福建省泉州市惠安亮亮中学2025-2026学年高二上学期9月月考数学试题（含解析）

答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页福建省泉州市惠安亮亮中学2025-2026学年高二上学期9月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知空间向量，，若，则的值为（

）A．1或 B．2或 C．1或 D．2或2．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A表示随机事件“两枚炮弹都击中飞机”，事件B表示随机事件“两枚炮弹都未击中飞机”，事件C表示随机事件“恰有一枚炮弹击中飞机”，事件D表示随机事件“至少有一枚炮弹击中飞机”，则下列关系不正确的是（

）A． B． C． D．3．规定：投掷飞镖次为一轮，若次中至少两次投中环以上为优秀．根据以往经验某选手投掷一次命中环以上的概率为．现采用计算机做模拟实验来估计该选手获得优秀的概率：用计算机产生到之间的随机整数，用、表示该次投掷未有环以上，用、、、、、、、表示该次投掷在环以上，经随机模拟试验产生了如下组随机数：据此估计，该选手投掷轮，可以拿到优秀的概率为（

）A． B． C． D．4．一个电路如图所示，A，B，C，D，E，F为6个开关，其闭合的概率为，且是相互独立的，则灯亮的概率是()A． B． C． D．5．如图，在平行四边形ABCD中，，，E是边BC的中点，F是CD上靠近D的三等分点，若，则等于（

）A．4 B． C． D．86．一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，投掷这枚骰子两次，A表示事件“第一次向上一面的数字是1”，B表示事件“第二次向上一面的数字是2”，C表示事件“两次向上一面的数字之和是7”，D表示事件“两次向上一面的数字之和是8”，则（

）A．C与D相互独立 B．A与D相互独立C．B与D相互独立 D．A与C相互独立7．如图，甲乙做游戏，两人通过划拳（剪刀、石头、布）比赛决胜谁首先到达第3格，并规定从0格出发，每次划拳赢的一方往右前进一格，输的一方原地不动，平局时两人都往右前进一格．如果一方连续赢两次，那么他将额外获得右前进一格的奖励，除非已经到达第3格，当有任何一方到达第3格时游戏结束，则游戏结束时恰好划拳3次的概率为（

）0123A． B． C． D．8．如图，在棱长为的正方体中，点是平面内的一个动点，当时，点的轨迹长度是（

）A． B． C． D．二、多选题9．下列叙述正确的是（

）A．互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件B．已知，，如果，互斥，那么C．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件D．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么事件“至多一件一等品”的概率为10．在棱长为2的正方体中，动点满足（其中），则（

）A．三棱锥的体积随的改变而变化 B．平面C．平面平面 D．11．在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立，发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为.若在信道内依次发送信号1，0，为了检验，收到信号的一端将收到的信号发回到输入端.下列说法正确的是（

