2025-2026学年湖南省衡阳市一中教育集团九年级上学期第一次月考数学试卷

2025-2026学年湖南省衡阳市一中教育集团九年级上学期第一次月考数学试卷一、单选题(★★)1.使二次根式有意义的的取值范围是（）

A．B．C．D．(★)2.下列式子中，属于最简二次根式的是（）

A．B．C．D．(★★)3.下列计算正确的是（）

A．B．C．D．(★★★)4.一元二次方程配方后可变形为（）

A．B．C．D．(★★)5.下列各组二次根式，化简后可以合并的是（）

A．与B．与C．和D．与(★★)6.下列关于的方程中，一定是一元二次方程的是（）

A．B．C．D．(★)7.若一元二次方程的一个根为1，则a的值为（）

A．3B．C．4D．(★★★)8.若一元二次方程的两个实数根分别是，则一次函数的图像一定不经过（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(★★)9.若关于的一元二次方程有实数根，则取值范围是（）

A．B．C．且D．且(★★★)10.我国古代数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程，即为例说明，记载的方法是：构造如图1，大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．在正方形网格中，若图2是某个一元二次方程（正根）的几何解法，则这个方程是（）

A．B．C．D．二、填空题(★)11.计算的结果是_________．(★)12.方程的解为：___________(★★)13.若关于的一元二次方程的一个根为，则另一个根为______．(★★)14.若是关于的一元二次方程的一个实数根，则代数式的值为___________(★★)15.若直角三角形的两直角边、满足，则这个直角三角形的斜边___________．(★★★)16.等腰三角形ABC的三条边长分别为4，a，b，若关于x的一元二次方程x2+(a+2)x+6－a=0有两个相等的实数根，则△ABC的周长是________．(★★)17.如图，在一块长、宽的矩形空地上修建同样宽的两条道路，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为．则道路的宽为______．(★★★)18.对于实数，，定义运算“*”：．例如，因为，所以．若是一元二次方程的两个根，则____．三、解答题(★★)19.计算：(★★)20.解一元二次方程：(1)；(2)．(★★★)21.先化简，再求值：，其中．(★★★)22.已知关于的方程．(1)求证：无论取何值，该方程总有两个实数根：(2)若方程的一个根小于1，求的取值范围．(★★★)23.公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；(2)若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？(★★★)24.已知平行四边形的两边长，是关于的一元二次方程的两个实数根．(1)若的长为，求的值；(2)当为何值时，平行四边形为菱形；(3)是否存在使得平行四边形为对角线长为的矩形？若存在，请求出的值以及矩形面积；若不存在，请说明理由．(★★★★)25.配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或者几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”．(1)已知13是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式___________(2)已知，则___________；(3)已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由；(4)已知实数满足，求的最值．(★★★)26.如图所示，中，．(1)点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使的面积等于？(2)点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发