山东济南历城区2025-2026学年九年级数学第一学期期中考试试题（含答案）

—2026学年度第一学期期中质量检测九年级数学试题（满分150分时间120分钟）一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.如图所示机器零件的左视图为（）2.如图，在△ABC中，DE∥BC，若AD=2，BD=1，则AEAC等于（A.14B.13C.123.若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为−1，则另一个根为（）A.−2B.2C.4D.−44.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCO的顶点A在x轴上，顶点C的坐标是(−3,4)，则顶点B的坐标是（）A.(2,3)B.(4,2)C.(2,4)D.(3,4)5.某学校开设了四门兴趣课程，分别为“音乐”“网球”“陶艺”“口才”。学校规定每位学生只能选择一门自己喜欢的课程学习。琪琪与涵涵对这四门课程都感兴趣，在没有沟通的情况下，两人随机选择同一门课程的概率是（）A.38B.14C.136.如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，AE交BD于点F，若S△ADF=9，S△BEF=4，且AD=9，则CE的长为（）A.3B.4C.5D.67.一次函数y=kx+k2+1与反比例函数y=kx在同一平面直角坐标系中的图象可能是（8.如图是一张长8cm、宽5cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，可制成底面积是18cm2的一个无盖长方体纸盒，设剪去的正方形边长为xcm，那么x满足的方程是（）A.40−4x2=18B.40−2(8x+5x)=18C.(8−2x)(5−2x)=18D.(8−2x)(5−2x)=99.如图，在△ABC中，BC=6，AC=8，∠C=90∘，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以A，D为圆心，大于12AD的长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线MN，分别交AC，AB于点E，F，则AE的长度为（A.3B.52C.22D.10.如图，点A的坐标为(0,4)，点B的坐标为(−2,0)，点C在反比例函数y=kx(x<0)的图象上，AC⊥AB，过点C作CD∥AB，交反比例函数于点D，若AB=2CD，则k的值为（A.−6B.−376C.﹣203二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分。）11.如果a=3b(b≠0)，那么a+bb12.一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为3513.关于x的方程x2−6x+2m−1=0有两个相等的实数根，则m的值为________。14.如图，点A，D分别在函数y=−1x，y=215.如图，在矩形ABCD中，点E是AD边上一点，连接BE，将△ABE沿BE翻折得到△A′BE，连接BD交A′E于点F，连接DA′，若AE=9，DE=6，EFA′F=4三．解答题（本大题共10个小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）16.（8分）解方程：（1）x2−4x+1=0（2）x(x−2)=3x−617.（6分）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在BC，CD边上，∠AEB=∠AFD。求证：CE=CF。18.（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A(2,2)，B(4,0)，C(4,−4)。（1）以点O为位似中心，请在y轴左侧画出△ABC的位似图形△A1B1C1，使△ABC与△A1B1C1的相似比为2:1，并写出点C1的坐标________；（2）若点M(a,b)为△ABC内一点，经过（1）中的位似变换后，对应点的坐标是________；（3）请仅用无刻度的直尺在线段AB上确定一点P，使APBP=119.（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，CD⊥AB于点D。（1）求证：△ACD∽△CBD；（2）若CD=3，BD=2，求AB的长。20.（8分）国家卫生健康委员会宣布将2025年定为“体重管理年”，并实施为期三年的体重管理行动。某校响应号召，计划组织全校学生开展足球、排球、篮球、羽毛球四个球类运动的体育社团，倡导学生全员参加，为了解学生对这四项球类运动的喜爱情况，随机抽取部分学生，对其进行了“我最喜爱的球类运动项目”问卷调查（每名学生在这四项球类运动项目中选择且只能选择一项），将这部分学生的问卷进行整理，依据样本数据绘制了如下两幅不完整的统计图。根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：m=________；（2）请补全条形统计图；（3）扇形统计图中，“羽毛球”对应扇形的圆心角为________度；（4）若该校有2500名学生，请你估计该校最喜爱篮球运动的学生有多少人？21.