《初中数学•同步练习》九上24.1.2垂直于弦的直径

PAGE1专题24.1.2垂直于弦的直径（八大题型提分练）类型一、垂径定理的认识1．（22-23江苏盐城·阶段练习）下列说法正确的是（）A．弧长相等的弧一定是等弧 B．所对圆心角相等的弧是等弧C．同弧或等弧所对的圆周角相等 D．平分弦的直径必垂直于弦2．（23-24九年级上·重庆九龙坡·阶段练习）下列说法正确的个数有（

）①相等的弦所对的圆心角相等；②平分弦的直径垂直于这条弦；③直径所对的弧是半圆；④圆是轴对称图形，其对称轴有无数条，对称轴是圆的直径．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（23-24九年级上·江苏南通·期中）如图，是的直径，是弦，，垂足为M，则下列结论中错误的是（

）A． B． C． D．类型二、用垂径定理计算线段的长4．（23-24九年级下·四川达州·阶段练习）如图，是的直径，弦于点E，，，则（

）A．6 B． C．9 D．125．（23-24九年级上·安徽淮北·期末）如图，的半径为3，圆心O到的距离为2，则弦的长为（

）A．2 B． C． D．6．（22-23九年级上·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆过点，直线与交于B、C两点，则弦的长的最小值为（

）A．22 B．24 C．10.5 D．12.5类型三、利用垂径定理解平行弦的问题7．（九年级上·全国·阶段练习）如图所示，矩形与相交于、、、，若，，，则的长为（）A．2 B．4 C．6 D．88．（九年级上·江苏镇江·阶段练习）若⊙的半径为10cm，且两平行弦，的长分别为12cm，16cm，则两弦间的距离是(

)A．2cm B．14cm C．2cm或14cm D．6cm或8cm9．（九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，AD∥BC,那么弧AB与弧CD的数量关系是（)

A．弧AB=弧CD B．弧AB＞弧CD C．弧AB＜弧CD D．无法确定类型四、用垂径定理解同心圆的问题10．（九年级上·广东广州·期末）如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（）A．8≤AB≤10 B．8＜AB≤10 C．4≤AB≤5 D．4＜AB≤511．（20-21九年级上·山东德州·阶段练习）如图，⊙O1的弦AB是⊙O2的切线，且AB∥O1O2，如果AB＝12cm，那么阴影部分的面积为（

）．A．36πcm2 B．12πcm2 C．8πcm2 D．6πcm212．九年级下·四川成都·期中）在某校校园文化建设活动中，小彬同学为班级设计了一个班徽，这个班徽图案由一对大小相同的较大半圆挖去一对大小相同的较小半圆而得．如图，若它们的直径在同一直线上，较大半圆的弦，且与较小半圆相切，AB=4，则班徽图案的面积为（

）A． B． C． D．类型五、垂径定理的推论13．（23-24九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，的直径，C是圆O上一点，点D平分，，则弦14．（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图，已知是的弦，点C在上，且，分别连接，并延长，交弦于点D，，，若点E在上，，则的长为．

15．（23-24九年级上·河南信阳·期中）如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为，点B的坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标是．类型六、垂径定理的应用16．（2023·浙江衢州·一模）某品牌太阳能热水器的实物图和截面示意图如图所示，支架与地面垂直，真空集热管与地面水平线夹角为，直线与都经过水箱截面的圆心O．已知，，则水箱内水面宽度为．17．（23-24九年级上·山东济宁·期末）圆管涵是公路路基排水中常用的涵洞结构类型，它不仅力学性能好，而且构造简单、施工方便．某水平放置的圆管涵圆柱形排水管道的截面是直径为的圆，如图所示，若水面宽，求水的最大深度．（精确到0.1）

