黑龙江省哈尔滨市省实验中学2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题 含解析

黑龙江省实验中学2025-2026学年度

高二学年上学期期中考试

数学学科试题

考试时间：120分钟总分：150分

一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是

符合题目要求的．

1.若直线，下列直线与平行的是（）

A.B.

CD.

【答案】D

【解析】

【分析】利用两条直线平行时的条件即可求出.

【详解】直线，其中、、，

对于选项，、、，此时，，，两条直线不平行，

故不正确.

对于选项，、、，此时，，，两条直线不平行，故

不正确.

对于选项，、、，此时，，，两条直

线重合，故不正确.

对于选项，、、，此时，，，两条直线平

行，故正确.

故选：.

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2.点关于轴的对称点为，则点到直线的距离为（）

A.B.3C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】确定Q的坐标，利用点到直线的距离公式，即可得答案.

【详解】由题意知点关于轴的对称点为，则，

故点到直线的距离为，

故选：C

3.抛物线方程为，则此抛物线的准线为（）

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】

【分析】先化为标准抛物线形式，再由准线方程可得.

【详解】抛物线方程为，则，可得，抛物线的准线为.

故选：D．

4.画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以

椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆，已知椭圆的蒙日圆

是，若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则

的值为（）

A.或B.或C.D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，得到蒙日圆方程为，根据蒙日圆与圆只有一个

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公共点，结合圆与圆的位置关系，得到或，求得的值，即可得到

答案.

【详解】由椭圆的方程，可得且，且蒙日圆方程为，

可得蒙日圆的圆心为原点O，半径为，

又由圆的圆心为，半径为2，

因为两圆只有一个公共点，则两圆外切或内切，

可得或，

又因为，所以或，

解得或．

故选：B．

5.已知椭圆的左､右焦点分别为是椭圆上任意一点.若，则椭圆

的离心率为（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】

分析】根据椭圆方程及其定义和焦点位置得，进而求离心率.

【详解】由题设，且，则，

所以.

故选：B

6.双曲线的渐近线方程为，则（）

A.2B.C.D.

【答案】A

【解析】

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【分析】根据双曲线方程，即可求得答案.

【详解】由题意知双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，

故其渐近线方程为，结合渐近线方程为，故，

故选：A

7.抛物线有如下光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对

称轴．如下示意图中，手电筒内，在小灯泡的后面有一个反光镜，镜面的形状是一个由抛物线绕它的对称

轴旋转所得到的曲面．该镜面圆形镜口的直径，镜深．为使小灯泡发出的光经镜面反射后，

射出为一束平行光线，则该小灯泡距离镜面顶点的距离应为（）

A.2B.3C.D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据抛物线的方程以及性质即可求解.

【详解】以为坐标原点，以所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系，

则，设平面截该镜面所得的抛物线方程为，

代入，得，

则小灯泡应置于焦点处，故其距离镜面顶点的距离应为.

故选：D

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8.已知抛物线，圆，过圆心作斜率为的直线与抛物线和圆交于四

点，自上而下依次为，若，则的值为（）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据给定条件，可得圆心C为抛物线的焦点，求出弦AB长，设出直线AB方程并与抛物线方程联

立，结合韦达定理求解作答.

【详解】如图，圆的圆心为，半径，

且为抛物线的焦点，抛物线的准线方程为．

设，则．

因为，则，可得．

设直线的方程为，显然，且直线与抛物线必相交，

由得，易知，

所以，解得．

故选：A.

二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．

9.已知点和圆，下列说法正确的是（）

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A.圆心，半径为

B.点在圆外

C.圆关于直线对称

D.设点是圆上任意一点，则的最小值为

【答案】BCD

【解析】

【分析】由圆的方程写出圆心和半径，判断A选项；求并与圆半径比较大小，即可知道点与圆的位置

关系，判断B选项；验证圆心是否在直线上，即可判断C选项；由与圆的半径，求出的范围，

判断D选项.

【详解】圆心，半径为，A选项错误；

∵，∴点在圆外，B选项正确；

∵圆心在直线上，∴圆关于直线对称，C选项正确；

∵，圆半径，∴，D选项正确.

故选：BCD.

10.已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是C上的任意一点，则（）

A.C的离心率为B.

C.的最大值为D.使为直角的点P有4个

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据椭圆的标准方程求出，由离心率定义判断A，由椭圆定义判断B，由椭圆的几何性质判

断C，根据以线段为直径的圆与椭圆交点个数判断D.

【详解】由原方程可得椭圆标准方程为，

，，故A错误；

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由椭圆定义可知，故B正确；

由椭圆的性质知，故C正确；

易知以线段为直径的圆（因为）与C有4个交点，故满足为直角的点有4个，故D

正确.

故选：BCD

11.已知抛物线的焦点为，准线过点，是抛物线上的动点，则（）

A.

B.当时，的最小值为

C.点到直线的距离的最小值为2

D.当时，直线ON的斜率的最大值为

【答案】ABD

【解析】

【分析】对选项A，可根据抛物线的定义计算出的值判断其正确，对BCD选项，可根据抛物线的方程设

抛物线上任意一点的坐标为，将几何问题转化为代数问题进行计算求解.

【详解】根据抛物线的定义，的准线为，

由题意准线过，可求出，抛物线的方程为，选项A正确；

对于选项B，C，D，可设抛物线上的点的动点为，

对于B选项，当时，；

当时，

当且仅当时，等号成立.选项B正确；

对于C选项，直线与抛物线的位置关系如下图所示：

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到直线的距离，

当时，.选项C错误；

对于D选项，可根据向量共线作出示意图：

根据定义求出抛物线的焦点，由得，

当时，；

当时，，

当且仅当时，等号成立.选项D正确.