（8分）如图，小华同学为了测量学校一座高楼OE的高度，在操场上的点A处放一面平面镜，从点A处沿OA方向移动1.2米到达点B处（即AB=1.2米），恰好在平面镜中看到高楼的顶部点E的像；小华从点B处沿OB方向移动3米到达点C处（即BC=3米），测得∠OCE=45∘。小华同学的眼睛距地面的高度FB为1.6米，已知点O，A，B，C在同一水平线上，EO⊥OC，FB⊥OC，则高楼OE的高度为多少米？（平面镜的大小忽略不计）22.（10分）商场销售某种台灯，成本为每盏36元，销售大数据分析表明：当每盏台灯的售价为50元时，平均每周售出40盏，当每盏台灯的售价每下降1元时，每周多售出4盏。（1）若每盏台灯降价x元，则每盏台灯可盈利________元，平均每周可售出________盏台灯（用含x的代数式表示）；（2）为迎接“双十一”，该网店决定降价促销。当每盏台灯的售价定为多少元时，销售该种台灯每周的利润恰好为432元？23.（10分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=3cm，BC=4cm。点P从点B出发，沿BC向点C匀速运动，速度为1cm/s；过点P作PD∥AB，交AC于点D。同时，点Q从点A出发，沿AB向点B匀速运动，速度为2cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动，连接PQ。设运动时间为t(s)(0<<t<2.5)，解答下列问题：（1）BP=，BQ=；（用含t的代数式表示）（2）当t为何值时，四边形ADPQ为平行四边形？（3）当t为何值时，△BPQ是以BP为腰的等腰三角形？24.（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1的解析式为y=x，直线l2与l1交于点A(a,a)，与y轴交于点B(0,b)，与x轴交于点C。已知(a−2)2+b−6=0。（1）求直线l2的解析式；（2）若平面直角坐标系内有一点P(m,8)，使得S△AOP=S△AOB，请直接写出点P的坐标；（3）线段OA上是否存在一个点M，使得∠ABO+∠MBO=45∘？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。25.（12分）【初步感知】（1）如图1，△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠BDE=90∘，BD<AB，若点C、D、E在同一直线上，则AD与CE的数量关系为________；∠ADC=________°；【尝试应用】（2）如图2，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90∘，点D为边AC上一点，以BD为边向下方作正方形BDEF，连接CE，请猜想CE与AD的数量关系及∠ACE的度数，并说明理由；【迁移拓展】（3）如图3，已知矩形ABCD，BC=2AB，点P为矩形ABCD外一点，连接PA，PB，PC，若PA=2，PC=3，求PB的最大值。答案一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.如图所示机器零件的左视图为（C）2.如图，在△ABC中，DE∥BC，若AD=2，BD=1，则AEAC等于（DA.14B.13C.123.若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为−1，则另一个根为（A）A.−2B.2C.4D.−44.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCO的顶点A在x轴上，顶点C的坐标是(−3,4)，则顶点B的坐标是（C）A.(2,3)B.(4,2)C.(2,4)D.(3,4)5.某学校开设了四门兴趣课程，分别为“音乐”“网球”“陶艺”“口才”。学校规定每位学生只能选择一门自己喜欢的课程学习。琪琪与涵涵对这四门课程都感兴趣，在没有沟通的情况下，两人随机选择同一门课程的概率是（B）A.38B.14C.136.如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，AE交BD于点F，若S△ADF=9，S△BEF=4，且AD=9，则CE的长为（A）A.3B.4C.5D.67.一次函数y=kx+k2+1与反比例函数y=kx在同一平面直角坐标系中的图象可能是（D8.如图是一张长8cm、宽5cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，可制成底面积是18cm2的一个无盖长方体纸盒，设剪去的正方形边长为xcm，那么x满足的方程是（C）A.40−4x2=18B.40−2(8x+5x)=18C.(8−2x)(5−2x)=18D.(8−2x)(5−2x)=99.如图，在△ABC中，BC=6，AC=8，∠C=90∘，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以A，D为圆心，大于12AD的长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线MN，分别交AC，AB于点E，F，则AE的长度为（BA.3B.52C.22D.10.如图，点A的坐标为(0,4)，点B的坐标为(−2,0)，点C在反比例函数y=kx(x<0)的图象上，AC⊥AB，过点C作CD∥AB，交反比例函数于点D，若AB=2CD，则k的值为（DA.−6B.