【高中竞赛】2023年全国中学生数学能力测评（终评）高三年级组试题（含解析）

答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页2023年全国中学生数学能力测评（终评）高三年级组试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．一组数据为3，5，1，6，8，2，记这组数据的上四分位数为，则二项式展开式的常数项为．2．已知锐角三角形中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为S，且．若，则的取值范围是．3．预制菜指以农、畜、禽、水产品为原辅料，配以调味料等经预选、调制等工艺加工而成的半成品．近几年预制菜市场快速增长．某城市调查近4个月的预制菜市场规模y（万元）得到如表所示的数据，根据数据得到y关于x的非线性回归方程1234按照这样的速度，预估第8个月的预制菜市场规模是万元．（结果用e表示）4．在三棱锥中，，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为．5．设定义在R上的可导函数与的导函数分别为和．若，与均为偶函数，则．6．设函数是公差为的等差数列，，则．7．某班一天上午有语文、数学、政治、英语、历史5节课，现要安排该班上午的课程表，要求历史课不排在第一节，语文课和数学课相邻，不同的排法总数是．8．已知，，，则这三个数的大小关系为．（用“”连接）9．某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店这三天售出的商品最少有种．10．如图，在长方形中，，，为的中点，为线段（端点除外）上一动点，现将沿折起，使平面平面，在平面内过点作，为垂足，设，则的取值范围是．

11．在区间内随机取出两个数分别记为、，则函数有零点的概率为．12．已知数列满足，，记数列的前n项和为．若对于任意，不等式恒成立，则实数k的取值范围为．二、解答题13．在中，，，在的右侧取点，构成平面四边形．（1）若且，求面积的最大值；（2）若，当四边形的面积最大时，求对角线的长．14．如图，在四棱锥中，平面，四边形是直角梯形，，，.(1)求二面角的余弦值；(2)设是棱上一点，是的中点，若与平面所成角的正弦值为，求线段的长.15．已知为数列的前n项和，且；数列是各项均为正数的等差数列，，4，成等比数列，且．(1)求数列和的通项公式；(2)若，证明．16．某省年开始将全面实施新高考方案．在门选择性考试科目中，物理、历史这两门科目采用原始分计分；思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为，，，，共个等级，各等级人数所占比例分别为、、、和，并按给定的公式进行转换赋分．该省组织了一次高一年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分．（1）某校生物学科获得等级的共有10名学生，其原始分及转换分如下表：原始分9190898887858382转换分10099979594918886人数11212111现从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中生物转换分不低于分的人数为，求的分布列和数学期望；（2）假设该省此次高一学生生物学科原始分服从正态分布．若，令，则，请解决下列问题：①若以此次高一学生生物学科原始分等级的最低分为实施分层教学的划线分，试估计该划线分大约为多少分？（结果保留为整数）②现随机抽取了该省名高一学生的此次生物学科的原始分，若这些学生的原始分相互独立，记为被抽到的原始分不低于分的学生人数，求取得最大值时的值．附：若，则，．17．已知函数，.(1)若时，求的所有单调区间；(2)若在区间上的最大值为，求的范围.18．已知椭圆：（，）的左、右焦点分别为、，离心率为，经过点且倾斜角为的直线与椭圆交于、两点（其中点在轴上方），的周长为8．（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，将平面沿轴折叠，使轴正半轴和轴所确定的半平面（平面）与轴负半轴和轴所确定的半平面（平面）互相垂直．①若，求异面直线和所成角的余弦值；②是否存在，使得折叠后的周长为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．《2023年全国中学生数学能力测评（终评）高三年级组试题》参考答案1．【分析】根据百分位数的计算方法，求得，求得二项展开式的通项为，即可求解.【详解】将这组数据从小到大排成一列为：，由，所以这组数据的四分位数为，所以二项式为，则二项展开式的通项为，令，解得，所以展开式的常数项为.故答案为：.2．【分析】根据面积公式，余弦定理和题干条件得到，结合正弦定理得到，由为锐角三角形，求出，从而求出，求出的取值范围.【详解】因为，所以，因为，所以，所以，整理得：，因为，所以，由正弦定理得，又因为，所以，因为为锐角三角形，所以为锐角，所以，即，由，解得：，因为，所以，解得故答案为：3．【分析】令，由样本中心在回归方程上求得，再将代入求值即可.【详解】由题设，令，则，，所以，则，所以代入回归方程，则，可得万元.故答案为：4．【分析】根据已知条件易得为等边三角形，为等腰三角形，进而确定外接圆圆心及半径，再证面面，利用面面垂直模型求外接球半径，即可求面积.【详解】由，，由余弦定理可得，又，所以为等边三角形，令其外接圆圆心为，等腰的外接圆半径，令其外接圆圆心为，在射线上，则是中点，连接，且，，又，所以，则，又，，面，则面，面，所以面面，若是三棱锥的外接球的球心，如上图，易知为矩形，故，而，所以外接球半径为，该三棱锥的外接球的表面积为.故答案为：5．【分析】根据已知得，由偶函数得、且，进而有，则，应用累加求.【详解】由题设，则①，为偶函数，则，即，则②，令得，则，为偶函数，即，则③，由①，结合②③，即④，由①④，，则，，……,累加得，故.故答案为：【点睛】关键点点睛：由偶函数及复合函数的导数得、、，进而得到，最后有为关键.6．【详解】由已知，是公差为的等差数列，则，由和差化积公式得，则，比较两边等式得，且，解得，所以.7．【分析】应用排列、组合数，结合捆绑、插空法及分步原理求不同的排法总数.【详解】将语文课和数学课作排列有种，再把语文课和数学课作为整体，与除历史课外的其它2节课作全排列有种，由上得到4个空，最后把历史课插入后3个空有种，综上，共有种.故答案为：8．【分析】构造且，应用导数研究单调性比较大小，通过与的图象比较与的大小，进而得到大小，即可得答案.【详解】由，，令且，则，所以在上递减，则，即，所以，由，，只需比较与的大小，根据与，相交于两点，图象如下，由，结合图知，故，综上，.故答案为：9．29【分析】由第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，前两天都售出的商品有3种，可以得到第一天售出但第二天未售出的商品种数，同理得到第二天售出但第一天未售出的商品种数，进而得到前两天共售出的商品的种数，根据第三天售出但第二天未售出的商品种数，当这些商品都在第一天售或第二天售出时，三天售出的商品种数最少.【详解】由题意，第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，前两天都售出的商品有3种，所以第一天售出但第二天未售出的商品有19-3=16种，第二天售出但第一天未售出的商品有13-3=10种，所以前两天共售出的商品有19+10=29种，如图所示：

