（人教A版）必修第二册高一数学下学期期末考点题型练习专题24 空间角及距离问题（解析版）

专题24空间角及距离问题1．异面直线所成的角的求法平移法:将异面直线平移到同一平面内，放在同一三角形内解三角形2．线面角的求法在斜线上任取一点作平面的垂线，找出直线在平面内的射影，从而确定出直线和平面所成的角，一般转化到直角三角形、等边三角形中求解．3．面面角的求法在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角3．点到面距离的求法转化为三棱锥等体积法求解.考点一异面直线所成的角考点二线面角1.求线面角2.已知线面角考点三面面角1.求面面角2.已知面面角考点四距离问题考点一异面直线所成的角例1．在正四面体中，异面直线与所成的角为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】取中点，由线面垂直的判定可得平面，由线面垂直的性质可得.【详解】取中点，连接，均为等边三角形，为中点，，，，平面，平面，又平面，，即异面直线与所成的角为.故选：A.例2．在正方体中，，，分别为，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】连接，，可得即为异面直线与所成角，设正方体的棱长为2，由余弦定理可得答案.【详解】连接，，，则，则即为异面直线与所成角，设正方体的棱长为2，则，，则，即异面直线与所成角的余弦值为.故选：B.例3．如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面为的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据得是异面直线与所成角或其补角，再根据几何关系求解即可.【详解】解：如图，连接，设因为底面为正方形，所以，所以是异面直线与所成角或其补角.因为平面，平面所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以因为为的中点，+,所以，所以，在中，，，所以异面直线与所成角的余弦值是.故选：A例4．在直三棱柱中，，点分别是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分别取的中点，连接，分析可知异面直线与所成角为或其补角，计算出三边边长，进而求解即可.【详解】如图分别取的中点，连接，如下图所示：因为为直三棱柱，且点是的中点，所以，且，则四边形为平行四边形，所以，同理，所以异面直线与所成角为或其补角，因为分别为的中点，所以，，，因为，所以，在中，，因此，直线与所成角的余弦值为.故选：A.例5．如图，已知正四棱锥的底面边长和高的比值为3，若点E是棱PD的中点，则异面直线PB与CE所成角的正切值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据正四棱锥的结构特征找到异面直线与所成的角，然后通过解三角形即可得解.【详解】如图，连接交于点，连接，则为的中点，且平面，因为是棱的中点，所以，所以异面直线与所成的角为或其补角，因为平面，所以，又，所以面，又面，所以，设，，则由题意得，，，所以在中，，即异面直线与所成角的正切值为.故选：C.例6．如图，圆锥的轴截面是边长为的正三角形，点是底面弧的两个三等分点，则与所成角的正切值为______．【答案】【分析】易证得，由异面直线所成角定义可知所求角为，由长度关系可求得结果.【详解】设圆锥底面圆心为，连接，为弧的两个三等分点，，又，为等边三角形，，，即为异面直线与所成角，平面，平面，，，，，即与所成角的正切值为.故答案为：.例7．已知正方体，O是底对角线的交点.(1)求异面直线与所成角的余弦值；(2)求证：平面.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）采用平移法将异面直线与所成角，转化为直线与所成角,解三角形即可求得答案；（2）证明，，根据线面面垂直的判定定理即可证明结论.【详解】（1）连接，因为，故四边形为平行四边形，则，则异面直线与所成角，即为直线与所成角,即为所求角或其补角，设正方体棱长为2，在中，，则,故异面直线与所成角的余弦值为.（2）连接，则,又平面，平面，则，又平面，故平面，平面，故，同理可证，而平面，所以平面.考点二线面角1.求线面角例8．