18．（23-24九年级上·广东广州·期中）“两龙“高速公路是某省高速公路隧道和桥梁最多的路段．如图，是一个单心圆曲隧道的截面，若路面宽为8米，净高为8米，求此隧道单心圆的半径．类型七、垂径定理的有关计算与证明19．（2024九年级·全国）如图，在中，为直径，弦于点，连接．(1)若，求的直径；(2)若，求弦与的夹角．20．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）（1）如图1，是的直径、C、D是上的两点，若，弧弧．求：①的度数；②求的度数；（2）如图2，的弦垂直平分半径，若的半径为4，求弦的长．类型八、垂径定理与实际应用中的方案探究问题21．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）利用素材解决：《桥梁的设计》问题驱动某地欲修建一座拱桥，桥的底部两端间的水面宽，称跨度，桥面最高点到的距离称拱高，拱桥的轮廓可以设计成是圆弧型或抛物线型，若修建拱桥的跨度米，拱高米．设计方案方案一方案二设计类型圆弧型抛物线型任务一设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径．设计成抛物线型，以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立坐标系，求桥拱的函数表达式．任务二如图，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得米，米．请你通过计算说明货船能否分别顺利通过这两座桥梁．22．（23-24九年级上·江苏南通·期末）根据素材解决问题：设计货船通过拱桥的方案素材1左图中有一座圆拱石桥，右图是其圆形桥拱的示意图，测得水面宽，拱顶离水面的距离．素材2如图，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得，．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，货船的载重量每增加1吨，则船身下降．问题解决任务1确定桥拱半径（1）求圆形桥拱的半径；任务2拟定设计方案（2）根据图3状态，货船能否通过圆形拱桥？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？一、单选题1．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知的半径为5，弦，M是上一点，且的长为整数，则点M的位置有（

）A．6个 B．5个 C．4个 D．3个2．（2024·山东临沂·模拟预测）春秋时代的名著《墨子非儒下》载：“孔子穷于陈蔡，藜羹不糁”．“糁”在文字上讲是用肉作成的汤羹，是临沂地区的风味小吃．因其香辣可口、肥而不腻、祛风除寒、开食健胃实为众人所喜爱，早晨喝糁是临沂传统食俗．糁汤做好后会盛入大碗中；如图②是从正面看到的一个盛糁汤的大碗(图①)的形状示意图．是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接，．已知cm，碗深，则的半径为（

）A．12cm B．13cm C．14cm D．15cm3．（2023·陕西安康·一模）如图，小颖画出了一件出土的古代文物碎片示意图，为求其外圆半径，连接外圆上的，两点，并使与文物内圆相切于点，已知为文物外圆和内圆的圆心，连接并延长交外圆于点，测得，，则该文物的外圆半径是（

）A． B． C． D．4．（2024·云南·模拟预测）如图，是的直径，是弦且不是直径，，垂足为E，则下列结论不一定正确的是（

）

A． B．C． D．5．（24-25九年级上·全国·假期作业）苏州园林中的月亮门是中国古典园林住宅中常见的圆弧形洞门（如图1），因圆形如月而得名．月亮门因其寓意美好且形态优美，被广泛使用．图2是小明同学家中的月亮门示意图，经测量，水平跨径为2.4米，水平木条和铅锤木条长都为0.4米，点C恰好落在上，则此月亮门的半径为（）A．2.1米 B．2.0米 C．1.9米 D．1.8米6．（2024·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图，在半径为5的圆O中，，是互相垂直的两条弦，垂足为P，且，则的长为（）A．3 B．4 C． D．二、填空题7．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知在半径为4的中，弦，点P在圆上，则的度数为．8．（2024·内蒙古通辽·模拟预测）如图是一个隧道的横截图，它的形状是以点O为圆心的一部分，如果M是中弦的中点，经过圆心O交于点E，若，则⊙O的半径为m．9．（2024·山东枣庄·模拟预测）如图，一个底部呈球形的烧瓶，弦长为cm，瓶内液体的最大深度，则截面圆中液体的面积为．10．（2024·宁夏吴忠·模拟预测）一次综合实践主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，测量一次性纸杯杯口的直径．小明同学所在的学习小组设计了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你根据上述数据计算纸杯的直径是．三、解答题11．（2024·安徽马鞍山·一模）如图，在中，、为弦，为直径，于E，于F，与相交于G．(1)求证：；(2)若，，求的半径．12．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图所示：残缺的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线CD交圆形轮片于点C，垂足为D，解答下列问题：(1)用尺规作图找出圆形轮片的圆心O的位置，并将圆形轮片所在的圆补全；（要求：保留所有的作图痕迹，不写作法）(2)若弦，，求残缺圆形轮片所在圆半径r．13．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，点A、B是上两点，，点P是上的动点（与A、B不重合），连接、，过点O分别作于E，于F，求的长．14．（2024·河南信阳·一模）河南是全国重要的文物大省，地下文物全国第一，地上文物全国第二．“以铜为鉴，可以正衣冠”．铜镜，是我国古代人民勤劳和智慧的结晶．如图是一个铜镜的残片，文物修复专家准备用现代高科技手段将其复原，使得“破镜重圆”．文物修复专家量得铜镜残片上最大的弦的长为，铜镜上的点到弦的最大距离为．(1)请你用尺规作图的方法，帮助文物修复专家找出铜镜所在圆的圆心（简要说明作图思路，不写具体作法，保留作图痕迹）；(2)请你帮助文物修复专家求出铜镜所在圆的半径．15．（2024·浙江宁波·模拟预测）根据背景素材，探索解决问题．测算石拱桥拱圈的半径素材1某数学兴趣小组测算一座石拱桥拱圈的半径（如图1），石拱桥由侧面为矩形的花岗岩叠砌而成，上、下的花岗岩错缝连接（花岗岩的各个顶点落在上、下花岗岩相应边的中点，如图2）．