第三天售出18种商品，后两天都售出的商品有4种，得第三天售出但第二天未售出的商品有18-4=14种，当这14种商品都在第一天售出或第二天售出商品中时，三天售出的商品种数最少有29种.故答案为：29【点睛】本题主要考查集合的应用，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.10．【详解】当位于的中点，点与中点重合，．随点到点，由，，得平面，则．又，，则．因为，，所以，故．综上，的取值范围为．点睛:立体几何中折叠问题,要注重折叠前后垂直关系的变化,不变的垂直关系是解决问题的关键条件.11．【分析】根据题意，求出区间内随机取两个数对应平面区域的面积，再求出满足使得函数有零点的所对应的平面区域的面积，利用面积比的几何概型，即可求解.【详解】由题意，对应的区域为边长为的正方形区域，其面积为，使得函数有零点，则，即，则符合题意的区域为表示的圆和如图所示的正方形之间所围成的区域，所以函数有零点的概率为，故答案为：12．【分析】由题设易知是首项、公比都为2的等比数列，可得，进而得到，裂项相消法求，根据不等式恒成立求参数范围.【详解】由题设，而，则是首项、公比都为2的等比数列，所以，则，所以，则在上恒成立，要使不等式恒成立，只需，所以实数k的取值范围为.故答案为：13．（1）；（2）．【分析】（1）根据余弦定理，结合基本不等式、三角形面积公式进行求解即可；（2）根据余弦定理，结合三角形面积公式进行求解即可.【详解】解析：（1）在中，由余弦定理得：，则在中，即故当且仅当时，等号成立故面积的最大值为（2）取，则在中，在中，即取四边形的面积为，则有即得：即则当时，，此时，则故即对角线为．14．(1)(2)【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的余弦值；（2）设，其中，利用空间向量法可得出关于实数的等式，结合的取值范围可求得的值，即可求得的长.【详解】（1）解：因为平面，四边形是直角梯形，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、、，设平面的法向量为，，，则，取，可得，易知平面的一个法向量为，，由图可知，二面角的平面角为锐角，因此，二面角的余弦值为.（2）解：设，其中，，，易知平面的一个法向量为，由题意可得.整理可得，，解得，所以，.15．(1)；；(2)证明见解析.【分析】（1）由已知得，，继而有数列是以1为首项，3为公比的等比数列，根据等比数列的通项公式可求得答案；设数列的公差为d，由等比中项的性质建立方程求解得，再由等差数列的通项公式可求得答案；（2）由（1）可知，继而有，即可得证．【详解】（1）解：由，得，

