2025年考研数学一概率统计专题试卷（含答案）

2025年考研数学一概率统计专题试卷（含答案）考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题：1.设随机变量X和Y相互独立，且X服从参数为λ的泊松分布，Y服从标准正态分布N(0,1)，则随机变量X+Y的分布函数（）。A.仍服从泊松分布B.服从指数分布C.服从正态分布D.无法确定其分布2.设随机变量X的期望E(X)=2，方差D(X)=4，则根据切比雪夫不等式，P{|X-2|≥3}≤（）。A.1/16B.1/4C.3/16D.1/93.设随机变量X和Y的协方差Cov(X,Y)=1，X的方差D(X)=4，Y的方差D(Y)=9，则X和Y的相关系数ρXY等于（）。A.1/6B.1/3C.1/2D.2/34.设总体X服从参数为p的0-1分布，X1,X2,...,Xn是来自总体X的简单随机样本，则参数p的矩估计量是（）。A.1/nΣ(i=1ton)Xi^2B.Σ(i=1ton)Xi/nC.(n+1)/(Σ(i=1ton)Xi+1)D.Σ(i=1ton)Xi/(n+1)5.设总体X的密度函数为f(x;θ)={θx^(θ-1),0<x<1,θ>0;0,其他。X1,X2,...,Xn是来自总体X的简单随机样本，则参数θ的最大似然估计量是（）。A.(1/n)Σ(i=1ton)lnXiB.(1/n)Σ(i=1ton)XiC.max{X1,X2,...,Xn}D.min{X1,X2,...,Xn}6.设总体X服从正态分布N(μ,σ^2)，其中μ未知，σ^2已知。X1,X2,...,Xn是来自总体X的简单随机样本，则μ的置信度为1-α的置信区间的上下限分别是（）。A.(X̄-z_α/2*σ/√n,X̄+z_α/2*σ/√n)B.(X̄-t_α/2*σ/√n,X̄+t_α/2*σ/√n)C.(X̄-z_(α/2)*σ/√n,X̄+z_(α/2)*σ/√n)D.(X̄-t_(α/2)*σ/√n,X̄+t_(α/2)*σ/√n)7.在假设检验中，若要犯第一类错误的概率α减小，则犯第二类错误的概率β将（）。A.必然减小B.必然增大C.不确定D.保持不变8.设随机变量X和Y的联合分布律如下：||Y=0|Y=1||-------|--------|--------||X=0|0.1|0.2||X=1|0.3|k|则k的值等于（）。A.0.1B.0.2C.0.3D.0.49.设随机变量X和Y的联合密度函数为f(x,y)={cxy,0≤x≤1,0≤y≤x;0,其他。则常数c等于（）。A.1/3B.2/3C.1D.310.设随机变量X和Y相互独立，且X~N(1,4)，Y~N(2,9)，则随机变量Z=3X-2Y的期望E(Z)和方差D(Z)分别为（）。A.-3,22B.-3,43C.3,22D.3,43二、填空题：1.设随机变量X的分布函数为F(x)={0,x<0;(1-p)^(1-x),0≤x<1;1,x≥1。则X的数学期望E(X)=________。2.设随机变量X和Y的协方差Cov(X,Y)=2，X的方差D(X)=4，Y的方差D(Y)=9，则X和Y的相关系数ρXY=________。3.从均值为μ，方差为σ^2（σ^2>0）的总体中抽取容量为n的简单随机样本，若用S^2=(1/(n-1))Σ(xi-x̄)^2来估计σ^2，则S^2是σ^2的________估计量。4.设总体X服从参数为λ的泊松分布，X1,X2,...,Xn是来自总体X的简单随机样本，则样本方差S^2的无偏估计量是________。5.设总体X服从均匀分布U(θ,θ+2)，X1,X2,...,Xn是来自总体X的简单随机样本，则参数θ的矩估计量θ̂=________。6.设总体X服从正态分布N(μ,σ^2)，其中μ未知，σ^2已知。X1,X2,...,Xn是来自总体X的简单随机样本，则样本均值X̄~________。7.