素材2通过观察发现A，B，C三个点都在拱圈上，A是拱圈的最高点（不在花岗岩的顶点处），B，C两个点都是花岗岩的顶点（如图3）．

素材3如果没有带测量工具，可以用身体上的“尺子”来测，比如前臂长（包括手掌、手指）（如图4），利用该方法测得一块花岗岩的长和高（如图5）．

解决问题任务1获取数据通过观察计算，得到B，C两点之间的水平距离为肘，铅垂距离（高度差）为肘．任务2分析计算通过观察、计算，得到石拱桥拱圈的半径为肘．任务3预测判断若水平面位于点C处，一艘宽6肘，水面之上的高为7肘的货船是否能顺利通过此石拱桥？请说明理由．注：在测量、计算时，都以“肘”为单位．专题24.1.2垂直于弦的直径（八大题型提分练）类型一、垂径定理的认识1．（22-23·江苏盐城·阶段练习）下列说法正确的是（）A．弧长相等的弧一定是等弧 B．所对圆心角相等的弧是等弧C．同弧或等弧所对的圆周角相等 D．平分弦的直径必垂直于弦【答案】C【分析】本题考查了圆的有关定义和性质，根据等弧的定义、圆周角定理、垂径定理的推论逐项判断即可求解，掌握圆的有关定义和性质是解题的关键．【详解】解：、弧长相等的弧不一定是等弧，原说法错误，不合题意；、所对圆心角相等的弧不一定是等弧，原说法错误，不合题意；、同弧或等弧所对的圆周角相等，该说法正确，符合题意；、平分弦（不是直径）的直径必垂直于弦，原说法错误，不合题意；故选：．2．（23-24九年级上·重庆九龙坡·阶段练习）下列说法正确的个数有（

）①相等的弦所对的圆心角相等；②平分弦的直径垂直于这条弦；③直径所对的弧是半圆；④圆是轴对称图形，其对称轴有无数条，对称轴是圆的直径．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】本题考查圆周角定理、垂径定理、圆的性质、直径的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．根据圆周角定理、垂径定理、圆的性质、直径的性质一一判断即可.【详解】解：①错误．必须在同圆或等圆中；②错误，此弦不是直径；③正确；④错误，对称轴是直径所在的直线；故选A．3．（23-24九年级上·江苏南通·期中）如图，是的直径，是弦，，垂足为M，则下列结论中错误的是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】垂直于弦的的直径平分弦及弦所对的两条弧，根据垂径定理即可进行判断，熟练掌握垂径定理的内容是解题的关键．【详解】解：∵是的直径，是弦，，垂足为M，∴，，，无法判断，故选：C类型二、用垂径定理计算线段的长4．（23-24九年级下·四川达州·阶段练习）如图，是的直径，弦于点E，，，则（

）A．6 B． C．9 D．12【答案】C【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．先根据垂径定理得到，然后利用勾股定理可计算出的长．【详解】解：，，在中，．故选：C．5．（23-24九年级上·安徽淮北·期末）如图，的半径为3，圆心O到的距离为2，则弦的长为（

）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，能熟记垂径定理是解此题的关键．连接半径，构造直角三角形，利用勾股定理求出的长，从而求出的长．【详解】解：连接，过O点作于C，如图，于C，，在中，，，，．故选：B．6．（22-23九年级上·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆过点，直线与交于B、C两点，则弦的长的最小值为（

