江苏省无锡市江阴高级中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试卷（含解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页江苏省无锡市江阴高级中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合，，则（

）A． B． C． D．2．已知复数在复平面内对应的点在坐标轴上，则的值不可能是（

）A．3 B．4 C．5 D．3．如图，在等腰梯形中，，，点为线段的中点，点是线段上一点，且，则（

）

A． B． C． D．4．若，则（

）A． B． C． D．5．已知为数列的前项和且，则的值为A．8 B．10 C．16 D．326．已知正三棱锥的外接球的表面积为，侧棱，点为的中点，过点作球的截面，则所得截面图形面积的取值范围为（

）A． B． C． D．7．函数的值域是（

）A． B．C． D．8．已知为双曲线右支上一点，过点分别作的两条渐近线的平行线，与另外一条渐近线分别交于点，则（

）A． B． C． D．二、多选题9．一半径为4米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则（

）A．点P第一次到达最高点需要20秒B．当水轮转动155秒时，点P距离水面2米C．当水轮转动50秒时，点P在水面下方，距离水面2米D．点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的函数解析式为10．已知函数不是常函数，且图象是一条连续不断的曲线，记的导函数为，则（

）A．存在和实数，使得B．不存在和实数，满足C．存在和实数，满足D．若存在实数满足，则只能是指数函数11．已知内角，，的对边分别为，，，为的重心，，，则（

）A． B．C．的面积的最大值为 D．的最小值为三、填空题12．在中，为中线，，则等于.13．已知函数有两条与直线平行的切线，且切点坐标分别为，则的取值范围是．14．已知函数满足对，都有，且，若的图象在处的切线方程为，则的图象在处的切线方程为.四、解答题15．已知函数（，）在一个周期内的图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象．

(1)求的单调递增区间；(2)在中，若，，，求．16．算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具.如图，算盘多为木制，内嵌有九至十五根直杆（简称档），自右向左分别表示个位､十位､百位､，梁上面一粒珠子（简称上珠）代表5，梁下面一粒珠子（简称下珠）代表1，五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.（例如，个位拨动一粒上珠､十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字15.）现将算盘的个位､十位､百位分别随机拨动一粒或两粒珠子至梁上.(1)设事件为“表示的三位数能被5整除”，为“表示的三位数能被3整除”.分别求事件，发生的概率；(2)求随机变量“表示的三位数除以3的余数（能整除时记余数为0）”的概率分布列及数学期望.17．在三棱锥中，底面分别为的中点，为线段上一点，平面底面．(1)若，求二面角的余弦值；(2)求．18．设函数．（1）当时，函数与在处的切线互相垂直，求的值；（2）若函数在定义域内不单调，求的取值范围；（3）是否存在正实数，使得对任意正实数恒成立？若存在，求出满足条件的实数；若不存在，请说明理由．19．已知数列一共有项，成公差不为的等差数列，对任意的成等差数列，且对于不同的，其公差为同一个非零常数．(1)若，求数列的各项之和；(2)证明：成等差数列；(3)从中任取三个数，记成等差数列且也成等差数列的概率为，证明：．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《江苏省无锡市江阴高级中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试卷》参考答案题号12345678910答案CBCCDBCCABCAC题号11答案ABC1．C【分析】结合一元二次不等式化简集合，再由交集运算即可求解.【详解】，则.故选：C2．B【分析】在复平面内对应的点在坐标轴上，计算出的值，得到复数，再求的值.【详解】复数，在复平面内对应的点在坐标轴上，则或，解得或或，即或或，时；时；时.不可能.故选：B3．C【分析】根据题意，利用向量的线性运算法则，化简得到，结合题意，列出方程组，求得，得到，即可求解.【详解】由等腰梯形中，，，点为线段的中点，由点是线段上一点，设，则，因为，可得，解得，所以，所以.故选：C.