）A．“收到的信号为1，0”是“传回的信号为1，0”的充分条件B．“收到的信号为1，0”与“传回的信号为1，0”不一定是相互独立的C．若，则事件“传回的信号为1，0”的概率一定大于0.25D．若，，则事件“传回的信号为1，0”的概率为31.68%三、填空题12．若事件和相互独立，，，则.13．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字，记为，再由乙猜甲刚才想的数字把乙猜的数字记为，且，，若，则称甲乙“心有灵犀”现任意找两个人玩这个游戏，得出他们”心有灵犀”的概率为．14．正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形），数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体､正六面体､正八面体､正十二面体､正二十面体.已知球O是棱长为2的正八面体的内切球，MN为球O的一条直径，点为正八面体表面上的一个动点，则的取值范围是.四、解答题15．经调查某市三个地区存在严重的环境污染，严重影响本地区人员的生活．相关部门立即要求务必加强环境治理，通过三个地区所有人员的努力，在一年后，环境污染问题得到了明显改善．为了解市民对城市环保的满意程度，开展了一次问卷调查，并对三个地区进行分层抽样，共抽取40名市民进行询问打分，将最终得分按分段，并得到如图所示的频率分布直方图．(1)求频率分布直方图中a的值，以及此次问卷调查分数的中位数；(2)若分数在区间的市民视为对环保不满意的市民，从不满意的市民中随机抽出两位市民做进一步调查，求抽出的两位市民来自不同打分区间的概率．16．年级教师元旦晚会时，“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”参加一项趣味问答活动．该活动共有两个问题，如果参加者两个问题都回答正确，则可得到一枝“黑玫瑰”奖品．已知在第一个问题中“玲儿姐”回答正确的概率为，“玲儿姐”和“关关姐”两人都回答错误的概率为，“关关姐”和“页楼哥”两人都回答正确的概率为；在第二个问题中“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”回答正确的概率依次为．且所有的问答中回答正确与否相互之间没有任何影响．(1)在第一个问题中，分别求出“关关姐”和“页楼哥”回答正确的概率；(2)分别求出“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”获得一枝“黑玫瑰”奖品的概率，并求三人最终一共获得2枝“黑玫瑰”奖品的概率．17．如图，在四棱锥中，，为棱的中点，平面.(1)证明：平面(2)求证：平面平面(3)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正切值.18．乒乓球被称为中国的“国球”，在2024年巴黎奥运会乒乓球比赛中，中国乒乓球队包揽五块金牌.11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜（比如：比分为，得12分者胜），该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立.在某局双方10：10平后，甲先发球.(1)若两人又打了2个球比赛结束且甲获胜的概率为，求的值；(2)若满足（1）中条件取值，记事件“两人又打了4个球该局比赛结束”，事件“两人又打了个球该局比赛结束”.（i）求；（ii）直接写出.19．如图，在矩形ABCD中，，，M是线段AD上的一动点，将沿着BM折起，使点A到达点的位置，满足点平面且点在平面内的射影E落在线段BC上.