在正四棱柱中，是的中点，，则与平面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据线面角定义，先证明为与平面所成的角，再根据题设条件求出利用正弦的定义即可求解.【详解】依题意，可得如图：设底面的中心为，易得平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，取的中点，连接，则，所以平面，连接，则为与平面所成的角.因为，所以.所以.故选：A.例9．在长方体中，，则与平面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】连接交于点，连接，可得为所求线面角，从而计算可得答案.【详解】连接交于点，连接，则，因为平面，平面，所以，，平面，平面，所以平面，所以为所求线面角，，，.故选：C例10．如图所示，垂直于以为直径的圆所在的平面，为圆上异于的任意一点．若，，记直线与平面所成的角为，，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据已知线面关系找出直线与平面所成的角为及，并用含的代数式表示，再利用基本不等式求其最大值．【详解】因为为以为直径的圆上异于的任意一点，所以，即．又垂直于以为直径的圆所在的平面，即平面，又平面，所以．又，且PA、AC在面PAC内，所以平面．所以直线与平面所成的角为，即．设，，则，且，所以，，所以，当且仅当，即时等号成立，故选：D．例11．如图，长方体，，，，是棱上的一个动点，若点运动到棱靠近的一个三等分点时，恰有，求此时与平面所成的角__________．【答案】【分析】结合长方体的结构特点，可知与平面所成的角为，由及勾股定理可得，进而可求出得出结果.【详解】长方体中，因为，，所以，，，因为底面，平面，所以，所以与平面所成的角为，，由条件可得，解得，因此，因为，所以，与平面所成的角为，故答案为：例12．已知矩形，，为的中点，现分别沿，将和翻折，使点重合，记为点．(1)求证：(2)求直线与平面所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）取的中点，连接，先利用线面垂直判定定理证得平面，再由线面垂直性质得证；（2）先利用线面垂直判定定理证得，可得为直线与平面所成角的平面角，从而得解．【详解】（1）已知矩形，沿，将和翻折，使点重合，记为点，可得，取的中点，连接，，，，，又，，，平面，，；（2），，，，又四边形为矩形，，，，为直线与平面所成角的平面角，，即直线与平面所成角的正弦值为．例13．如图，正方形中，分别是的中点，将分别沿折起，使两点重合于点，过作，垂足为.(1)证明：平面；(2)求与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2).【分析】（1）线面垂直判定证平面，由正方形性质、线面垂直的性质得、，进而有平面，法一：再应用线面垂直的性质得，最后由线面垂直判定证结论；法二：由面面垂直的判定得平面平面，最后由面面垂直的性质证结论；（2）法一：证两两垂直并构建空间直角坐标系，求的方向向量与平面的法向量，应用向量夹角的坐标表示求正弦值；法二：由线面角的定义及平面，确定线面角的平面角，进而求其正弦值；法三：以原点，及过平面的垂线分别为轴建立空间直角坐标系，求的方向向量与平面的法向量，应用向量夹角的坐标表示求正弦值；【详解】（1）证明：在正方形中，连接AC、BD，则，连接EF，由已知，则，由折叠的性质知，面，平面，又平面，故.，平面，平面，法一：平面，故，平面，且与相交，平面.法二：平面，故平面平面，平面，平面平面，平面.（2）法一：不妨设正方形的边长为2，由已知得，则，即，而，故两两垂直，以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，且平面的一个法向量为.设，则，且..设与平面所成角为，则，与平面所成角的正弦值为.法二：设正方形的边长为2，与平面所成角为，由已知得，则，即，所以，又，，平面，故平面，.在直角中，，，故，在中，，，即与平面所成角的正弦值为.2.已知线面角例14．（多选）在长方体中，若直线与平面所成角为45°，与平面所成角为30°，则（