由，得，

所以，所以，

所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列，故．

设数列的公差为d，由，4，成等比数列，，得，得．

又的各项均为正数，故，所以．（2）证明：由（1）可知，故．

当时，；

当时，，故，

所以．16．（1）分布列详见解析，数学期望为；（2）①69分；②．【分析】（1）写出随机变量的所有可能的取值，根据超几何分布求出的每个值对应的概率，列出分布列，求出数学期望；（2）①设该划线分为，由求出.由，得.由题意，又，故，故，即可求出；②由题意，根据独立重复实验的概率计算公式，求出，代入不等式组，即求的值.【详解】（1）随机变量的所有可能的取值为.由题意可得：，，，，随机变量的分布列为数学期望．（2）①设该划线分为，由得，令，则，由题意，，即，，，，，，取．②由①讨论及参考数据得，即每个学生生物统考成绩不低于分的事件概率约为，，．由即解得，，，当时，取得最大值．【点睛】本题考查超几何分布、二项分布及正态分布，考查学生的数据处理能力和运算求解能力，属于较难的题目．17．(1)减区间是，，且；增区间是，，且.(2).【分析】(1)将a＝0代入f(x)，求，根据正负即可求f(x)单调区间；(2)分、、、四种情况研究f(x)和在[0，π]的单调性和最值，.【详解】（1）当时，f(x)＝xcosx－sinx，.当，且时，；当，且时，；关于原点对称为，关于原点对称为，∵f(x)定义域为R，且，∴f(x)是奇函数，∴f(x)在关于原点对称的区间上单调性相同，∴的减区间是，，且；的增区间是，，且.（2）.(i)当时，时，，∴，单调递减.此时，而，∴，此时不合题意；(ii)当时，变化时变化如下表：↗极大值↘此时在上最大值为.而在(0，a)单调递减，在(a，π)单调递增，∴，易证y＝x－sinx在上单调递增，故y＝x－sinx≥0－sin0＝0，即在上，x≥sinx，故时，，∴＝，∴，又，故当x＝a时，g(x)取最大值1，∴符合题意；(iii)当时，，，，，，∴，单调递增，，，∴，且当x＝π时，，符合题意.(iv)当时，∵时，∴，∴，单调递增，此时，在上单调递减，，故，又，∴要使g(x)有最大值，则，整理得，设，.则，令，则，∴单调递增，∴，∴单调递增，∴，故在内无解，即，故不合题意；综上，.【点睛】本题解题的关键是发现，分别研究f(x)和在[0，π]上的单调性即可求它们的最大值和最小值，从而将问题解决.18．（1）；（2）①；②存在；．【分析】（1）由的周长可求出的值，从而由离心率的值可求得，进而由椭圆中的关系求出的值，即可得椭圆的标准方程.（2）①直线l的方程为，与椭圆方程联立求出点的坐标，再建立空间直角坐标系，求出点的坐标，从而可得，再利用空间向量的夹角公式即可求解.②由8，可得，设折叠前，直线的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理代入上式化简整理即可求出的值，从而可得直线l的斜率，进而可得tan的值.【详解】解：（1）由椭圆的定义知：，所以的周长，所以，又椭圆离心率为，所以，所以，，由题意，椭圆的焦点在轴上，所以椭圆的标准方程为