4．C【分析】在中，用两角和的余弦公式展开，再利用辅助角公式化简得到，再利用二倍角的余弦公式展开计算即可.【详解】由和两角和的正弦公式，得，由辅助角公式整理得，，由二倍角的余弦公式，.故选：C【点睛】本题主要考查三角恒等变换的综合应用，包括了两角和的正弦公式、辅助角公式和二倍角的余弦公式，考查学生的分析转化能力和计算能力，属于中档题.5．D【详解】两式相减得：是首项为2，公比为2的等比数列故选D.6．B【分析】根据题意，先确定球心的位置，进而结合，用球心到过点的截面圆的距离的取值范围可得的取值范围，从而得到结果.【详解】设正三棱锥的外接球的半径为，则，得.假设正三棱锥中，外接圆的圆心，则球心在上，设，外接圆的半径为即，两式相减得，又，解得，所以外接圆的圆心是球心.如图所示：设球心到过点的截面圆的距离为，截面圆的半径为，则，因为球心到过点的截面圆的距离的最大值为，所以的最小值为，又因为点在为半径的圆面上，则球心到过点的截面圆的距离的最小值为，所以的最大值为，总上可知，，即所以截面圆的面积的取值范围为.故选：B.7．C【分析】应用二倍角公式和两角差的正弦公式化函数为形式，然后由正弦函数性质得值域．【详解】由已知，∵，∴，∴．故选：C．【点睛】本题考查求三角函数的值域，考查二倍角公式和两角差的正弦公式，考查正弦函数的性质，解题关键是把函数化为形式．8．C【分析】根据设出，与双曲线渐近线方程联立分别求出，，易得四边形是平行四边形，则得，再结合，从而可求解.【详解】设坐标原点为，易知的渐近线的方程为，联立解得，不妨取，同理可得，则，因为四边形是平行四边形，于是，由于点在上，所以，因此，故C正确.故选：C．9．ABC【解析】设点P距离水面的高度h（米）和时间t（秒）的函数解析式为,根据题意，求出的值，对照四个选项一一验证.【详解】设点P距离水面的高度h（米）和时间t（秒）的函数解析式为，由题意得：解得：∴.故D错误；对于A.令h=6，即，解得：t=20，故A对；对于B令t=155，代入，解得：h=2，故B对；对于C.令t=50，代入，解得：h=-2，故C对.故选：ABC【点睛】(1)多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证；(2)在实际问题中求三角函数解析式的方法：①求A通常用最大值或最小值；②求ω通常用周期；③求φ通常利用函数上的点代入即可求解.10．AC【分析】通过举反例，利用导数法则及对数函数的运算、诱导公式依次判断各选项，即可得出结果.【详解】令，则存在实数使得，A正确；存在，故B错误；令，则，C正确；若，，故D错误．故选：AC．11．ABC【分析】延长交于点，根据平面向量的线性运算可得出，可判断选项A；结合，利用平面向量的数量积定义、数量积运算法则及基本不等式可判断选项B；由和平面向量数量积的定义可得出，由求出，再根据三角形面积公式可判断选项C；结合选项B得出，再利用余弦定理即可判断选项D.【详解】延长交于点.因为是的重心，所以点是中点，，则.对于选项A：因为，故选项A正确；对于选项B：由得：，所以，当且仅当时等号成立.又因为，即，，所以，即，当且仅当时等号成立，故选项B正确；对于选项C：因为，当且仅当时等号成立，，所以，故选项C正确；对于选项D：由，，得，所以由余弦定理可得：，即，当且仅当时等号成立，所以的最小值是，故选项D错误.故选：ABC.12．8【分析】根据题意结合数量积的运算律即可得到答案.【详解】因为为中线，，则，可得.故答案为：8.13．【分析】根据切线的斜率列方程，化简后利用根与系数关系、判别式等知识求得的取值范围.【详解】由题意可知的定义域为，所以，,由导数的几何意义可得，切点为时，切线斜率为，切点为时，切线斜率为．又∵两条切线与直线平行，可得，即，所以是关于方程的两根，由，又，可得，所以．故答案为：14．【分析】根据给定条件，利用赋值法求出，再探求函数的周期性、奇偶性即可求解得答案.【详解】由及，得，依题意，点在的图象上，即，因为，都有，则取，有，又，于是，取，有，即，则，有，因此函数是周期为8的周期函数，又取，有，即有，因此函数是偶函数，于是函数的图象在处的切线与在处的切线关于y轴对称，则函数的图象在处的切线方程是，其斜率为，又，的图象在处的切线斜率为，所以的图象在处的切线方程为，即.故答案为：【点睛】思路点睛：涉及抽象函数等式问题，利用赋值法探讨函数的性质，再借助性质即可求解.15．