河北省保定市唐县河北省唐县第一中学2025-2026学年高二上学期9月月考数学试题（含解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页河北省保定市唐县河北省唐县第一中学2025-2026学年高二上学期9月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．2．已知空间向量，则在上的投影向量的模为（

）A． B．1 C．2 D．3．直线，则“”的充要条件是（

）A． B．C．或 D．以上均不对4．已知正四面体OABC的棱长为1，点M在OA上，且，点N为BC中点，则用基底表示为（

）A．B．C．D．5．已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（

）A． B． C． D．6．若直线经过圆的圆心，则的最小值为（

）A． B． C． D．7．已知点和，在轴上求一点，使最小，那么点的坐标为（

）A． B． C． D．8．如图，在三棱锥中，，，，点，，满足，，，则直线与所成的角余弦值为（）A． B． C． D．二、多选题9．已知直线l过点，，则（

）A．点在直线l上B．直线l的两点式方程为C．直线l的一个方向向量的坐标为D．直线l的截距式方程为10．设圆，则下列命题正确的是（

）A．所有圆的面积都是 B．存在，使得圆C过点C．经过点的圆C有且只有一个 D．不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上11．如图，正方体的棱长为2，点E在线段上运动，则（

）

A．三棱锥的体积为定值B．C．若E为线段的中点，则点E到直线的距离为D．存在某个点E，使直线与平面所成角为三、填空题12．与圆有相同圆心，且过点的圆的标准方程是.13．已知平面外一点，平面内一点，平面的一个法向量，则点A到平面的距离为.14．我们知道关于的二元一次方程表示直线，但有的二元二次方程也能表示直线，比如表示的就是和两条直线.（1）方程表示的直线与轴围成的面积为；（2）若方程表示的是两条直线，则为.四、解答题15．已知空间向量，，．(1)若，求；(2)若，求的值．16．已知直线.(1)求经过点且与直线垂直的直线方程；(2)求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程.17．如图，在四棱锥中，底面是正方形，，是的中点.

(1)证明：平面；(2)若平面平面，，，求直线与平面所成的角的正弦值.18．已知圆的圆心在轴上，并且过，两点．(1)求圆的方程；(2)若为圆上任意一点，定点，点满足，求点的轨迹．19．如图，在四棱锥上，底面为直角梯形，，，平面平面，为的中点，是棱上的点（不含端点），，，.

(1)求证：平面平面；(2)若二面角大小为，求的值.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《河北省保定市唐县河北省唐县第一中学2025-2026学年高二上学期9月月考数学试题》参考答案题号12345678910答案CABDCBDDBDAD题号11答案ABC1．C【分析】由斜率与倾斜角的关系计算即可得.【详解】由题意可得，故.故选：C.2．A【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的坐标表示求解.【详解】由向量，得，，则在上的投影向量为，所以在上的投影的模为．故选：A3．B【分析】先根据两直线平行的条件列出方程，求出可能的值，再分别代入检验两直线是否重合，从而确定两直线平行的充要条件.【详解】因为直线，当时，，解得或，当时，，此时两直线重合，舍去，又时，，此时，所以“”的充要条件是“”.故选：B.4．D【分析】根据空间向量基本定理进行求解即可.【详解】因为N为BC的中点，则，所以，，则，因此，．故选：D5．C【分析】先利用直线的斜率公式计算，；再结合图形，利用直线与线段有交点的条件建立不等式，即可得出结果.【详解】由直线的斜率公式可得：；.结合图形，要使直线l经过点，且与线段AB有交点，l的斜率需满足或.故选：C.6．B【分析】由直线过圆心得到，再结合乘“1”法即可求解.【详解】由，可得圆心坐标，因为直线过圆心，所以，即，所以（当且仅当，即）取等号，所以的最小值为，故选：B7．D【分析】先找到点关于轴的对称点，根据两点之间线段最短，连接与轴的交点即为所求的点.【详解】对于点关于轴的对称点为.已知，那么关于轴的对称点.设直线的方程为.根据两点求斜率公式，可得.把和代入得，解得.所以直线的方程为.因为点在轴上，令，代入得，解得.所以点的坐标为.故选：D.8．D【分析】设，，，利用空间向量运算得，，利用数量积的运算律求解数量积，即可解答.【详解】设，，，则

