2024-2025学年北京市高二年级上册册期中数学检测试卷（含解析）

2024-2025学年北京市高二上学期期中数学检测试卷

一、单选题（本大题共10小题）

I.如图，E,F分别是长方体的棱AB,CD的中点，则方+汴等于

)

C.DED.AE

2.直线x+＞力=0的倾斜角为（)

A.30"B.45°C.60"D.135°

3.已知圆锥的母线长为5,底面圆的半径为3,则该圆锥的体积为（)

A.12兀B.15?tC.36兀D.45冗

4.在空间直角坐标系中，点力（1,-2,3）关于y轴的对称点为4,则»却=（)

A.2>/10B.2万C.2V14D.4

5.己知/,，〃是两条不同的直线，a,是两个不同的平面，则下列命题正确的是

)

A.若_La,aJ•/，则〃?//夕B.若acp=/,Z//m,则〃?〃万

C.若〃?ua,aJ•夕，则，〃夕D.若〃?_La,a//p,则加"

6.已知向量2=(1,0,1),5=(-2,2,1),c=(3,4,z),若b，工共面，则z等于

)

A.-9B.—5C.5D.9

7.在正方体/BCQ—44C。中,直线4G与直线8c所成角的大小为（）

A.30°B.45°C.60°D.120°

8.已知平面a,B，直线/川，如果a_L/，且。口力=/,Mea,Mwb,则是

b~L夕的（)

A.充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

9.如图，在正方体438-中，点P为棱。，的中点，点Q为面4）。/内

点，B.Q1AP,则（)

B.2s物以g=‘△小短

C.2s=3S^AAQD.3s△/Qc=2s&AAQ

10.如图，水平地面上有一正六边形地块/出CQ£F,设计师规划在正六边形的顶点处

盘立六根与地面垂直的柱子，用以固定一块平板式太阳能电池板44GAEM.若其中

三根柱子44，CG的高度依次为12m,9m10m,则另外三根柱子的高度之和为

)

A.47mB.48mC.49mD.50m

二、填空题（本大题共5小题）

11.已知7=（1,0,-1）,3=（2,1,1）,则3£+否=.

12.已知平面。的法向量为（2,-4,-2）,平面尸的法向量为（T2#）,若a/啰，则

k=.

13.如图，在三棱锥。-力8c中，D是8C的中点，若刀=£,,赤=心灰=1则

石等于.

o

14.已知尸(2,3)是直线1上一点，且方=(1,-2)是直线I的一个法向量，则直线1的方

程为.

15.已知正方体力8c。-480〃的棱长为2,E为CD的中点，点?在正方体的表面上

运动，且满足平面44尸，平面给出下列四个结论：

①“4P的面枳的最大值为、历；

②满足使“4尸的面积为2的点尸有且只有4个：

③点户可以是CG的中点；

④线段片尸的最大值为3.

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题(本大题共6小题)

16.己知V/18C的顶点坐标分别是力(-1,5),5(-2-1),C(4,3),〃为8C边的中点.

(1)求直线/E的斜率；

(2)求中线的方程.

17.如图，在棱长为2的正方体/8CO-44CQ中，点E,F分别是棱84，。。的中

点.求证：

G

(i)〃r>〃平面GEF；

(2)E/_L平面ACC,A,.

18.如图，在四棱锥P-"C。中，PO_L平面4ACO,PD=4,底面彳4c。是边长为2

的正方形，E,F分别为PB,PC的中点.

⑴求证：平面ADE_L平面PCD；

⑵求直线BF与平面ADE所成角的正弦值.

19.如图，在四棱锥尸-中，平面"6,底面"C。是直角梯形，

AD1DC,AB〃DC,4B=AD=2,QC=PO=4,点N是尸。的中点，直线PC交平

⑴求证：点”是尸。的中点；

⑵求二面角A-M/V-P的大小

⑶求点P到平面力&WN的距离.