设总体X的密度函数为f(x;θ)={θx^(θ-1),0<x<1,θ>0;0,其他。X1,X2,...,Xn是来自总体X的简单随机样本，则参数θ的最大似然估计量θ̂=________。8.设总体X的密度函数为f(x;θ)={θx^(θ-1),0<x<1,θ>0;0,其他。若X1,X2,...,Xn是来自总体X的简单随机样本，则θ的1-α置信区间的下限为________。9.在假设检验H0:μ=μ0vsH1:μ≠μ0中，若检验的拒绝域为{|X̄-μ0|≥k}，则当H0为真时，犯第一类错误的概率α=P(_______)。10.设随机变量X和Y相互独立，X~B(10,0.3)，Y~P(2)，则E(XY)=________。三、解答题：1.设随机变量X和Y相互独立，且X~N(0,1)，Y~N(0,1)。令U=X+Y，V=X-Y。(1)求随机变量U的密度函数f_U(u)。(2)求随机变量V的密度函数f_V(v)。(3)求随机变量U和V的相关系数ρ_UV。2.设总体X的概率密度函数为f(x;θ)={(θ+1)x^θ,0<x<1,θ>-1;0,其他。其中θ为未知参数。X1,X2,...,Xn是来自总体X的简单随机样本。(1)求参数θ的矩估计量。(2)求参数θ的最大似然估计量。3.从正态总体N(μ,16)中随机抽取容量为n=9的样本，样本均值为x̄=20。(1)求总体均值μ的95%置信区间（已知σ=4）。(2)若要在95%的置信水平下，使μ的置信区间的长度不超过1，至少需要抽取多少个样本？（σ=4）4.某产品的寿命X（单位：小时）服从指数分布，其密度函数为f(x)={λe^(-λx),x≥0;0,x<0}。假设抽取了10件产品进行寿命测试，得到样本中最小寿命为0.5小时。(1)求参数λ的矩估计值。(2)求参数λ的最大似然估计值。(3)在显著性水平α=0.05下，检验该产品的平均寿命是否大于2小时。（假设H0:E(X)≤2vsH1:E(X)>2）5.设二维随机变量(X,Y)的联合分布律如下表所示（k为常数）：||Y=1|Y=2||-------|--------|--------||X=1|k|0.2||X=2|0.1|0.3|(1)求常数k的值。(2)求随机变量X的边缘分布律。(3)求随机变量Y的边缘分布律。(4)判断随机变量X和Y是否相互独立。(5)求E(XY)。试卷答案一、选择题：1.C2.B3.B4.B5.C6.C7.B8.A9.A10.D二、填空题：1.p/(1-p)2.2/6=1/33.无偏4.(1/(n-1))Σ(xi^2)-n*(x̄^2)(或S^2)5.(2*x̄)/36.N(μ,σ^2/n)7.(1/(1+Σ(xi)))^(1/n)(或1/(1+x̄))8.(n/(n+α))*(1/x̄^(1/α))(其中x̄=(1/n)Σ(xi))9.|X̄-μ0|≥k10.3三、解答题：1.(1)U=X+Y，X~N(0,1),Y~N(0,1),X,Y独立。则U~N(0,1^2+1^2)=N(0,2)。密度函数f_U(u)=(1/(sqrt(2π*2)))*e^(-u^2/(2*2))=(1/(sqrt(4π)))*e^(-u^2/4)。(2)V=X-Y，X~N(0,1),Y~N(0,1),X,Y独立。则V~N(0,1^2+(-1)^2)=N(0,2)。密度函数f_V(v)=(1/(sqrt(2π*2)))*e^(-v^2/(2*2))=(1/(sqrt(4π)))*e^(-v^2/4)。(3)Cov(U,V)=Cov(X+Y,X-Y)=Cov(X,X)-Cov(X,Y)+Cov(Y,X)-Cov(Y,Y)=D(X)-0+0-D(Y)=1-1=0。因为U和V的协方差为0，且U和V均服从N(0,2)（非退化分布），所以U和V相互独立。ρ_UV=Cov(U,V)/(sqrt(D(U))*sqrt(D(V)))=0/(sqrt(2)*sqrt(2))=0。2.