人教版数列的概念选择题专项训练单元-期末复习测试题试题

人教版数列的概念选择题专项训练单元期末复习测试题试题一、数列的概念选择题1．已知数列满足，且，则的最小值为（）A．21 B．10 C． D．答案：C解析：C【分析】由累加法求出，所以，设，由此能导出或时有最小值，借此能得到的最小值.【详解】解：所以设，由对勾函数的性质可知，在上单调递减，在上单调递减，又因为，所以当或时可能取到最小值.又因为，所以的最小值为.故选：C.【点睛】本题考查了递推数列的通项公式的求解以及对勾函数的单调性，考查了同学们综合运用知识解决问题的能力.2．数列满足：，其前项积为，则（）A． B． C． D．答案：A解析：A【分析】根据递推公式推导出，且有，再利用数列的周期性可计算出的值.【详解】，，，，，，，且，，因此，.故选：A.【点睛】本题考查数列递推公式的应用，涉及数列周期性的应用，考查计算能力，属于中等题.3．下列命题中错误的是（）A．是数列的一个通项公式B．数列通项公式是一个函数关系式C．任何一个数列中的项都可以用通项公式来表示D．数列中有无穷多项的数列叫作无穷数列答案：C解析：C【分析】根据通项公式的概念可以判定AB正确；不难找到一些规律性不强的数列，找不到通项公式，由此判定C错误，根据无穷数列的概念可以判定D正确.【详解】数列的通项公式的概念：将数列的第项用一个具体式子（含有参数）表示出来，称作该数列的通项公式，故任意一个定义域为正整数集合的或者是其从1开始的一个子集的函数都可以是数列的通项公式，它是一个函数关系，即对于任意给定的数列，各项的值是由n唯一确定的，故AB正确；并不是所有的数列中的项都可以用一个通项公式来表示，比如所有的质数从小到大排在一起构成的数列，至今没有发现统一可行的公式表示，圆周率的各位数字构成的数列也没有一个通项公式可以表达，还有很多规律性不强的数列也找不到通项公式，故C是错误的；根据无穷数列的概念，可知D是正确的.故选:C.【点睛】本题考查数列的通项公式的概念和无穷数列的概念，属基础题，数列的通项公式是一种定义在正整数集上的函数，有穷数列与无穷数列是根据数列的项数来分类的.4．已知定义在上的函数是奇函数，且满足，数列满足，且，为的前n项和，，则（）A．1 B．3 C．-3 D．0答案：C解析：C【分析】判断出的周期，求得的通项公式，由此求得.【详解】依题意定义在上的函数是奇函数，且满足，所以，所以是周期为的周期函数.由得①，当时，，当时，②，①-②得（），所以，.所以故选：C【点睛】如果一个函数既是奇函数，图象又关于对称，则这个函数是周期函数，且周期为.5．已知数列满足，且，则的前2021项之积为（）A． B． C． D．答案：B解析：B【分析】由，且，可得：，可得其周期性，进而得出结论.【详解】因为，且，所以，，，，，，..则的前2021项之积.故选：B【点睛】方法点睛：已知递推关系式求通项：（1）用代数的变形技巧整理变形，然后采用累加法、累乘法、迭代法、构造法或转化为基本数列(等差数列或等比数列)等方法求得通项公式．（2）通过具体的前几项找到其规律，如周期性等求解.6．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列，如数列1，3，6，10，前后两项之差得到新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第19项为（）A．184 B．174 C．188 D．160答案：B解析：B【分析】根据高阶等差数列的知识，结合累加法求得数列的通项公式，由此求得.【详解】所以，所以.所以.故选：B【点睛】本小题主要考查数列新定义，考查累加法，属于基础题.7．数列的前项和记为，，，，则（）A．2016 B．2017 C．2018 D．2019答案：A解析：A【分析】根据题意，由数列的递推公式求出数列的前8项，分析可得数列是周期为6的数列，且，进而可得，计算即可得答案．【详解】解：因为，，，则，，，，，，…，所以数列是周期数列，周期为6，因为，所以．故选：A．【点睛】本题考查数列的递推公式的应用，关键是分析数列各项变化的规律，属于基础题．8．数列中，，，则（）A．511 B．513 C．1025 D．1024答案：B解析：B【分析】根据递推公式构造等比数列，求解出的通项公式即可求解出的值.【详解】因为，所以，所以，所以且，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，所以，所以，故选：B.【点睛】本题考查利用递推公式求解数列通项公式，难度一般.对于求解满足的数列的通项公式，可以采用构造等比数列的方法进行求解.9．已知数列的前n项和为，且满足，则下列命题错误的是A． B．