习题课对数函数及其性质的应用-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

习题课对数函数及其性质的应用重难探究·能力素养速提升学以致用·随堂检测促达标目录索引重难探究·能力素养速提升探究点一对数(型)函数的单调性角度1.判断对数(型)函数单调性及求单调区间【例1—1】

函数f(x)=lg(x2-2x-3)的单调递增区间为(

)A.(-∞,-1) B.(-∞,1)C.(3,+∞) D.(1,+∞)C解析

由x2-2x-3>0,解得x>3或x<-1,即函数f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(3,+∞).令t=x2-2x-3,得t>0,因为函数y=lg

t在区间(0,+∞)上单调递增,易知函数t=x2-2x-3在区间(-∞,-1)上单调递减,在区间(3,+∞)上单调递增,所以f(x)的单调递增区间为(3,+∞).故选C.角度2.由对数(型)函数的单调性求参数【例1—2】

已知函数f(x)=lg(x2-4x-5)在区间(a,+∞)上单调递增,则a的取值范围是(

)A.(-∞,-1] B.(-∞,2]C.[2,+∞) D.[5,+∞)D解析

由x2-4x-5>0⇒(x+1)(x-5)>0⇒x<-1或x>5,所以函数f(x)在区间(-∞,-1)上单调递减,在区间(5,+∞)上单调递增.又函数f(x)在区间(a,+∞)上单调递增,所以a≥5,即a的取值范围为[5,+∞).故选D.规律方法

对数型复合函数的单调性的求解方法及注意问题(1)对数型复合函数一般可分为两类:一类是外层函数为对数函数,即y=logaf(x)(a>0,且a≠1);另一类是内层函数为对数函数,即y=f(logax)(a>0,且a≠1).①对于y=logaf(x)(a>0,且a≠1)型的函数的单调性,有以下结论:函数y=logaf(x)的单调性与函数u=f(x)(f(x)>0)的单调性在a>1时相同,在0<a<1时相反.②研究y=f(logax)型复合函数的单调性,一般用换元法,即令t=logax,则只需研究t=logax及y=f(t)的单调性即可.(2)研究对数型复合函数的单调性,一定要注意先研究函数的定义域,也就是要坚持“定义域优先”的原则.变式训练1

(1)函数y=log3(x2+2x-3)的单调递减区间是

.

(-∞,-3)

解析

由x2+2x-3>0,解得x<-3或x>1,所以y=log3(x2+2x-3)的定义域为(-∞,-3)

∪(1,+∞).令g(x)=x2+2x-3,则函数g(x)在区间(-∞,-3)上单调递减,在区间(1,+∞)上单调递增.又y=log3t在区间(0,+∞)上单调递增,所以y=log3(x2+2x-3)的单调递减区间是(-∞,-3).(2)已知函数f(x)=log2(x2-ax+3a)在区间[2,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围为

.

(-4,4]

探究点二对数函数单调性的应用

规律方法

对数不等式的三种考查类型及求解方法(1)形如logax>logab(a>0,a≠1,b>0)的不等式,借助函数y=logax的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a>1与0<a<1两种情况进行讨论.(2)形如logax>b的不等式,应将b化为以a为底数的对数的形式,再借助函数y=logax的单调性求解.(3)形如logax>logbx的不等式,利用换底公式化为同底的对数进行求解或利用图象求解.

D

B

探究点三与对数函数有关的最值问题角度1.求对数函数的最值【例3—1】

函数f(x)=log2(2x)·log8(8x)的最小值为

.

角度2.由对数函数的最值求参数或范围【例3—2】

已知函数f(x)=loga(1-x)+loga(x+2),其中a>1,记函数f(x)的定义域为D.(1)求函数f(x)的定义域D;(2)若函数f(x)的最大值为2,求实数a的值.

规律方法

与对数函数有关的值域或最值问题的处理方法(1)求解最值问题,一定要注意转化思想的应用,求与对数函数有关的二次函数的最大值、最小值问题,一般要转化为求二次函数的最值问题,求二次函数的最值时常用配方法,配方时注意自变量的取值范围.(2)求形如y=logaf(x)(a>0,且a≠1)的复合函数值域的步骤:①分解成两个函数y=logau,u=f(x);②求f(x)的定义域;③求u的取值范围;④利用单调性求解y=logaf(x)(a>0,且a≠1)的值域.

探究点四对数函数最值与不等式综合问题

变式训练4

已知函数f(x)=log2[4x+(a+2)·2x+a+1].(1)若a=0,求满足2<f(x)<4的x的取值范围;(2)若对任意x≥1,f(x)≥x恒成立,求实数a的取值范围.

学以致用·随堂检测促达标12345

B

12345A.(0,+∞) B.(-∞,0)C.(2,+∞) D.(-∞,-2)D解析

令t=x2-4>0,可得x>2或x<-2.故函数f(x)的定义域为(-∞,-2)∪(2,+∞),123453.若logab>1,其中a>0且a≠1,b>1,则(

)A.0<a<1<b

B.1<a<bC.1<b<a

D.1<b<a2B解析

由于logab>1,其中a>0且a≠1,b>1,则a>1.对数函数y=logax为增函数,则logab>logaa=1,所以b>a>1.故选B.12345

CD12345

123455.已知对数函数f(x)=logax(a>0,且a≠1)的图象经过点(3,1).(1)求函数f(x)的解析式;(2)如果不等式f(x+1)<1成立,求实数x的取值范围.解

(1)