（人教A版）必修第二册高一数学下学期期末考点题型练习专题03 平面向量的基本定理及坐标运算（原卷版）

专题03平面向量的基本定理及坐标运算1.平面向量的基本定理如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使.其中，不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.2、平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底，对于平面内的一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得，这样，平面内的任一向量都可由x、y唯一确定，我们把（x，y）叫做向量的坐标，记作=（x，y），其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标.3.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模设，则eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)).(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.②设，则4.平面向量共线的坐标表示设则4.平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量，θ为向量的夹角.数量积模夹角两非零向量的充要条件考点一平面向量基本定理的应用1.平面向量基本定理的理解2.用基底表示向量3.利用平面向量基本定理求参数考点二平面向量的坐标运算1.向量加减数乘运算2.向量的共线坐标运算考点三平面向量的数量积坐标表示1.向量的数量积运算2.向量垂直3.向量的模4.向量的夹角5.向量的投影考点一平面向量基本定理的应用1.平面向量基本定理的理解例1．设、是两个不共线的向量，则下列四组向量中，不能作为平面向量的一组基底的是（

）A．和 B．和C．和 D．和练习1．（多选）已知是平面内的一组基底，则下列说法中正确的是（

）A．若实数m，n使，则B．平面内任意一个向量都可以表示成，其中m，n为实数C．对于m，，不一定在该平面内D．对平面内的某一个向量，存在两对以上实数m，n，使2.用基底表示向量例2．如图，、分别是和的中点，已知，，则向量________．（用表示向量）．练习1.在中，是的中点，设，，请写出一个与向量共线的一个向量__________.（用平面向量、表示）.练习2.在△中，延长到，使，在上取点，使与交于，设，用表示向量及向量.3.利用平面向量基本定理求参数例3．在中，点为的中点，，与交于点，且满足，则的值为（

）A． B． C． D．练习1.如图，在中，是的中点，是上一点，且，过点作一条直线与边分别相交于点，若，则（

）A． B． C． D．练习2.如图在△ABC中，点D是AC的中点，点E是BD的中点，设＝，＝.(1)用表示向量；(2)若点F在AC上，且，求AF∶CF.考点二平面向量的坐标运算1.向量加减数乘运算例4．已知向量，若满足，则等于（）A． B．C． D．练习1．（多选）在平面直角坐标系中，若点A(2，3)，B(-3，4)，如图所示，x轴、y轴同方向上的两个单位向量分别为和，则下列说法正确的是（

）A． B． C． D．练习2．已知平面上三点的坐标分别为求点的坐标，使这四点为平行四边形的四个顶点．2.向量的共线坐标运算例5．已知向量，，且与平行，则______．练习1.在平面直角坐标系中，，，，若三点共线，则正数______．练习2.若，，三点不能构成三角形，则t=______．考点三平面向量的数量积坐标表示1.向量的数量积运算例6．已知，若，则等于（）A．6 B．5 C．4 D．3练习1.已知，，，则（

）A． B．C． D．练习2.若向量，，且，共线，则______．2.向量垂直例7．已知，若非零向量满足，则（

）A． B．10 C．3 D．练习1已知点，那么下面四个结论正确的是（

）A． B． C． D．练习2.已知向量，.若，则实数的值为______.3.向量的模例8．与向量共线的单位向量是_________．练习1.已知向量，，若，则______．练习2.已知向量，若，则__________.练习3.设，，（其中O为坐标原点），则的面积为______．4.向量的夹角例9．已知向量，，则（

）A．7 B． C． D．练习1.单位向量与的夹角为60°，则______．练习2.若向量，已知与的夹角为钝角，则k的取值范围是________．练习3.已知向量，，，，则___________．5.向量的投影例10．向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．练习1.已知向量，，.若在方向上投影向量模长为，则实数为（

）A．-2 B．-1 C．±1 D．±2练习2.已知，，则在方向上的投影向量的坐标为__________．一、单选题1．设是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（

）A．和 B．和C．和 D．和2．如图，中，，CD与BE交于F，设，则为（

）A． B． C． D．3．已知向量，，且，则为（

）A． B． C． D．4．设，下列向量中，可与向量组成基底的向量是（

）A． B．C． D．5．已知向量，，若与方向相反，则（

）A．54 B．48 C． D．6．已知，．若向量满足且，则等于（

）A． B． C． D．7．已知和两点，若点在直线上，且，又是的中点，则点的坐标为（

）A． B． C． D．8．已知，，是一次函数图像上一点，则的最小值为（

）A． B． C． D．9．定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的．令，下面说法错误的是（

）A．若与共线，则B．C．对任意的,,D．二、多选题10．设向量，，则（

）A． B．与的夹角为 C． D．11．已知向量，在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则（

）.A．的最小值为B．的最小值为C．当取得最小值时，与的夹角的余弦值为D．当取得最小值时，与的夹角的余弦值为三、填空题12．如图,在平行四边形中,点E是CD的中点,点F为线段BD上的一个三等分点