2026届新高考数学热点精准复习指数函数

2026届新高考数学热点精准复习指数函数指数函数及其性质(1)概念：函数_________(a>0，且a≠1)叫做指数函数．

回归教材y＝ax

(2)指数函数的图象与性质

a>10<a<1图象

定义域_________值域_________性质过定点________，即x＝0时，y＝1当x>0时，__________；当x<0时，__________当x<0时，__________；当x>0时，__________在(－∞，＋∞)上是__________在(－∞，＋∞)上是______R(0，＋∞)(0，1)y>10<y<1y>10<y<1增函数减函数常用结论(1)指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象恒过点(0，1)，(1，a)，

，依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象．(2)任意两个指数函数的图象都是相交的，交点为(0，1)，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称．

(3)指数函数的图象与底数大小的比较：如图所示的是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b.

规律：在y轴右侧，底数越大，图象越高．(简记为：底大图高)1．(课本习题改编)设y＝a－x(a＞0且a≠1)，当a∈________时，y为减函数；此时当x∈________时，0<y<1.

夯实双基

(1，＋∞)(0，＋∞)2.(2025·天津河东区一模)如图，①②③④表示的图象不属于函数y＝3x，y＝2x，y＝

的图象中的一个是(

)A．①

B．②C．③ D．④√解析由指数函数的性质可知①是

的部分图象，③是y＝2x的部分图象，④是y＝3x的部分图象，所以只有②不是．3．(2025·河北武邑中学月考)设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝

，则(

)A．y3>y1>y2 B．y2>y1>y3C．y1>y2>y3 D．y1>y3>y2√解析y1＝21.8，y2＝21.44，y3＝21.5，∵y＝2x在定义域内为增函数，∴y1>y3>y2.4．函数f(x)＝ax－1＋2024(a>0且a≠1)的图象恒过定点__________．(1，2025)5．当x∈[－2，2]时，ax<2(a>0，且a≠1)，则实数a的取值范围是___________________．√授人以渔02PARTTWO题型一

指数型函数的图象及应用

(1)函数f(x)＝21－x的大致图象为(

)√【解析】函数f(x)＝21－x＝2×，在定义域内单调递减且过点(0，2)，A中的图象符合要求．

(2)①若函数y＝|2x－1|的图象与直线y＝b有两个公共点，则实数b的取值范围为________．(0，1)【解析】作出函数y＝|2x－1|的图象与直线y＝b，如图所示．由图象可得实数b的取值范围是(0，1)．②若函数y＝|2x－1|在(－∞，k]上单调递减，则实数k的取值范围为________．(－∞，0]【解析】因为函数y＝|2x－1|的单调递减区间为(－∞，0]，所以k≤0，即实数k的取值范围为(－∞，0]．③若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则实数b的取值范围是________．[－1，1]【解析】作出曲线|y|＝2x＋1，如图所示，要使该曲线与直线y＝b没有公共点，只需－1≤b≤1.状元笔记

指数型函数图象的画法(判断)及应用(1)指数型函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．(2)一些指数型方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．【答案】③④(2)如果函数y＝|3x－1|＋m的图象不经过第二象限，则实数m的取值范围是_____________．(－∞，－1]【解析】作出y＝|3x－1|的图象，如图所示．由函数y＝|3x－1|＋m的图象不经过第二象限，可知m≤－1.题型二

指数函数的性质及应用(微专题)微专题1比较指数式的大小(2025·福建质量检测)已知a＝0.30.6，b＝0.30.5，c＝0.40.5，则(

)A．a>b>c

B．a>c>bC．b>c>a D．c>b>a√【解析】方法一：由指数函数y＝0.3x在定义域内单调递减，得a<b，由幂函数y＝x0.5在定义域内单调递增，得c>b.故选D.状元笔记比较指数式的大小的方法(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小．(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小．√A．b<c<a B．c<b<aC．c<a<b D．b<a<c微专题2解简单的指数方程或不等式状元笔记简单的指数方程或不等式求解的基本方法：先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数的单调性转化为一般方程或不等式求解．√

思考题3

(1)(2025·青岛模拟)已知y＝4x－3×2x＋3的值域为[1，7]，则x的取值范围是(

)A．[2，4] B．(－∞，0)C．(0，1)∪[2，4] D．(－∞，0]∪[1，2]

(2)(2025·沧衡八校联盟)已知函数

，若f(a－2)＋f(a2)≤0，则实数a的取值范围是________．[－2，1]所以f(a－2)＋f(a2)≤0⇒f(a－2)≤－f(a2)⇒f(a－2)≤f(－a2)，即a－2≤－a2，a2＋a－2≤0，解得－2≤a≤1.微专题3指数函数性质的综合应用【答案】(1)见解析(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；令u＝－x2－4x＋3＝－(x＋2)2＋7.则u＝－(x＋2)2＋7在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．(2)若f(x)有最大值3，求实数a的值；【答案】(2)1

因为f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1，因此必有即当f(x)有最大值3时，a的值为1.

(3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求实数a的值．【答案】(3)0【解析】(3)由f(x)的值域是(0，＋∞)知，y＝ax2－4x＋3的值域为R，则必有a＝0.状元笔记

求解与指数函数有关的复合函数问题时，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，当涉及单调性问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断．[－2，＋∞)(2)【多选题】(2025·杭州模拟)已知函数

，下列说法正确的有(

)A．f(x)的图象关于原点对称B．f(x)的图象关于y轴对称C．f(x)的值域为(－1，1)√√

(3)是否存在实数a，使函数y＝a2x＋2ax