）A．22 B．24 C．10.5 D．12.5【答案】B【分析】对于直线，无论为何值时，恒经过点，记为点,即过圆内定点的所有弦中，与垂直的弦最短，过点作于点,即可求出，再根据垂径定理及勾股定理即可求出答案．【详解】对于直线，无论为何值时，恒经过点，记为点，过点作于点，则有，，即，由于过圆内定点的所有弦中，与垂直的弦最短，如图所示，∴当时，取最小值，∵过点，∴,∴，∵当时，有过圆内定点的弦最短，∴根据垂径定理及勾股定理可得：，故选：B．【点睛】本题考查了垂径定理，一次函数以及勾股定理等知识，得出直线在无论为何值时，恒经过点，是解答本题的关键．类型三、利用垂径定理解平行弦的问题7．九年级上·全国·阶段练习）如图所示，矩形与相交于、、、，若，，，则的长为（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【分析】过O作OH⊥CD并延长，交AB与P，求出DH的长，再根据矩形的性质求出MP的长，再由垂径定理解答即可.【详解】如图所示，过O作OH⊥CD并延长，交AB与P，则EH＝EF＝×8＝4，DH＝DE＋EH＝1＋4＝5，即AP＝5，MP＝AP－AM＝5－2＝3，MN＝2MP＝2×3＝6.故C选项正确,

【点睛】此题涉及圆中求半径的问题，此类在圆中涉及弦长、半径、圆心角的计算的问题，常把半弦长，半圆心角，圆心到弦距离转换到同一直角三角形中，然后通过直角三角形求解.8．（九年级上·江苏镇江·阶段练习）若⊙的半径为10cm，且两平行弦，的长分别为12cm，16cm，则两弦间的距离是(

)A．2cm B．14cm C．2cm或14cm D．6cm或8cm【答案】C【分析】分两种情况解答：①弦AC、BD在⊙O的同侧；②弦AC、BD在⊙O的两侧．根据垂径定理分别求出圆心到弦的距离，再根据两种情况求出两弦间的距离即可.【详解】①如图：作OE⊥AC垂足为E，交BD于点F，∵OE⊥AC

AC∥BD，∴OF⊥BD，∴AE=AC=6cm；BF=BD=8cm，在Rt△AOE中OE===8cm同理可得：OF=6cm∴EF=OE-OF=8-6=2cm；②如图：同理可得：EF=OE+OF=8+6=14cm.综上所述两弦之间的距离为2cm或14cm．故选C．【点睛】此题主要利用垂径定理，把问题转化为直角三角形，运用勾股定理来解决，注意分情况讨论是解题关键．9．（九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，AD∥BC,那么弧AB与弧CD的数量关系是（)

A．弧AB=弧CD B．弧AB＞弧CD C．弧AB＜弧CD D．无法确定【答案】A【详解】因为在同圆中,平行弦所夹弧是等弧.故选A.点睛:本题主要考查圆中平行弦所夹弧,解决本题的关键是要熟练掌握平行弦定理.类型四、用垂径定理解同心圆的问题10．（九年级上·广东广州·期末）如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（）A．8≤AB≤10 B．8＜AB≤10 C．4≤AB≤5 D．4＜AB≤5【答案】A【分析】解决此题首先要弄清楚AB在什么时候最大，什么时候最小．当A′B′与小圆相切时有一个公共点，此时可知A′B′最小；当AB经过同心圆的圆心时，弦AB最大且与小圆相交有两个公共点，此时AB最大，由此可以确定所以AB的取值范围．【详解】解：如图，当AB与小圆相切时有一个公共点，在Rt△A′DO中，OD=3，OA′=5，∴，∴A′B′=8；当AB经过同心圆的圆心时，弦AB最大且与小圆相交有两个公共点，此时AB=10，所以AB的取值范围是8≤AB≤10．故选：A．【点睛】本题主要考查了圆中的有关性质．利用垂径定理可用同心圆的两个半径和与小圆相切的大圆的弦的一半构造直角三角形，运用勾股定理解题这是常用的一种方法，也是解决本题的关键，注意临界值．11．（20-21九年级上·山东德州·阶段练习）如图，⊙O1的弦AB是⊙O2的切线，且AB∥O1O2，如果AB＝12cm，那么阴影部分的面积为（