−376C.﹣203二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分。）11.如果a=3b(b≠0)，那么a+bb=_____412.一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为35，则红球的个数为___213.关于x的方程x2−6x+2m−1=0有两个相等的实数根，则m的值为____5____。14.如图，点A，D分别在函数y=−1x，y=2x的图象上，点B，C在x轴上。若四边形ABCD为矩形，点D在第一象限，点E在线段AD上，则△BCE的面积为____15.如图，在矩形ABCD中，点E是AD边上一点，连接BE，将△ABE沿BE翻折得到△A′BE，连接BD交A′E于点F，连接DA′，若AE=9，DE=6，EFA′F=45，则AB的长为____3三．解答题（本大题共10个小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）16.（8分）解方程：（1）x2−4x+1=0（2）x(x−2)=3x−6(x﹣2)2=3（x﹣2）（x﹣3）=0x1=2+3，x2=2﹣3x1=2，x2=317.（6分）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在BC，CD边上，∠AEB=∠AFD。求证：CE=CF。证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD=BC=CD,∠B=∠D.在△ABE和△ADF中∠AEB=∴△ABE≌△ADF(AAS)∴BE=DF∴BC-BE=CD-DF,即CE=CF.18.（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A(2,2)，B(4,0)，C(4,−4)。（1）以点O为位似中心，请在y轴左侧画出△ABC的位似图形△A1B1C1，使△ABC与△A1B1C1的相似比为2:1，并写出点C1的坐标________；（2）若点M(a,b)为△ABC内一点，经过（1）中的位似变换后，对应点的坐标是________；（3）请仅用无刻度的直尺在线段AB上确定一点P，使APBP=1（1）C1（﹣2，2）（2）(﹣12a，﹣1（3）19.（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，CD⊥AB于点D。（1）求证：△ACD∽△CBD；（2）若CD=3，BD=2，求AB的长。（1）证明：∵∠ACB=90°,CD⊥AB∴∠ADC=∠CDB=90°,∴∠ACD+∠BCD=90°，∠BCD+∠B=90°∴∠ACD=∠B∴△ACD∽△CBD（2）∵△ACD∽△CBD∴AD=BD'∴AD3=∴AD=4.5∴AB=4.5+2=6.520.（8分）国家卫生健康委员会宣布将2025年定为“体重管理年”，并实施为期三年的体重管理行动。某校响应号召，计划组织全校学生开展足球、排球、篮球、羽毛球四个球类运动的体育社团，倡导学生全员参加，为了解学生对这四项球类运动的喜爱情况，随机抽取部分学生，对其进行了“我最喜爱的球类运动项目”问卷调查（每名学生在这四项球类运动项目中选择且只能选择一项），将这部分学生的问卷进行整理，依据样本数据绘制了如下两幅不完整的统计图。根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：m=________；（2）请补全条形统计图；（3）扇形统计图中，“羽毛球”对应扇形的圆心角为________度；（4）若该校有2500名学生，请你估计该校最喜爱篮球运动的学生有多少人？（1）24（2）略（3）28.8（4）2500×1650答：800人。21.（8分）如图，小华同学为了测量学校一座高楼OE的高度，在操场上的点A处放一面平面镜，从点A处沿OA方向移动1.2米到达点B处（即AB=1.2米），恰好在平面镜中看到高楼的顶部点E的像；小华从点B处沿OB方向移动3米到达点C处（即BC=3米），测得∠OCE=45∘。小华同学的眼睛距地面的高度FB为1.6米，已知点O，A，B，C在同一水平线上，EO⊥OC，FB⊥OC，则高楼OE的高度为多少米？（平面镜的大小忽略不计）设OE=a米,∵EO⊥OC,FB⊥OC,∴∠EOB=∠FBO=90∵∠OCE=45°∴△BOC是等腰直角三角形,∴EO=OC=a米,由题意得:∠EAO=∠FAB∴△EAO∽△FAB∴x1.解得:x=16.8∴EO=16.8米,∴高楼OE的高度为16.8米.22.（10分）商场销售某种台灯，成本为每盏36元，销售大数据分析表明：当每盏台灯的售价为50元时，平均每周售出40盏，当每盏台灯的售价每下降1元时，每周多售出4盏。（1）若每盏台灯降价x元，则每盏台灯可盈利________元，平均每周可售出________盏台灯（用含x的代数式表示）；（2）为迎接“双十一”，该网店决定降价促销。当每盏台灯的售价定为多少元时，销售该种台灯每周的利润恰好为432元？（1）（14﹣x）（40+4x）（2）解设每盏台灯售价为y元（y﹣36）（40+200﹣4y）=432解得y1=42，y2=54（舍去）答：首件为42元。23.（10分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=3cm，BC=4cm。点P从点B出发，沿BC向点C匀速运动，速度为1cm/s；过点P作PD∥A