《平曲4月C；

得A3〃平面40C；

(2)在平行六面体ABCD-AgGD中，AAy=AB,

得四边形A844是菱形，AB.LA.B.

在平行六面体中，M=AB,AB]±B,C,=>AB,±BC.

又ABcBC=C,ABu平面ABC,8Cu平面ABC

得A旦_1面4夙7,

且Aqu平面

平面ABBlAl1平面A^BC.

14.【答案】(1)证明：•.•矩形A8CQ,且£,尸是A3、。。中点,

二.AEV/W且AE=CF,

二.四边形4EC/是平行四边形，

.•.(7£：〃4尸，又。£：仁面八“尸，人尸匚面人知尸，

/.CEII平面AMF；

又M是PD中点,则披〃PC,同理可得PC〃平面4MF,

又CEu平面PEC,PCu平面PEC,CEcPC=C,

平面AMb〃平面PEC；

(2)解：棱锥“一4月。的高等于PA的一半，

则多面体PECFMA的体枳

V=K4FCD-VwA/n=-x-(l+2)x4x4—!-x-!-x1x4x2=—.

j2323

15.【答案】⑴证明：连接AC交8。于点0,连接OE,

则。是AC的中点.

又知七是PC中点，

/.EOHPA,

Q4_L平面A8CQ,「.OEl.平面ABC力.

又知OEu平面BED,

平面平面ABCD

（II）解：过8作BM_L平面A8CD,连接PM,ME,如图,

由（I）可知，PA//EO//MB,

则MB是平面PBA与平面EBD的交线，

由平面ABCD,AB,80U平面ABC。，

可得MB1.AB,MB1BO,

则NABO即平面PBA与平面石8。所成二面角的平面角.

四边形A3c。为菱形，/43。=60.可知4430=30",

•—

cosZi4^（?=cos30=—.

2

所以，平面P8A与平面上8。所成二面角（锐角）的余弦值为@

16.【答案】证明：（I）连结4E,

-A]A=A]C,£是AC的中点，

±AC,

又平面4ACGJ-平面ABC,AEu平面4ACG，

平面＞4,ACC,c平面ABC=AC,

.•.4E_L平面ABC,又8。u平面ABC,

A^E_LBC,

-\FHAB,ZA3C=90,

BC-LA^F,

•.•AEcA产二4，AE、平面AEf,

.•.次？_1_平面4七口，

又.E/u平面AE/7,

:.EFVBCx

由于4E_L平面ABC,故AEJ.EG,

••.平行四边形EGFR是矩形,

由（I）得8C_L平面EGB4],

则平面48C_L平面EGF4,

/.EF在平面A}BC上的射影在宜线Afi上,

连结4G,交EF于0,则NEOG是直线£〃与平面4乃。所成角（或其补角），

不妨设AC=4,则在RhAEG中，AE=2j5,EG=6，

・・・。是AG的中点，故EO=OG=3£='叵，

22

EOROGN-EG?3

cosZEOG=

2xEOxOG5

3

直线£尸与平面ABC所成角的余弦值为工

5

17.【答案】⑴证明：由题意知A4〃B4〃CG，

又因为侧面BHCC是矩形且M,N分别是8c与G的中点，

所以MN//BB1,BB,1BC,

所以44J/MN,MN工Bg,

又底面为正三角形，

所以AN，,

又因为MNcAN=N,MN,A】Nu平面A]AMN,

所以用CJ_平面44MN,

又用Gu平面EB[C]F,

所以平面Gb_L平面AAMN.

(2)解：因为AO//平面，AOu平面AMW4，平面ANMAc平面E8C7=NP,

所以AO//NP,

又因为NO//AP,

所以AO=NP=6,ON=AP=6

过M作A/HJ_N尸，垂足为从

因为平面_L平面RAMN,平面£8C/c平面AAMN=NP,MHu平面

A4MN,

所以MH平面石4G产，

因为/MPN=%,

3

所以MH=PMsin工=3,

3

EF_AP

在中,

可得吁畸=2,

S四功形卜玛G尸=1(B.C|+£F)./VP=24,

又3C//平面EBCF，

所以VB_EB1G尸=Vw-EB1G/

="s*G「M"=24.

18.【答案】（1）证明：如图，连接BG，交cq于点M连接AN,ON.

则N为C片的中点,

乂。为BC的中点,

：.ON"BB、,且。N=；明,

X-M为AA的中点,

:.MAJ/BB、,且惚二3四,

ON"MAiRON=MA「

四边形OM\M为平行四边形,

OM//N%,

又.N4,U平面CBd，平面C.A，

.♦.OM〃平面CBd.

If

(2)解：如图，连接AO,0%AB、.

vAB=AC,。为8c的中点，

AOA.BC,

又二直三楂柱ABC-A14G中，平面C84clJ.平面ABC,

平面CBqGc平面A8C=8C,AOu平面ABC.

/.AO_L平面CB耳G.

由⑴可知OM〃平面C&A，

.•.点M到平面CB.A,的距离等于点O到平面CB,A,的距离，设其为d,

在直三棱柱ABC-ABC中，

由A8=AC=V5,8C=AA=2可得，

AO=1,%B\=五,AC=«,B、C=2厄,

•%。片4是直角三角形，且SCMA=