）．A．36πcm2 B．12πcm2 C．8πcm2 D．6πcm2【答案】A【分析】根据题意将小圆平移至与大圆共圆心处，再利用垂径定理及勾股定理求解即可．【详解】由⊙O1的弦AB是⊙O2的切线，且AB∥O1O2，故将⊙O2平移至⊙O1的圆心处，此时AB与小圆相切与点E，则阴影部分面积即为小圆外部和大圆内部环状部分的面积由切线的性质可得：，则由垂径定理可得：，在中，由勾股定理可得：，，，，故选：A．【点睛】本题考查圆的切线性质，垂径定理及勾股定理等，灵活对图中两个圆进行平移构成同心圆进而求解是解题关键．12．（九年级下·四川成都·期中）在某校校园文化建设活动中，小彬同学为班级设计了一个班徽，这个班徽图案由一对大小相同的较大半圆挖去一对大小相同的较小半圆而得．如图，若它们的直径在同一直线上，较大半圆的弦，且与较小半圆相切，AB=4，则班徽图案的面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用班徽图案的面积=大圆的面积-小圆的面积即圆环面积．【详解】解：平移小圆使和重合，设与较小半圆相切的切点为C，连接，∴⊥AB，∴AC=BC=AB=2，∴=πAC2=4π．故选D．【点睛】本题考查了圆的面积公式和垂径定理、切线的性质定理的运用，解题的关键是把阴影部分面积转化为圆环的面积．类型五、垂径定理的推论13．（23-24九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，的直径，C是圆O上一点，点D平分，，则弦【答案】【分析】本题主要考查了垂径定理的推论，三角形中位线定理．由题意可知点D平分，为的中位线，根据直径求出半径，进而求出的长度，再根据中位线原理即可解答．【详解】解：∵点D平分，∴平分，∴为的中位线，∴，又∵的直径，∴，∵，∴，∴弦，故答案为：．14．（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图，已知是的弦，点C在上，且，分别连接，并延长，交弦于点D，，，若点E在上，，则的长为．

【答案】【分析】本题考查了垂径定理及其推论，勾股定理，全等三角形的判定与性质，连接，证垂直平分，在中通过勾股定理求出半径，再由证明，即可得到．【详解】连接，

∵，∴垂直平分，∴，∵，∴，在中∴，解得，∵，∴，∵，，∴，∴，故答案为：．15．（23-24九年级上·河南信阳·期中）如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为，点B的坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标是．

【答案】【分析】直接利用垂径定理推论得出圆心位置，进而利用点A坐标得出原点位置即可得出答案．本题主要考查了垂径定理以及坐标与图形的性质，正确得出圆心位置是解题关键．【详解】解：如图：分别作与的垂直平分线，相交于点O，

则点O即是该圆弧所在圆的圆心．∵点A的坐标为，∴点O的坐标为．类型六、垂径定理的应用16．（2023·浙江衢州·一模）某品牌太阳能热水器的实物图和截面示意图如图所示，支架与地面垂直，真空集热管与地面水平线夹角为，直线与都经过水箱截面的圆心O．已知，，则水箱内水面宽度为．【答案】【分析】取与的交点为点G，由题意得，，，从而可得，，根据直角三角形的性质可得，，设，则，，进而可得，，再利用，列方程求解即可．【详解】解：取与的交点为点G，由题意得，，，∴，，∴，设，则，，∴，，∵，∴，解得，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查直角三角形的性质、垂径定理、平行线的性质、解一元一次方程，熟练掌握直角三角形的性质和垂径定理是解题的关键．17．（23-24九年级上·山东济宁·期末）圆管涵是公路路基排水中常用的涵洞结构类型，它不仅力学性能好，而且构造简单、施工方便．某水平放置的圆管涵圆柱形排水管道的截面是直径为的圆，如图所示，若水面宽，求水的最大深度．（精确到0.1）

【答案】【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键．过点作于点，连接，根据垂径定理可得，再在中，根据勾股定理解得的值，进而获得答案．【详解】解：如图，过点作于点，连接，