故选：ABD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12.过点，且在轴、轴上的截距的绝对值相等的直线共有_____________条．

【答案】3

【解析】

【分析】先设直线为或或，计算得出满足截距绝对值相等直线方程即可判断.

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【详解】因为在轴、轴上的截距的绝对值相等的直线，

故设直线为或或，

若直线过点，则，得直线为；

若直线过点，则，得直线为；

若直线过点，则，得直线为；

所以满足条件的直线有3条；

故答案为：3.

13.已知为坐标原点，双曲线的右焦点为，左顶点为，过作的一

条渐近线的垂线，垂足为.若，则的离心率为__________________.

【答案】2

【解析】

【分析】应用点到直线的距离得，结合的关系得，在中应用余弦定理得

，进而有，即得渐近线斜率，根据双曲线参数关系求离心率.

【详解】

由题意，，双曲线的渐近线为，如上图，

设点在上，则，故，

所以，则，故，

所以，故，则椭圆离心率为.

故答案为：2

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14.已知抛物线，F为C的焦点，P，Q为其准线上的两个动点，且．若线段PF，

QF分别交C于点A，B，记的面积为的面积为，当时，直线AB的方程为

___________

【答案】

【解析】

【分析】设直线AB方程及其坐标，将面积之比转化为坐标之间的关系结合韦达定理计算即可.

【详解】显然直线不垂直于轴，设其方程为，

由消去x得：，，

则，由得：，

即，而，于是

，

直线的方程为，则点纵坐标，同理点纵坐标，

又，

由，得，则，，

所以直线AB的方程为，即.

故答案为：

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中面积之比问题，通常利用线段之比来转化，然后设线设点将线段之比化为

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坐标关系，联立直线与圆锥曲线方程结合韦达定理计算即可.

三、解答题：本小题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15.已知，，平面内一动点满足，设动点的轨迹为．

（1）求的方程；

（2）若斜率为的直线与交于，两点，且，求直线的方程．

【答案】（1）

（2）或

【解析】

【分析】（1）设动点，根据结合两点间距离公式运算求解；

（2）设直线，根据垂径定理可得圆心到直线的距离，列式求解即可.

【小问1详解】

设动点，

因为，则，

整理可得，即，

所以动点的轨迹为的方程为.

【小问2详解】

由（1）可知：曲线是以圆心为，半径的圆，

设直线，即，

由题意可得：圆心到直线的距离，

则，解得或，

所以直线的方程为或.

16.已知椭圆过点，椭圆以的长轴为短轴，且与有相同的离心率．

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（1）求椭圆方程；

（2）已知为椭圆的两焦点，若点在椭圆上，且，求的面积．

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）根据点在椭圆上求得方程，结合椭圆、的关系求出椭圆的方程；

（2）利用椭圆定义及余弦定理可得，再由三角形面积公式求面积.

【小问1详解】

因为在上，则，可得，

所以椭圆的方程为，故长轴长为，离心率为，

设椭圆的方程为，

故中，且，则，

所以椭圆的方程为.

【小问2详解】

由题意，在中，而，

又，

所以，故，

所以.

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17.已知抛物线C：的焦点为F，抛物线C上点满足.

（1）求抛物线C的方程；

（2）设点，过D作直线l交抛物线C于A，B两点，证明：是的角平分线.

【答案】（1）

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）根据抛物线的定义即可求得；

（2）根据题意，直线斜率不为0，设其方程为：，和抛物线方程联立，根据韦达定理可得

，即直线与直线的倾斜角互补，得证.

【小问1详解】

由，可得，

所以抛物线C的方程为.

【小问2详解】

根据题意，直线斜率不为0，设其方程为：，，，

由得，由，可得：或，

由韦达定理得：，.

则

，即直线与直线的倾斜角互补，

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所以是的角平分线.

18.已知双曲线的离心率为2，左、右顶点分别为，虚轴的上、下顶点

分别为，且四边形的面积为．

（1）求双曲线的标准方程；

（2）求双曲线的渐近线方程；若为双曲线上的一个动点，求到双曲线两条渐近线距离之积；

（3）已知直线与交于两点，若，求实数的取值范围．

【答案】（1）

（2）渐近线方程为，距离之积为

（3）

【解析】

【分析】（1）计算菱形的面积，再结合离心率可求；

（2）设，根据点到直线的距离公式以及化简；

（3）设线段中点，联立方程组利用韦达定理得出，再根据得出

，再结合可求.

【小问1详解】

由双曲线的几何性质可知，四边形是菱形，且，

则四边形的面积为，

又离心率为，可得，

故双曲线的标准方程为；

【小问2详解】

渐近线方程为，

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设到两条渐近线的距离分别为，

则，则，

因，则，

所以到双曲线两条渐近线距离之积为；

【小问3详解】

设，线段中点，,

联立，消去整理可得，

则且，

即且①，

因，则，

因，则，

则，得，

因且，得且，

因，得或，

综上，实数的取值范围是.

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19.已知椭圆左、右顶点分别为、，是椭圆上异于、的任一点，直线，、

是直线上两点，、分别交椭圆于点、两点．

（1）直线、的斜率分别为、，求的值；

（2）若、、三点共线，，求实数的值；

（3）若直线过椭圆右焦点，且，求面积的最小值.

【答案】（1）

（2）

（3）

【解析】

【分析】（1）由椭圆的方程可得，的坐标，设的坐标，代入椭圆的方程，可得的横纵坐标的关系，

进而求出的值；

（2）由题意设的坐标，可得的坐标，求出直线的方程，令，可得的纵坐标，即求出

的坐标，同理可得的坐标，再由