(1)E(X)=∫[0,1]x*(θ+1)*x^θdx=(θ+1)*∫[0,1]x^(θ+1)dx=(θ+1)*[x^(θ+2)/(θ+2)]|_[0,1]=(θ+1)/(θ+2)。令E(X)=x̄=(1/n)Σ(xi)，则(θ+1)/(θ+2)=x̄。解得θ=(2x̄-1)/(1-x̄)。θ的矩估计量θ̂=(2x̄-1)/(1-x̄)。(2)写出样本的似然函数L(θ)=Π(i=1ton)f(xi;θ)=Π(i=1ton)(θ+1)*xi^θ=(θ+1)^n*[Π(i=1ton)xi]^θ。写出对数似然函数lnL(θ)=n*ln(θ+1)+θ*Σ(i=1ton)ln(xi)。对θ求导得d(lnL)/dθ=n/(θ+1)+Σ(i=1ton)ln(xi)。令d(lnL)/dθ=0，得n/(θ+1)+Σ(i=1ton)ln(xi)=0。解得θ=-(1+n/Σ(i=1ton)ln(xi))。θ的最大似然估计量θ̂=-(1+n/Σ(i=1ton)ln(xi))。3.(1)σ=4已知，使用Z检验。置信水平1-α=95%，查标准正态分布表得z_(α/2)=z_0.025=1.96。置信区间下限=x̄-z_(α/2)*(σ/sqrt(n))=20-1.96*(4/sqrt(9))=20-1.96*(4/3)=20-2.5333=17.4667。置信区间上限=x̄+z_(α/2)*(σ/sqrt(n))=20+1.96*(4/sqrt(9))=20+1.96*(4/3)=20+2.5333=22.5333。置信区间为(17.4667,22.5333)。(2)置信区间长度L=2*z_(α/2)*(σ/sqrt(n))≤1。即2*1.96*(4/sqrt(n))≤1。解不等式：3.92*(4/sqrt(n))≤1=>15.68/sqrt(n)≤1=>sqrt(n)≥15.68=>n≥15.68^2=245.8624。由于n必须是整数，且要满足长度不超过1，所以n的最小值为26。4.(1)X~Exp(λ)。E(X)=1/λ。矩估计量θ̂=1/E(X)。样本中最小寿命为0.5小时，对于指数分布，最小值1/n样本的期望为E(min(X1,...,Xn))=1/(nλ)。这里样本量n=10，最小寿命x(1)=0.5。所以0.5=1/(10λ)，解得λ̂=1/0.5=2。(2)X~Exp(λ)。密度函数f(x;λ)=λe^(-λx),x≥0。似然函数L(λ)=Π(i=1to10)λ*e^(-λxi)=λ^10*e^(-λ*Σ(i=1to10)xi)。给定最小寿命x(1)=0.5，则所有样本值都大于等于0.5。似然函数L(λ)=λ^10*e^(-λ*(Σ(i=1to10)xi+0.5))=λ^10*e^(-λ*(10*0.5+0.5))=λ^10*e^(-11λ)。对数似然函数lnL(λ)=10lnλ-11λ。对λ求导得d(lnL)/dλ=10/λ-11。令d(lnL)/dλ=0，得10/λ-11=0。解得λ=10/11。λ的最大似然估计值λ̂=10/11。(3)H0:E(X)≤2vsH1:E(X)>2。备择假设H1对应λ>10/11。由于X~Exp(λ)，X和1/λ~Exp(1)。拒绝域形式为{X≥c}。α=P(typeIerror)=P(H0为真|H0被拒绝)=P(X≥c|λ≤10/11)。当λ≤10/11时，X~Exp(λ)，分布函数F(x)=1-e^(-λx)。则P(X≥c|λ≤10/11)=1-P(X<c|λ≤10/11)=1-∫[0,c]λe^(-λx)dx=1-[1-e^(-λc)]=e^(-λc)。α=max_{λ∈[0,10/11]}e^(-λc)=e^(-(10/11)c)。要使α=0.05，即e^(-(10/11)c)=0.05。取对数得-(10/11)c=ln(0.05)。解得c=-(11/10)*ln(0.05)=-1.1*(-2.9957)=3.2953。检验统计量X的观察值为0.5。因为0.5<3.2953，所以不拒绝原假设H0