∴，，∵，∴，∵直径为，∴，在中，根据勾股定理，可得，∴，∴水的最大深度为．18．（23-24九年级上·广东广州·期中）“两龙“高速公路是某省高速公路隧道和桥梁最多的路段．如图，是一个单心圆曲隧道的截面，若路面宽为8米，净高为8米，求此隧道单心圆的半径．【答案】半径的长度是5米【分析】本题主要考查了垂径定理的应用，勾股定理，根据垂径定理，平分，则，在中，有，进而可求得半径．【详解】解：为高，∴根据垂径定理：平分，又∵路面宽为8米，则有：米．设圆的半径是x米，则，在中，有，即：，解得：，即此隧道单心圆的半径的长度是5米．类型七、垂径定理的有关计算与证明19．（2024九年级·全国·竞赛）如图，在中，为直径，弦于点，连接．(1)若，求的直径；(2)若，求弦与的夹角．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理；（1）根据垂径定理，勾股定理建立方程，解方程，即可求解；（2）根据已知条件与圆周角定理可得，进而得出，设交于点，根据三角形的外角的性质，即可求解．【详解】（1）解：设的直径为，，又，，解得，的直径为．（2）解：，，，，设交于点，即弦与的夹角为．

20．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）（1）如图1，是的直径、C、D是上的两点，若，弧弧．求：①的度数；②求的度数；（2）如图2，的弦垂直平分半径，若的半径为4，求弦的长．【答案】（1）①；；（2）【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆内接四边形的性质，解题的关键是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．（1）①根据圆周角定理得到，可得，根据圆内接四边形的性质即可求出；②根据得到，利用等腰三角形的性质计算即可；（2）连接，根据弦垂直平分半径，可求出的长，再由勾股定理求出的长，进而可得出结论．【详解】解：（1）①∵是直径，∴，∵，∴．∵四边形是的圆内接四边形，∴，∴，②∵，∴，∴；（2）连接，∵弦垂直平分半径，，∴．∵，即，解得，∴．类型八、垂径定理与实际应用中的方案探究问题21．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）利用素材解决：《桥梁的设计》问题驱动某地欲修建一座拱桥，桥的底部两端间的水面宽，称跨度，桥面最高点到的距离称拱高，拱桥的轮廓可以设计成是圆弧型或抛物线型，若修建拱桥的跨度米，拱高米．设计方案方案一方案二设计类型圆弧型抛物线型任务一设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径．设计成抛物线型，以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立坐标系，求桥拱的函数表达式．任务二如图，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得米，米．请你通过计算说明货船能否分别顺利通过这两座桥梁．【答案】任务一：方案一，米；方案二，任务二：方案一，能通过；方案二，不能通过【分析】本题考查了二次函数的实际应用，垂径定理，勾股定理的应用，掌握建模的数学思想是解题关键．任务一：方案一，设圆的半径为米，根据即可求解；方案二，设桥拱的函数解析式为，将代入即可求解；任务二：方案一，根据即可判断；方案二，当H点的横坐标时，计算其纵坐标即可判断．【详解】解：任务一方案一，设圆的半径为米，在中，，（米）方案二，∵顶点C坐标为，设桥拱的函数解析式为代入得，．函数解析式为．任务二方案一，如图，由上得，在中，．能通过方案二，如图建立直角坐标系，当H点的横坐标时，，不能通过．22．（23-24九年级上·江苏南通·期末）根据素材解决问题：设计货船通过拱桥的方案素材1左图中有一座圆拱石桥，右图是其圆形桥拱的示意图，测得水面宽，拱顶离水面的距离．素材2如图，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得，．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，货船的载重量每增加1吨，则船身下降．问题解决任务1确定桥拱半径（1）求圆形桥拱的半径；任务2拟定设计方案（2）根据图3状态，货船能否通过圆形拱桥？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？【答案】(1)(2)10吨【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，任务1，设圆心为点，则点在延长线上，延长，则经过点，连结，设桥拱的半径为，则，由勾股定理，垂径定理，列出关于半径的方程，即可解决问题；任务2，由勾股定理得到货船不能通过圆形桥拱，通过计算，即可得到需要增加的货物的吨数．【详解】解：任务1，设圆心为点，则点在延长线上，延长，则经过点，连结，如图，设桥拱的半径为，则，，，，，，圆形拱桥的半径为．任务2，根据图3状态，货船不能通过圆形桥拱，至少要增加10吨的货物才能通过．理由：当是的弦时，与的交点为，连接，，如图，四边形为矩形，，，∵，，．，，，，根据图3状态，货船不能通过圆形桥拱，船在水面部分可以下降的高度为．货船的载重量每增加吨，则船身下降，吨，至少要增加10吨的货物才能通过．一、单选题1．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知的半径为5，弦，M是上一点，且的长为整数，则点M的位置有（