20.在三棱锥P-4?C中，平面P/1C_L平面力BC,为等腰直角三角形,

PAA.PC,ACLBC,BC=2AC=4,M为力"的中点.

A

（1）求证：AC1PM；

（2）求二面角C-4-8的余弦值；

PN

⑶在线段依上是否存在点N使得平面CMN_L平面PN8?若存在，求出司的值，若

不存在，说明理由.

21.〃个有次序的实数44，…商所组成的有序数组（4,G，…，4）称为一个万维向量，其

中积仁1,2…，斤）称为该向量的第i个分量.特别地,对一个斤维向量值二（4怎，…，4），

若同=l,i=12・-3称。为万维信号向量.设M=…q）石=（6近,…五），则，和B

的内积定义为济在=2万£,且万.6=o.

r=1

⑴直接写出4个两两垂直的4维信号向量.

⑵证明：不存在14个两两垂直的14维信号向量.

（3）已知4个两两垂直的2024维信号向量吊,吊，…，无满足它们的前，〃个分量都是相同

的，求证：\[km<45.

答案

1.【正确答案】D

【详解】解：AB+CF=7B+BE=AE^所以DIE确，A,B,C错误.

故选：D

2.【正确答案】D

【详解】直线x+y+百=0可化为.y=-x-右

斜率为・1，所以倾斜角为135°.

故选:D.

3.【正确答案】A

【详解】设圆锥的高为力，母线长为/,底面半径为〃

画出立体图像，如图：

根据立体图形可得：力=庐于=石1手=4

根据圆锥的体积计算公式：P=3"%=!兀了4=12兀

故选:A.

4.【正确答案】A

【详解】因为点1(1,-2,3)关于-轴的对称点5(-1,-2,-3),

所以\AB\=^(1+1)2+02+(3+3)2=2V10，

故选：A.

5.【正确答案】D

【详解】对于A:若〃则可能机u夕，A错误；

对于B:若ac£=/,〃/〃j则可能mu6,B错误；

对于C:若机ua,a_L⑸则机可能不垂直£,C错误；

对于D:若机_La,a/R,则加J_〃,D正确.

故选：D.

6.【正确答案】D

【详解】由于£区2共面，所以存在使得£二刀+〃入即

(1,0,1)=(-22,22,为+(3〃,4〃,z〃)=(-22+3〃,24+4〃,I+z〃)，

1=-24+3〃

所以0=22+4〃，解得：//=11,z=9,2=-2y,所以2=9.

1=2+z//

故选：D.

7.【正确答案】C

【分析】作出辅助线，得到4C4或其补角为直线4G与直线8c所成角，根据

V48c为等边三角形，故4。用=60。，得到答案.

【详解】连接/1C，因为“4=CG，AAJ/CQ,

所以四边形44G。为平行四边形，

则4C.//JC,故4cq或其补角为直线4G与直线8c所成角,

连接则/珥=/c=&c,

即V/18C为等边三角形，故4c4=60。，

直线4G与直线8。所成角大小为60。.

故选C.

8.【正确答案】B

【详解】如图，若al。,且。口夕=/,bC\a=M,方la,可得/_L6,但方华,

若aJ•夕，且。口£=/,6Pla=M,2,由线面垂直的性质定理可得/_Lb,

所以/_L。是〃，夕的必要不充分条件.

故选：B.

9.【正确答案】A

【详解】如图，以点。为原点建立空间直角坐标系，

不妨设正方体的棱长为2,

则J（2,0,0）,5,（2,2,2）,P（0,0,l）,设。（x,O,z）,

故方=（-2,0』）,而=（》-2,-2*-2）,

因为

所以万丽二-2（x—2）+（z—2）=0,即z=2x-2,

所以。（x,0,2x-2）,

则点Q到直线44的距离为|2-x|,

点。到直线4。的距离为|2-（2.”2）|=2|2-4

所以xw2,

故'.。=白2><2|27|二2|2-犯S^=1X2X|2-|=|2-X|,

。

所以S/RQ2△中Q.