C． D．答案：C解析：C【分析】，则，两式相减得到A正确；由A选项得到==进而得到B正确；同理可得到C错误；由得到进而D正确.【详解】已知，则，两式相减得到，故A正确；根据A选项得到==，故B正确；===，故C不正确；根据故D正确.故答案为C.【点睛】这个题目考查了数列的应用，根据题干中所给的条件进行推广，属于中档题，这类题目不是常规的等差或者等比数列，要善于发现题干中所给的条件，应用选项中正确的结论进行其它条件的推广.10．在数列中，已知，，，则等于（）A． B． C．4 D．5答案：B解析：B【分析】根据已知递推条件即可求得【详解】由知：故选：B【点睛】本题考查了利用数列的递推关系求项，属于简单题11．已知数列满足，则（）A． B． C． D．答案：B解析：B【分析】由题意可得，，，……，再将这2019个式子相加得到结论.【详解】由题意可知，，，……，这个式子相加可得.故选：B.【点睛】本题考查累加法，重点考查计算能力，属于基础题型.12．已知数列的前项和，则（）A．35 B．40 C．45 D．50答案：A解析：A【分析】利用，根据题目已知条件求出数列的通项公式，问题得解.【详解】,时，时满足，故选：A.【点睛】本题考查利用与的关系求通项.已知求的三个步骤:(1)先利用求出.(2)用替换中的得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式．(3)对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分与两段来写．．13．数列的通项公式是，（）A． B． C． D．答案：B解析：B【分析】令代入即解【详解】令，故选：B.【点睛】数列通项公式是第项与序号之间的函数关系，求某项值代入求解.14．已知数列中，，且对，总有，则（）A．1 B．3 C．2 D．答案：C解析：C【分析】根据数列的前两项及递推公式,可求得数列的前几项,判断出数列为周期数列,即可求得的值.【详解】数列中,,且对,总有当时,当时,当时,当时,当时,当时,由以上可知,数列为周期数列,周期为而所以故选:C【点睛】本题考查了数列递推公式的简单应用,周期数列的简单应用,属于基础题.15．设是定义在上恒不为零的函数，且对任意的实数、，都有，若，，则数列的前项和应满足（）A． B． C． D．答案：D解析：D【分析】根据题意得出，从而可知数列为等比数列，确定该等比数列的首项和公比，可计算出，然后利用数列的单调性可得出的取值范围.【详解】取，，由题意可得，，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，，所以，数列为单调递增数列，则，即.故选：D.【点睛】本题考查等比数列前项和范围的求解，解题的关键就是判断出数列是等比数列，考查推理能力与计算能力，属于中等题.二、数列多选题16．已知数列：1，1，2，3，5，…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，记为数列的前项和，则下列结论正确的是（）A． B．C． D．答案：BCD【分析】根据题意写出，，，从而判断A，B的正误；写出递推关系，对递推关系进行适当的变形，利用累加法即可判断C，D的正误．【详解】对A，，，故A不正确；对B，，故B正确；对C，由，，解析：BCD【分析】根据题意写出，，，从而判断A，B的正误；写出递推关系，对递推关系进行适当的变形，利用累加法即可判断C，D的正误．【详解】对A，，，故A不正确；对B，，故B正确；对C，由，，，…，，可得，故C正确；对D，该数列总有，，则，，…，，，，故，故D正确．故选：BCD【点睛】关键点睛：解答本题的关键是对CD的判断，即要善于利用对所给式子进行变形.17．已知等差数列的公差，前项和为，若，则下列结论中正确的有（）A． B．C．当时， D．当时，答案：ABC【分析】因为是等差数列，由可得，利用通项转化为和即可判断选项A；利用前项和公式以及等差数列的性质即可判断选项B；利用等差数列的性质即可判断选项C；由可得且，即可判断选项D，进而得出正确选项解析：ABC【分析】因为是等差数列，由可得，利用通项转化为和即可判断选项A；利用前项和公式以及等差数列的性质即可判断选项B；利用等差数列的性质即可判断选项C；由可得且，即可判断选项D，进而得出正确选项.【详解】因为是等差数列，前项和为，由得：，即，即，对于选项A：由得，可得，故选项A正确；对于选项B：，故选项B正确；对于选项C：，若，则，故选项C正确；对于选项D：当时，，则，因为，所以，，所以，故选项D不正确，故选：ABC【点睛】关键点点睛：本题的关键点是由得出，熟记等差数列的前项和公式和通项公式，灵活运用等差数列的性质即可.18．