）A．6个 B．5个 C．4个 D．3个【答案】B【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆的轴对称性，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．连接，过点O作于点C，可知为的最小值，为的最大值，根据勾股定理求得，即可得到的取值范围，取其整数值再根据圆的轴对称性即可解题．【详解】解：连接，过点O作于点C，，，又，，．的长为整数，的长为3，4，5．根据圆的轴对称性，知点M的位置共有5个．2．（2024·山东临沂·模拟预测）春秋时代的名著《墨子非儒下》载：“孔子穷于陈蔡，藜羹不糁”．“糁”在文字上讲是用肉作成的汤羹，是临沂地区的风味小吃．因其香辣可口、肥而不腻、祛风除寒、开食健胃实为众人所喜爱，早晨喝糁是临沂传统食俗．糁汤做好后会盛入大碗中；如图②是从正面看到的一个盛糁汤的大碗(图①)的形状示意图．是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接，．已知cm，碗深，则的半径为（

）A．12cm B．13cm C．14cm D．15cm【答案】B【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理的应用，设的半径为，列出关于的方程是解题的关键．首先利用垂径定理的推论得出，，再设的半径为，则．在中根据勾股定理列出方程，求出即可．【详解】解：是的一部分，是的中点，，，．设的半径为，则．在中，，，，，即的半径为．故选：B．3．（2023·陕西安康·一模）如图，小颖画出了一件出土的古代文物碎片示意图，为求其外圆半径，连接外圆上的，两点，并使与文物内圆相切于点，已知为文物外圆和内圆的圆心，连接并延长交外圆于点，测得，，则该文物的外圆半径是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】连接，根据与文物内圆相切于点可知，由垂径定理得，然后根据勾股定理即可求得外圆的半径．本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理，切线的性质，根据题意作出辅助线构早出直角三角形是解题的关键．【详解】解：如图，连接，∵与文物内圆相切于点，∴，，，，设外圆的半径为，则，根据题意得：，解得：．该文物的外圆半径是．故选：．4．（2024·云南·模拟预测）如图，是的直径，是弦且不是直径，，垂足为E，则下列结论不一定正确的是（

）

A． B．C． D．【答案】A【分析】此题考查了圆周角定理、垂径定理，由于，根据垂径定理有，，，根据圆周角定理及圆的性质求出，．熟记圆周角定理、垂径定理是解题的关键．【详解】解：如图，连接、，