(1)当点M与端点D重合时，证明：平面；(2)求三棱锥的体积的最大值；(3)设直线CD与平面所成的角为，二面角的平面角为，求的最大值.《福建省泉州市惠安亮亮中学2025-2026学年高二上学期9月月考数学试题》参考答案题号12345678910答案ADABADDDABDBC题号11答案BC1．A【分析】由向量的坐标运算法则结合条件即得.【详解】，，，解得或.故选：A2．D【分析】根据给定的试验过程，分析事件含有的基本事件情况逐项判断即可.【详解】对于A，“至少有一枚炮弹击中飞机”包含两种情况：一种是恰有一枚炮弹击中飞机，另一种是两枚炮弹都击中飞机，即发生，必发生，因此，A正确；对于B，显然事件是事件的对立事件，因此，B正确；对于C，“恰有一枚炮弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没击中或第一枚没击中第二枚击中，因此，C正确；对于D，包含该试验的所有样本点，为必然事件，而事件表示“两个炮弹都击中飞机或者都没击中飞机”，因此，D错误.故选：D3．A【分析】找出组随机数中代表“次中至少两次投中环以上”的数组的组数，结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】由题意可知，随机模拟试验产生了如下组随机数中，代表“次中至少两次投中环以上”的数组共组，因此，该选手投掷轮，可以拿到优秀的概率为.故选：A.4．B【详解】设与中至少有一个不闭合的事件为与至少有一个不闭合的事件为，则，所以灯亮的概率为，故选B.【方法点睛】本题主要考查独立事件、对立事件的概率公式，属于难题.解答这类综合性的概率问题一定要把事件的独立性、互斥性与对立性结合起来，要会对一个复杂的随机事件进行分析，也就是说能把一个复杂的事件分成若干个互斥事件的和，再把其中的每个事件拆成若干个相互独立的事件的积，这种把复杂事件转化为简单事件，综合事件转化为单一事件的思想方法在概率计算中特别重要.5．A【分析】记，根据题意结合数量积的运算律可得，代入运算求解即可.【详解】记，因为，且四边形ABCD为平行四边形，则，可得，解得（舍）或，所以．故选：A.6．D【分析】根据事件相互独立的定义判断.【详解】由题意知，，所以C与D不相互独立，，所以A与D不相互独立，，所以B与D不相互独立，，所以A与C相互独立，故选：D【点睛】方法点睛：判断事件A与B是否相互独立，根据事件相互独立的定义关键看是否成立.7．D【分析】游戏结束时，有可能是甲到达第3格，也有可能是乙到达第3格，根据每一步的情况，结合独立事件和互斥事件概率公式，即可求解.【详解】设事件“第次划拳甲赢”为，事件“第次划拳甲平局”为，事件“第次划拳甲输”为，则，则游戏结束时恰好划拳3次的概率为故选：D8．D【分析】连接，，，，可证得平面，求出和，利用勾股定理表示，得到点的轨迹，即可求解.【详解】设平面，连接，，，，因为，，所以三棱锥为正三棱锥，因为平面，平面，所以，因为，，所以平面，又平面，所以，同理可证，又，平面，所以平面，则为正三角形的中心，则，所以，因为，所以，因为平面，平面，所以，即，，因为，即，因为，解得，所以点的轨迹是半径为的圆，所以点的轨迹长度是.故选：.9．ABD【分析】由互斥事件和对立事件的定义判断A；由互斥事件的加法公式判断B；由互斥事件的概念判断C；求出事件“至多一件一等品”的概率，即可判断D.【详解】解：对于A，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，它可以同时不发生，对立事件是必有一个发生的互斥事件，故A正确；对于B，已知，，如果，互斥，那么，故B正确；对于C，由给定条件知，至少有一个黑球与至少有一个红球这两个事件都含有一红一黑的两个球这一基本事件，即它们不互斥，故C错误；对于D，5件产品中任取两件有10个基本事件，它们等可能，其中“至多一件一等品”的对立事件为“恰两件一等品”，有3个基本事件，从而所求概率为，D正确．故选：ABD.10．BC【分析】证明平面判断A；由面面平行说明判断B；由正三角形说明判断D；证明平面判断C作答.【详解】因为动点满足（其中），所以点在线段上运动；对于A，在正方体中，，，即四边形为平行四边形，如图，则，而平面，平面，则有平面，因此，点P到平面的距离为定值，而面积是定值，则三棱锥的体积不变，A错误；对于B，由选项A知，平面，同理平面，而，平面，则有平面平面，又平面，因此，平面，B正确；对于C，如图连接，在正方体中，，而平面，平面，则，又，平面，有平面，平面，于是得，同理，因，平面，则平面，平面，所以平面平面，C正确；对于D，如图，连接，显然是正三角形，当点P与点B重合时，，点P在运动过程中，不是总有成立，D错误.故选：BC.11．