1（）.【正确答案】A

【详解】依题意可知4,即G，A，瑞/六点共面,

设正六边形48C。防的中心为O,连接4。,BE,

0。\，平面ABCDEF且Qw平面4B,CQ\EF,

依题意可知相交于q,

连接力C交。B于G,连接4G交。百于G1,

根据正六边形的性质可知四边形/出CO是菱形，所以力。,。8相互平分,

则4G，。4相互平分，根据梯形中位线有GG尸四=阻；°a

12+10=9+；a=13,

~2~

在梯形“"44中，O是6E的中点，则Q是4片的中点,

所以EE=2Oq-8&=26-9=17,

同理可得。2=26-12=14,房=26-10=16,

所以。A+E耳+*=17+14+16=47m.

故选：A

【详解】因为>=(1,0,-1),^=(2,1,1),

所以32+B=3(1,0,-1)+(2,1,1)=(5,L-2).

故答案为.(5,1,-2)

12.【正确答案】1

【详解】因为a/甲,

所以两平面的法向量共线，

所以存在唯一实数力,使得(-1,2,左)=必2,-4,-2),

-1=2A1

所以，2=-44,解得〃二一2,

k=-2Z,=1

所以〃=1.

故答案为.1

13.【正确答案】

22

【详解】由图可得益=而+历+55=_次+砺(反一砺)=_£+；石

故答案为，；+与+9

22

14.【正确答案】x-2y+4=0

【详解】因为3=(1,-2)是直线/的法向量，

所以直线/的斜率在=

乙

又点P(2,3)是直线/上点，所以直线/的方程为y-3=；(x-2),

整理得x-2y+4=().

故答案为.工一2歹+4=0

15.【正确答案】①④

【详解】取8c,的中点为〃,G,连接4H,G&GH,

因为E为。的中点，所以BH=CE,ZABH=ZECB,AB=BC,

所以18〃总所以NEBC=NH4B,又NAHB+NHAB=90。,

所以ZJ〃8+NE8C=90。，所以力”1即，

又4平面48C。，又EBu平面4BCD,所以44_L4E,

又=4平面力4G”,所以8EJ_平面力4G”,

BEu平面BBF,所以平面力4G"_L平面防£,又平面力4「1平面附£,

所以P的轨迹为线段4",“G,4G,

对于①，由图可知，当?在G”上时，此时三角形“4尸面枳最大，

因为AH=\/AB2+BH2=h-5所以面积的最大值为

-AA}xAH=-x2x45=75,故①正确；

22

对于②，由图可知，当40=1或4P=1时，的面积为2,

所以满足使14尸的面积为2的点。有且只有2个，故②错误；

对于③，由图易知，点尸不可能在线段CC上，所以点尸不可能是CG的中点，故③错

误；

对于④，由图易知，当p与G重合时，此时力尸长度最大，最大值为

AP=\IAH2+HG2=V(V5)2+22=3»故④正确.

故①④.

16.【正确答案】（1）6；

⑵2x+y-3=0.

【详解】（1）直线44的斜率左”=下不=6・

—1+2

5-1

（2）依题意，8C边的中点贝ij直线4W的斜率3“=—=一2,

所以直线4W的方程是尸1=-2（x7）,即2x+y-3=0.

17.【正确答案】（1）证明见解析

（2）证明见解析

【详解】（1）因为七，卜分别为6月，OR的中点，BB、=DR,BB、〃DD1,

则8E〃O/且8£=。尸，可知四边形“加左为平行四边形，贝1」8。〃£7、

且平面《£尸，平面C£尸，

所以4。〃平面G".

（2）因为四边形力灰?。为正方形，则AQ_L/1C,

且EF〃BD,则4cl£7"

又因为，平面48CO,BDu平面4BCD,则44114，

且七/〃BD,则AA]±EF,

且力Cn44=4,4c,44,u平面ACC/,所以E/_L平面4CC/.

