椭圆及其标准方程+-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.1.1

椭圆及其标准方程用坐标法研究曲线的基本思路：现实背景曲线概念曲线方程曲线性质曲线应用明确研究思路常用的数学思想：数形结合观看视频，请说说你看到的椭圆自然界中的椭圆竹子的斜截面，脐橙，西瓜，鸡蛋，晶状体篮球的光影，倾斜的水面，行星公转的轨道……椭圆是自然界中常见的图形椭圆在生产、生活、科技中的应用椭圆的光学性质椭圆的发展历程动手操作请按照以下要求完成实验（1）将绳子的两端分别固定在图板上的两点（要求：绳子的长度大于两点间的距离）（2）套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出轨迹。问题1：观察笔尖画出的轨迹是什么曲线？MF1F2动手操作问题2：回顾操作过程，思考（1）在画椭圆的过程中，绳子的长度变了吗？说明了什么？（2）在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？|MF1|+|MF2|=常数(绳长).|MF1|+|MF2|>|F1F2|

平面内到定点的距离等于定长的点(M)的集合叫做圆,其中定点(O)叫做圆心,定长(|MO|)叫做半径.MF1F2类比椭圆的定义|MF1|+|MF2|=常数（|MF1|+|MF2|>|F1F2|）

这两个定点叫做椭圆的焦点(focus),两焦点间的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距(focusdistance),焦距的一半称为半焦距.

平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆(ellipse).

MF1F2(ii)当常数

<|F1F2|时,点M的轨迹不存在.点M的轨迹是线段F1F2;F1F2M(i)当常数=|F1F2|时,121.焦点在x轴上的椭圆的标准方程以经过椭圆两焦点F1,F2的直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系Oxy,如图所示.观察椭圆的形状,你认为怎样建立坐标系使所得的椭圆方程形式简单？根据椭圆的定义,设点M与焦点F1,F2的距离的和等于2a.则

|MF1|+|MF2|=2a

设M(x,y)是椭圆上任意一点,椭圆的焦距为2c,那么焦点F1,F2的坐标分别是(-c,0),(c,0).xyOM(x,y)F1F22.动点满足的几何条件(-c,0)(c,0)1.建系设点3.列方程椭圆的标准方程13整理,得a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2.对方程②两边平方,得整理,得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2).④③式两边再平方,得∵2a>2c>0,即a>c>0,∴a2-c2>0.将方程④两边同除以a2(a2-c2),得⑤4.化简方程14由求解过程可知椭圆上任意一点的坐标(x,y)都满足方程⑥;反之,以方程⑥的解为坐标的点(x,y)与椭圆的两个焦点间的距离之和为2a,即以方程⑥的解为坐标的点都在椭圆上.|OF1|=|OF2|=c,称方程⑥是椭圆的方程,这个方程叫做椭圆的标准方程.它两个焦点分别是F1(-c,0),F2(c,0)

xyOPF1F2ac⑥abc(a>b>0)由图可知,|PF1|=|PF2|=a,5.检验x2对应大分母a2.五步法且a2=b2+c215

如果焦点F1,F2在y轴上,且F1(0,-c),F2(0,c),a,b的意义同上,那么椭圆的方程是什么？焦点在x轴上的椭圆的标准方程

(a>b>0)焦点是F1(-c,0),F2(c,0).xyOMF1F2xyOMF1F22.焦点在y轴上的椭圆的标准方程16焦点在x轴上的椭圆的标准方程

(a>b>0)焦点是F1(-c,0),F2(c,0).xyOMF1F22.焦点在y轴上的椭圆的标准方程

如果焦点F1,F2在y轴上,且F1(0,-c),F2(0,c),a,b的意义同上,那么椭圆的方程是什么？17焦点在x轴上的椭圆的标准方程

(a>b>0)焦点是F1(-c,0),F2(c,0).xyOMF1F2将x轴与y轴互换.这是焦点在y轴上的椭圆的标准方程.y2对应大分母a2.焦点是F1(0,-c),F2(0,c).(a>b>0)2.焦点在y轴上的椭圆的标准方程

如果焦点F1,F2在y轴上,且F1(0,-c),F2(0,c),a,b的意义同上,那么椭圆的方程是什么？18定义|MF1|+|MF2|=2a(2a>2c>0)标准方程图形焦点位置焦点在x轴上焦点在y轴上焦点坐标F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)焦距|F1F2|=2ca,b,c的关系a2

=b2+c2哪个分母大，焦点就在哪条坐标轴上！19解：由于椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为

由椭圆的定义得从而b2=a2-c2

=10-4=6.因此,所求椭圆的标准方程为例题精讲(a>b>0)又c=2,定义法20由已知c=2,得a2-b2=4.①

另解：由题意,椭圆的焦点在x轴上,设它的标准方程为你还能用其他方法求它的标准方程吗？联立①②解方程组,得a2

=10,b2=6.所以,所求椭圆的标准方程为(a>b>0)②

待定系数法21所以

x2+4y2=4,解:设点M的坐标为(x,y),

例2如图,在圆x2+y2=4上任取一点P,过点P作x轴的垂线段PD,D为垂足.当点P在圆上运动时,线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？因为点P在圆x2+y2=4上,xyMPDO(x,y)所以点M的轨迹是椭圆.相关点代入法5.检验下结论2.表示出相关点的坐标1.建系设点3.代入4.化简即由例2我们发现,圆通过“压缩”可得到椭圆,你能描述一下图像变换的过程吗？22Oxy你能由圆通过“拉伸”得到椭圆吗？如何“拉伸”？Oxy纵向压缩圆x2+y2=4x2+(2y)2=4

横坐标保持不变纵坐标变为原来的2倍纵向拉伸

横坐标保持不变纵坐标变为原来的圆x2+y2=4

23所以点M的轨迹是除去(-5,0),(5,0)两点的椭圆.化简,得点M的轨迹方程为

MOxy解：设点M的坐标为(x,y),得到椭圆的方法有定义，圆的伸缩，到两定点斜率乘积为定值你还有别的方法得到椭圆吗？5.检验2.动点满足的几何条件1.建系设点3.列方程4.化简

24(2)由已知得b2=a2-c2=16-15=1,

解得a=6,b=4.∴a-b=2,c2=a2-b2=(a+b)(a-b),

由142.求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)a=4,b=1,焦点在x轴上;

a-b=2.a+b=10,

课堂练习一个概念四种方法两种思想两个方程

数形结合，类比归纳五步法，相关点法定义法，待定系数法现实背景曲线概念曲线方程曲线性质曲线应用

|MF1|+|MF2|=2a（2a>2c)课堂小结

书面作业：教材109页练习1，2，3，4。（必做）

探究作业：1.能否表示椭圆？（选做）

2.你还有别的方法得到椭