(1)(2)或．【分析】（1）由函数的图象，求得，再由三角函数的图象变换，得到，结合三角函数的性质，即可求解；（2）因为，求得或，结合余弦定理和勾股定理，即可求解.【详解】（1）解：由函数的图象，可得，即，所以，又由最高点是，所以，即，因为，所以，可得，所以，将的图象向左平移个单位长度得到的图象，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象．令，所以，故的单调递增区间为．（2）解：因为，所以．又因为，所以，所以或，所以或，当时，由余弦定理得，所以；当时，由勾股定理，得，所以．故边的长为或．16．(1)(2)分布列见解析，【分析】（1）根据古典概型概率计算公式求得事件，发生的概率.（2）结合（1）求得分布列并求得数学期望.【详解】（1）将算盘的个位､十位､百位分别随机拨动一粒或两粒珠子至梁上，因此各位上数字可以是1､2､5､6，三位数的个数是，要使得组成的三位数能被5整除，则只需个位数是5即可，而这些数中个位数是5的数的个数为，所以事件发生的概率要使得组成的三位数能被3整除，则数字组合有共8种，因此满足条件的三位数有个，所以事件发生的概率.故.（2）记三位数除以的余数为，则的可能取值为，由（1）知时数字组合有共6种，因此被整除余1的三位数有个，所以，，X的概率分布列为：012数学期望.17．(1)(2)【分析】（1）连接交于点，连接，证明，由面面垂直性质定理可得平面，建立空间直角坐标系，求平面的一个法向量，求平面的一个法向量，则可得二面角的余弦值；（2）由（1）平面，得，又得，则得，又，故．【详解】（1）连接交于点，连接，因为分别为的中点，所以，，，所以，则，所以，又平面底面，平面底面，平面，所以平面.以为坐标原点，所在的直线分别为轴，过点作垂直于平面的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，,，,得平面的一个法向量为,设平面的一个法向量为，则，可得，令，则，设二面角为，由图可知为锐角，则，故二面角的余弦值为．（2）由（1）知，平面，又平面，所以，因为底面，平面，则，又平面，故，又，所以．18．（1）;（2）；（3）．【分析】（1）本小题主要利用导数的几何意义，求出切线斜率；当时，，可知在处的切线斜率，同理可求得，然后再根据函数与在处的切线互相垂直，得，即可求出结果．（2）易知函数的定义域为，可得，由题意，在内有至少一个实根且曲线与x不相切，即的最小值为负，由此可得，进而得到，由此即可求出结果.（3）令，可得，令，则，所以在区间内单调递减，且在区间内必存在实根，不妨设，可得，(*)，则在区间内单调递增，在区间内单调递减，∴，，将(*)式代入上式，得．使得对任意正实数恒成立，即要求恒成立，然后再根据基本不等式的性质，即可求出结果．【详解】（1）当时，，∴在处的切线斜率，由，得，∴，∴．（2）易知函数的定义域为，又，由题意，得的最小值为负，∴．(注：结合函数图象同样可以得到)，∴∴，∴；（3）令，其中，则，则，则，∴在区间内单调递减，且在区间内必存在实根，不妨设，即，可得，(*)则在区间内单调递增，在区间内单调递减，∴，，将(*)式代入上式，得．根据题意恒成立，又∵，当且仅当时，取等号，∴，∴，代入(*)式，得，即，又，∴，∴存在满足条件的实数，且．【点睛】思路点睛:对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于或小于等于常数问题,可以求函数最值的方法,一般通过变量分离，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，然后再构造辅助函数，利用恒成立；恒成立，即可求出参数范围.19．(1)45(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）由，及数列的定义求出数列的每一项，即可得到数列的各项之和；（2）首先把数列排成方阵，根据题意理解该数列的每行每列成等差数列，再用等差数列的定义证明左上至右下的对角线上的数成等差数列即可；（3）分为奇偶，进行分类讨论，求出成等差数列且也成等差数列的总可能数，利用古典概型求出，再进行放缩和比较大小.【详解】（1）由题意得，又由数列的定义知，则可得数