∵，是的直径，∴，，，∴，，∴A不正确，符合题意；B、C、D正确，不符合题意；故选：A．5．（24-25九年级上·全国·假期作业）苏州园林中的月亮门是中国古典园林住宅中常见的圆弧形洞门（如图1），因圆形如月而得名．月亮门因其寓意美好且形态优美，被广泛使用．图2是小明同学家中的月亮门示意图，经测量，水平跨径为2.4米，水平木条和铅锤木条长都为0.4米，点C恰好落在上，则此月亮门的半径为（）A．2.1米 B．2.0米 C．1.9米 D．1.8米【答案】B【详解】本题考查了垂径定理的应用、勾股定理的应用等知识，掌握垂径定理的应用是解题的关键．过O作于N，过C作于M，由垂径定理得米，再证四边形是矩形，则米，（米），设该圆的半径长为r米，然后由题意列出方程求解．【解答】解：过O作于N，过C作于M，如图2所示：则米，，∵，∴，∴四边形是矩形，∴米，（米），设该圆的半径长为r米，根据题意得，，∴，∴，即此月亮门的半径为2米．故选：B．6．（2024·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图，在半径为5的圆O中，，是互相垂直的两条弦，垂足为P，且，则的长为（）A．3 B．4 C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了垂径定理以及勾股定理，作出辅助线是解题的关键．作于M，于N，连接，，首先利用勾股定理求出的长，然后判定四边形是正方形即可得到答案．【详解】解：作于M，于N，连接，，由垂径定理得勾股定理得：，弦互相垂直，，于M，于N，四边形是矩形，，四边形是正方形，故选：D．二、填空题7．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知在半径为4的中，弦，点P在圆上，则的度数为．【答案】或【分析】如图，过点O作于点C，连接，．由，可得，分当点P在优弧上时，当点P在劣弧上两种情况，再进一步解答可得答案；【详解】解：如图，当点P在优弧上时，过点O作于点C，连接，．由垂径定理可得．在中，，∴，∴．在中，∵，∴．∴所对的圆心角，则．当点P在劣弧上时，．故答案为：或【点睛】本题考查的是垂径定理，圆周角定理的应用，圆的内接四边形的性质和解直角三角形，能够分情况讨论是解题的关键．8．（2024·内蒙古通辽·模拟预测）如图是一个隧道的横截图，它的形状是以点O为圆心的一部分，如果M是中弦的中点，经过圆心O交于点E，若，则⊙O的半径为m．【答案】【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识点，掌握垂径定理成为解题的关键．由根据垂径定理可得，则，在中，有，然后求解即可解答．【详解】解：如图：连接,∵M是中弦的中点，∴，又∵，∴，设圆的半径是x米，，在中，有，即：，解得：，所以圆的半径长是．故答案为：．9．（2024·山东枣庄·模拟预测）如图，一个底部呈球形的烧瓶，弦长为cm，瓶内液体的最大深度，则截面圆中液体的面积为．【答案】【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用、弓形面积计算，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．由垂径定理得，再由勾股定理得，根据弓形面积等于扇形面积减去三角形面积即可得出结论．【详解】解：由题意得：，弦长为，，设，，，在中，由勾股定理得：，解得：，，，，截面圆中液体的面积为．故答案为：．10．（2024·宁夏吴忠·模拟预测）一次综合实践主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，测量一次性纸杯杯口的直径．小明同学所在的学习小组设计了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你根据上述数据计算纸杯的直径是．【答案】【分析】本题考查了矩形的性质，垂径定理，勾股定理等知识．熟练掌握矩形的性质，垂径定理，勾股定理是解题的关键．如图，记圆心为，连接，作于，作于，则，，由矩形的性质可知，，则三点共线，设，则，由勾股定理得，，即；，即；由，可得，可求，则，进而可求纸杯的直径．【详解】解：如图，记圆心为，连接，作于，作于，∴，，由矩形的性质可知，，∴三点共线，设，则，由勾股定理得，，即；，即；∵，∴，解得，，∴或（舍去），∴纸杯的直径是，故答案为：．三、解答题11．（2024·安徽马鞍山·一模）如图，在中，、为弦，为直径，于E，于F，与相交于G．(1)求证：；(2)若，，求的半径．【答案】(1)见详解(2)【分析】本题考查了圆的基本性质，垂径定理，等腰三角形的判定及性质，勾股定理等；（1）连接，由同弧所对的圆周角相等得，由同角的余角相等得，从而可得，由等腰三角形的判定及性质即可得证；（2）连接，设，可得，由线段和差得，由垂径定理得，由勾股定理得，即可求解；掌握垂径定理，能构建直角三角形，并熟练利用勾股定理求解是解题的关键．【详解】（1）证明：如图，连接，，，，，，，，，，，，，；（2）解：如图，连接，设，，，，，为直径，，，在中，，，解得：，，故的半径为．12．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图所示：残缺的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线CD交圆形轮片于点C，垂足为D，解答下列问题：(1)用尺规作图找出圆形轮片的圆心O的位置，并将圆形轮片所在的圆补全；（要求：保留所有的作图痕迹，不写作法）(2)若弦，，求残缺圆形轮片所在圆半径r．【答案】(1)见解析(2)13【分析】本题考查圆的垂径定理，勾股定理，熟练掌握通过垂径定理找圆心，通过勾股定理构造方程求边长是解题的关键．（1）由于是弦的垂直平分线，则圆心在上，因此连接，圆心在的垂直平分线上，故作的垂直平分线，交于点O，则点O就是所求的圆心，然后补全圆即可；（2）连接，设半径为x，即，则，根据是的垂直平分线，得到，，因此在中，根据勾股定理构造方程，即可求出x的值，即为此残片所在圆的半径．【详解】（1）解：如图，点O为所求的圆心．（2）连接，设半径为x，即，∴，∵是的垂直平分线，∴∴在中，，即，解得：，∴此残片所在圆的半径为13．13．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，点A、B是上两点，，点P是上的动点（与A、B不重合），连接、，