18.【正确答案】（1）证明见解析

⑵等

【详解】（1）ABCD,且力。u平面/BO:.PD1AD,

在正方形48C。中，易知力OJ.CO,

-CDV\PD=D,且PQ,CDu平面以甲，.・.力。J_平面COP,

•.•力。＜=平面力。£,「.平面力£。_1平面。。夕.

（2）以点。为原点，分别以。4QCQP所在直线为轴，建立空间直角坐标系,

如下图：

z.

则。（0,0,0）,J（2,0,0）,5（2,2,0）,C（0,2,0）,尸（0,0,4）,

由反尸分别为5P,CP的中点,则七(1,1,2),尸(0,1,2),

取直线跖的方向向量为泳=(-2,-1,2),

___UUU

在平面4JE内,取向量D4=(2,0,0),D£=(l,l,2),

设平面ADE的法向量n=(x,y,z),

n-75A=O2x=0

则令z=-l,则x=0j=2,

zzDE=0x+y+2z=0

故平面4OE的一个法向量3=(0,2,7),

设直线所与平面的夹角为0,

|0-2-2|44石

V4+1+4X-70+4+1

19.【正确答案】(1)证明见解析

喏

⑶后

【详解】(1)因为48〃DC,平面PCD,COu平面PCD,

所以48〃平面PCD.

因为直线PC交平面ABN于点、M.

所以平面平面PCD=MN,48u平面ABMN,

所以AB//MN,所以CD"MN.

因为点N是PO的中点，所以点M是PC的中点.

(2)因为POJL平面48CO,DtOCu平面力88,

所以POJ,D4,PD1DC.

因为/O_LOC,

所以。尸，DA,0c两两相互垂直.

如图，以点。为坐标原点，建立空间直角坐标系。一个2.

则0(0,0,0),力(2,0,0),8(2,2,0),C(0,4,0),0(0,0,4),

所以N(0,0,2),"(0,2,2).

所以方二(0,2,0),前=(—2,0,2).

设平面ABMN的法向量为〃=(x,乂z)，

万.通=02y=0

则《即1

n-AN=0,-2x+2z=0

令x=l,于是z=l,V=0,所以〃=(1,0,1).

又因为平面尸c。的法向量为而=gE=(l,0,0).

所以cos(而用=篙与=4.

M问2

由题知，二面角力-MN-P是钝角，

所以二面角力-MN-P的大小为学.

4

(3)设点P到平面的距离为d,

|P?V-/i|_|-2|

因为两=(0,0,-2),则，/=

20.【正确答案】(1)证明见解析

PN_1

(3)存在,

~PB~9

【详解】(1)若。为/C中点，连接M。、PD,又M为AB的中点.

/.MD//BC,由/C_L8C,贝lJ"O_L4C,

又△P4C为等腰直角三角形，PArPC,易知：PDIAC,

由A/Z)c/V)=Z),则,4。_面口”。，

PMu面PMD,

・•・AC1PM.

（2）由（1）可构建以。为原点，。彳。应,万万为X、V、Z轴正方向的空间直角坐标

B

・♦・4(1,0,0),8(-1,4,0),。(-1,0,0),尸(0,0,1),则而=(1,0,1),JP=(-1,0,1),而=(1,-4,1),

APti=-x+z=0,

若〃二（x,y,z）为面尸力3的一个法向量，则_，令z=l,即

BPn=x-4y+z=0

一1

77=(1,-,1),

APn=-x+z=0

若勺=（演，为石）为面P4C的一个法向量,则_,令y=i,即

CP-/?=.V+z=0

〃产（0,0），

由图可知二面角C-P/1-8为锐角，则二面角。-4-B的余弦值为;.

PN

（3）若存在N使得平面CMW_L平面48,且诟二八0W2W1,

由(2)知：N(T-"(0,2,0),则丽=(IT,44,1"),CA7=(1,2,0),

乔,-M+4劝