设等差数列的前项和为．若，，则（）A． B．C． D．答案：BC【分析】由已知条件列方程组，求出公差和首项，从而可求出通项公式和前项和公式【详解】解：设等差数列的公差为，因为，，所以，解得，所以，，故选：BC解析：BC【分析】由已知条件列方程组，求出公差和首项，从而可求出通项公式和前项和公式【详解】解：设等差数列的公差为，因为，，所以，解得，所以，，故选：BC19．首项为正数，公差不为0的等差数列，其前项和为，则下列4个命题中正确的有（）A．若，则，；B．若，则使的最大的n为15；C．若，，则中最大；D．若，则.答案：ABD【分析】利用等差数列的求和公式及等差数列的性质，逐一检验选项，即可得答案.【详解】对于A：因为正数，公差不为0，且，所以公差，所以，即，根据等差数列的性质可得，又，所以，，故A正解析：ABD【分析】利用等差数列的求和公式及等差数列的性质，逐一检验选项，即可得答案.【详解】对于A：因为正数，公差不为0，且，所以公差，所以，即，根据等差数列的性质可得，又，所以，，故A正确；对于B：因为，则，所以，又，所以，所以，，所以使的最大的n为15，故B正确；对于C：因为，则，，则，即，所以则中最大，故C错误；对于D：因为，则，又，所以，即，故D正确，故选：ABD【点睛】解题的关键是先判断d的正负，再根据等差数列的性质，对求和公式进行变形，求得项的正负，再分析和判断，考查等差数列性质的灵活应用，属中档题.20．设是等差数列，是其前项的和，且，，则下列结论正确的是（）A． B．C． D．与均为的最大值答案：BD【分析】设等差数列的公差为，依次分析选项即可求解.【详解】根据题意，设等差数列的公差为，依次分析选项：是等差数列，若，则，故B正确；又由得，则有，故A错误；而C选项，，即，可得，解析：BD【分析】设等差数列的公差为，依次分析选项即可求解.【详解】根据题意，设等差数列的公差为，依次分析选项：是等差数列，若，则，故B正确；又由得，则有，故A错误；而C选项，，即，可得，又由且，则，必有，显然C选项是错误的.∵，，∴与均为的最大值，故D正确；故选：BD.【点睛】本题考查了等差数列以及前项和的性质，需熟记公式，属于基础题.21．设是等差数列，是其前项和，且，则下列结论正确的是（）A． B．C． D．的最大值答案：ABD【分析】由，判断，再依次判断选项.【详解】因为，，，所以数列是递减数列，故，AB正确；，所以，故C不正确；由以上可知数列是单调递减数列，因为可知，的最大值，故D正确.故选：AB解析：ABD【分析】由，判断，再依次判断选项.【详解】因为，，，所以数列是递减数列，故，AB正确；，所以，故C不正确；由以上可知数列是单调递减数列，因为可知，的最大值，故D正确.故选：ABD【点睛】本题考查等差数列的前项和的最值，重点考查等差数列的性质，属于基础题型.22．已知等差数列的前n项和为，公差，，是与的等比中项，则下列选项正确的是（）A． B．C．当且仅当时，取最大值 D．当时，n的最小值为22答案：AD【分析】运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A，B；由二次函数的配方法，结合n为正整数，可判断C；由解不等式可判断D．【详解】等差数列的前n项和为，公差，由，可解析：AD【分析】运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A，B；由二次函数的配方法，结合n为正整数，可判断C；由解不等式可判断D．【详解】等差数列的前n项和为，公差，由，可得，即，①由是与的等比中项，得，即，化为，②由①②解得，，则，，由，可得或11时，取得最大值110；由，解得，则n的最小值为22.故选：AD【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，以及等比中项的性质，二次函数的最值求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题.23．下列命题正确的是（）A．给出数列的有限项就可以唯一确定这个数列的通项公式B．若等差数列的公差，则是递增数列C．若a，b，c成等差数列，则可能成等差数列D．若数列是等差数列，则数列也是等差数列答案：BCD【分析】根据等差数列的性质即可判断选项的正误.【详解】A选项：给出数列的有限项不一定可以确定通项公式；B选项：由等差数列性质知，必是递增数列；C选项：时，是等差数列，而a=1，解析：BCD【分析】根据等差数列的性质即可判断选项的正误.【详解】A选项：给出数列的有限项不一定可以确定通项公式；B选项：由等差数列性质知，必是递增数列；C选项：时，是等差数列，而a=