，，，，所以

，故直线与所成的角余弦值为0.故选：D.9．BD【分析】应用两点式、方向向量求斜率判断A、C；写出直线的两点式和截距式判断B、D.【详解】A：因为直线l过点，，所以直线l的斜率为，设，则，故点不在直线l上，错；B：直线l的两点式方程为，对；C：若直线l的一个方向向量的坐标为，则，与A分析不符，错；D：由B中两点式方程，整理得截距式方程为，对.故选：BD10．AD【分析】对于A，直接由圆的半径是，即得到答案；对于B，利用不等式说明圆C必定不过即可；对于C，给出和作为例子即可；对于D，说明圆心总在上即可.【详解】对于A，由于每个圆的半径都是，故面积都是，A正确；对于B，由于，故圆C必定不过，B错误；对于C，对和，均有，故，即圆C经过点，C错误；对于D，圆心始终在直线上，D正确.故选：AD.11．ABC【分析】利用正方体的性质，结合三棱锥体积公式、线线垂直判定、点到直线距离公式，线面角的定义来逐一分析选项.【详解】对于A,,所以A正确.对于B,连接，如图：

在正方体中，，所以平面，又因为平面，所以，所以B正确.对于C,当E为线段的中点，以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系：

则，即所以点E到直线的距离，所以C正确.对于D,由上面空间直角坐标系可知，，

所以平面的法向量，设，则，设直线与平面所成角为，则，若直线与平面所成角为，则，又，所以方程无解，D错误.故选：ABC.12．【分析】首先化简已知圆的方程得圆心，进一步由两点间距离得半径，由此即可得解.【详解】圆的标准方程为，则圆心，因为圆过点半径，则圆的标准方程为.故答案为：.13．/【分析】求出，根据点到平面距离的向量公式进行求解即可.【详解】，故点A到平面的距离为.故答案为：14．0【分析】（1）由题可知表示的直线为和，联立方程组，求出两直线交点坐标，以及两直线与轴交点坐标，结合三角形面积公式即可求解；（2）由方程特点可知该方程必能表示为两个二元一次式的乘积，设，比较系数即可求解.【详解】（1）由题可知表示的直线为和，联立方程组，解得，所以两直线交点为，两直线与轴交点分别为和.故两直线与轴围成的三角形面积为.（2）由方程特点可知该方程必能表示为两个二元一次式的乘积，设，即，所以，所以，所以.故答案为：；.15．(1)；(2).【分析】（1）根据向量垂直的坐标表示列方程求得，进而应用坐标求模长；（2）根据向量平行的坐标表示求得，再由向量夹角的坐标公式求夹角余弦值.【详解】（1）空间向量，，因为，所以，解得，所以，则．（2）因为，则存在实数k，使得，所以，解得，则，故．16．(1)(2)或【分析】（1）根据直线的斜率可设所求直线方程为，代入点即可求解；（2）联立直线与的方程可得交点坐标，分截距为0和截距不为0两种情况分别求解.【详解】（1）由直线可得斜率为，所以根据垂直关系可设所求直线方程为，则依题意有，解得，所以所求直线方程为，整理得；（2）联立，解得，即直线与的交点为，当直线经过原点时，满足题意，设直线方程为，代入得，此时；当直线的截距都不为0时，设直线方程为，依题意，解得，此时直线方程为，综上所述：所求直线方程为或.17．(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接辅助线，利用中位线定理可得，根据线面平行判定定理即可证明；（2）建立空间直角坐标系，求出向量的坐标，平面的法向量坐标，根据直线与平面所成角的向量公式求解线面角的正弦值即可.【详解】（1）如图，连接与相交于点，连接，正方形的对角线和交于点，又，，又平面，平面，平面.

（2）如图，因为平面平面，平面平面，过点在平面内作的垂线，可得垂线垂直于平面，又因为，则以为坐标原点，向量，方向分别为，轴的正方向，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则，，，，又由，，，可得点的坐标为，点的坐标为，设平面的法向量为，由，，有，取，，，可得平面的一个法向量为，又由，有，故直线与平面所成的角的正弦值为.18．(1)(2)以为圆心，为半径的圆【分析】（1）从A，两点坐标可看出线段平行于轴，则它的垂直平分线垂直于轴，所以线段的垂直平分线与轴的交点为圆心,圆心到点的距离为半径，从而得到求圆C的方程．（2）设,,将向量式进行坐标表示，得到与，与的关系，因为点为圆上任意一点，所以利用圆的方程(即与关系)，进而得到与的关系(即点Q的轨迹方程)，从而得到点Q的轨迹.【详解】（1）因为圆过A,B两点,所以圆心C在线段的垂直平分线上.因为,所以线段的中点为,直线AB的斜率，所以线段的垂直平分线斜率不存在,方程为:.因为圆C的圆心在轴上,所以线段的垂直平分线与轴的交点为圆心,所以圆心为.又半径，所以圆的方程为:．（2）设，．由，得,所以即因为点在圆上，所以，所以，化简整理得的轨迹方程为:，所以点的轨迹是:以为圆心，为半径的圆．19．(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据题设条件，首先证明四边形为平行四边形，从而得到.再利用，证明.最后利用平面平面的条件，证明平