BC【分析】A选项，计算出收到信号为1，0和传回信号为1，0的概率，故“收到的信号不为1，0”时，“传回的信号也可能为1，0”，A错误；B选项，设传回信号为1，0为事件A，收到信号为1，0为事件B，计算出则，与，举出反例得到不一定等于，故B错误；C选项，得到，由基本不等式得到，C正确；D选项，代入计算即可.【详解】A选项，收到信号为1，0的概率为，则传回信号为1，0的概率为，即“收到的信号不为1，0”时，“传回的信号也可能为1，0”，显然“收到的信号为1，0”不是“传回的信号为1，0”的充分条件，A错误；B选项，收到信号为0，0的概率为，则传回信号为1，0概率为，收到信号为1，0的概率为，则传回信号为1，0的概率为，收到信号为0，1的概率为，则传回信号为1，0的概率为，收到信号为1，1的概率为，则传回信号为1，0的概率为，所以传回信号为1，0概率为，设传回信号为1，0为事件A，收到信号为1，0为事件B，则，，，则不一定等于，比如当时，，而，故“收到的信号为1，0”与“传回的信号为1，0”不一定是相互独立的，B正确；C选项，由得，，而，而，即不能取等号，故，所以，C正确；D选项，由，，则，D错误.故选：BC.【点睛】结论点睛：当时，两事件独立，反之，当两事件独立时，.12．【分析】根据相互独立事件概率乘法公式以及容斥原理即可得出答案.【详解】因为事件与独立，所以事件与事件独立，故，根据容斥原理可知：.故答案为：13．【分析】由题意知是古典概型，从0~9中任意取两个数共有100种取法，列出满足所有可能情况，代入公式得到结果．【详解】由题意知本题是一个古典概型，试验发生的所有事件是从，，，，，，，，，十个数中任取两个共有种不同的结果，则的情况有；；；；；；；；；；；；；；；；；；；；；；；；；；；共种情况，他们”心有灵犀”的概率为．故答案为：．14．【分析】利用等体积的方法得到正八面体的内切球半径，然后将转化为，最后求范围即可.【详解】由题意得为正方形的中心，取中点H，连接，，因为为正八面体，所以平面，，，，，设正八面体的内切球半径为，则,所以，解得，，由图可知，当点在正八面体的顶点时，最大，为，当点在切点，最小，为，所以，即.故答案为：.15．(1)，中位数为（分）(2)【分析】（1）根据小矩形的面积之和为即可求出，再根据频率分布直方图求出中位数即可；（2）分别求出和的市民人数，再根据古典概型即可得解.【详解】（1）由题意可得，解得，由，可得此次问卷调查分数的中位数在上，设为，则，解得，所以此次问卷调查分数的中位数为（分）；（2）的市民有人，记为a，b，的市民有人，记为1，2，3，4，则从中抽取两人的基本事件有：共15种，其中两人来自不同的组的基本事件有8种，则所求概率为.16．(1)“关关姐”和“页楼哥”回答正确的概率分别为；(2)“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”获得一枝“黑玫瑰”奖品的概率分别为三人最终一共获得2枝“黑玫瑰”奖品的概率【分析】（1）根据独立事件的乘法公式分别求解即可；（2）综合应用独立事件的乘法公式和互斥事件的概率加法公式分别求解即可.【详解】（1）记“玲儿姐回答正确第个问题”，“关关姐回答正确第个问题”，“页楼哥回答正确第个问题”，.根据题意得，所以；，所以；故在第一个问题中，“关关姐”和“页楼哥”回答正确的概率分别为和.（2）由题意知，“玲儿姐”获得一枝“黑玫瑰”奖品的概率为；“关关姐”获得一枝“黑玫瑰”奖品的概率为；“页楼哥”获得一枝“黑玫瑰”奖品的概率为；三人最终一共获得2枝“黑玫瑰”奖品的概率为.所以“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”获得一枝“黑玫瑰”奖品的概率分别为；三人最终一共获得2枝“黑玫瑰”奖品的概率为.17．(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【分析】（1）因为且，所以为平行四边形，则，利用线面平行的判定定理即可得证；（2）由已知可得，，由线面垂直的判定定理可得面，进而即可证得结论；（3）由平面可得，作于，可知面，所以为直线与平面所成角，在直角中求解即可．【详解】（1）∵且，∴四边形为平行四边形，∴，又平面，平面，所以平面.（2）∵平面，平面，∴，连接，∵且，∴四边形为平行四边形，∵，，∴平行四边形为正方形，∴，又，∴，又，面，∴面，∵面，∴平面平面.（3）∵平面，平面，∴，又，，平面，∴平面，因为平面，∴∴为二面角的平面角，从而，所以，作于，连接，∵平面平面，平面，平面平面，∴面，所以为直线与平面所成角，在直角中，，，，∴，因为面，面，所以，在直角中，，，∴，则直线与平面所成角的正切值为.18．(1)(2)（i）；（ii），.【分析】（1）记表示打第个球是甲胜，由题意可得，求解即可.（2）（i），为奇数