）．A．B．直线与所成角的余弦值为C．直线与平面所成角为30°D．直线与平面所成角的正弦值为【答案】BC【分析】由题意，，设，则，，即可判断A；由可知或其补角为直线与所成角，利用余弦定理求解可判断B；由题可知直线与平面所成角为，又，，求出可判断C；设点到平面的距离为h，由利用等体积法求出，再利用线面角的定义求解可判断D．【详解】对于A：如图，设，连接，∵平面，∴直线与平面所成角为，则，连接，∵平面，∴直线与平面所成角为，则，在中，，∴，故A错误；对于B：易知，∴或其补角为直线与所成角，易知，，，∴，故B正确；对于C：连接，由平面，可知直线与平面所成角为，又，，∴，故C正确；对于D：易知，设点到平面的距离为h，则，取的中点E，连接BE，由勾股定理可得，∴，∴，设直线与平面所成角为，则，故D错误．故选：BC.例15．设所在的平面，，PB、PC分别与成45°和30°角，，点P到BC的距离是_________________．【答案】【分析】根据题意画出几何体，利用线面垂直的判定定理和性质定理即可求得即为点P到BC的距离，由勾股定理计算结果为.【详解】如图所示：根据题意可知，又，所以；；又，所以；作于，由平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，所以即为点P到BC的距离；易知，由勾股定理可得.即点P到BC的距离.故答案为：例16．在四棱锥中，，．(1)若，证明：平面平面ABCD；(2)若直线PB与平面ABCD所成的角为，求四棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析；(2)．【分析】(1)取AD中点为O，连接PO，OC，证明OP⊥AD及OP⊥OC得OP⊥平面ABCD即可；(2)取AD中点为O，连接OP，OB，BD，证明AD⊥平面POB，得到∠PBO为PB与平面ABCD的夹角，解△PBO，求出OB边上高，从而得到P到平面ABCD的距离，从而可求四棱锥的体积．【详解】（1）取AD中点为O，连接PO，OC．∵PA=PD，∴OP⊥AD，∵四边形ABCD是菱形，，∴∠ODC=120°，在△ODC中，根据余弦定理得，，又，∴，∴，又AD∩OC=O，AD，OC平面ABCD，∴OP⊥平面ABCD，又∵OP平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD；（2）取AD中点为O，连接OP，OB，BD，∵PA=PD，∴OP⊥AD，∵AB=AD，∠BAD=60°，∴△ABD是等边三角形，则OB⊥AD，又∵OB∩OP=O，OB，OP平面POB，∴AD⊥平面POB，则∠BOP为二面角P-AD-B的平面角，则∠PBO为PB和平面ABCD的夹角，故∠PBO=30°，且△PBO的OB边上的高h即为P到平面ABCD的距离．又，则在△PBO中，，，又，∴．例17．如图①，在平面四边形中，，，．将沿着折叠，使得点到达点的位置，且二面角为直二面角，如图②．已知分别是的中点，是棱上的点，且与平面所成角的正切值为．(1)证明：平面平面；(2)求四棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用三角形中位线性质和线面平行的判定可证得平面，平面，由面面平行的判定可证得结论；（2）取的中点，根据已知的长度关系和面面垂直性质可证得平面，结合线面角定义可得，由此可确定点位置，从而求得，利用棱锥体积公式可求得结果.【详解】（1）分别为的中点，，，平面，平面，平面，平面，又，平面，平面平面.（2）取的中点，连接，，，为等边三角形，，又，，为等腰直角三角形，，；二面角是直二面角，即平面平面，平面平面，平面，平面，即为与平面所成角，，解得：；在中，由余弦定理得：，即，解得：，为线段上靠近点的四等分点，，.考点三面面角1.求面面角例18．如图，在三棱锥V-ABC中，，，，，且，，则二面角V-AB-C的余弦值是_________________【答案】##【分析】取的中点，连接、，证明出，，可得出二面角的平面角为，计算出、，利用余弦定理求得，由此可得出二面角的余弦值.【详解】取的中点，连接、，如下图所示：，为的中点，则，且，，，因为，为的中点，可得，又因为所以，则二面角的平面角为，由余弦定理得，因此，二面角的余弦值为.故答案为：.例19．已知如图边长为的正方形外有一点且平面，，二面角的大小的正切值______．【答案】【分析】由线面垂直的判定和性质，结合二面角平面角定义可知所求角为，根据长度关系可求得结果.【详解】设，连接，平面，平面，，，四边形为正方形，，，平面，平面，又平面，，是二面角的平面角，由，得：.故答案为：.例20．如图，ABCD是矩形，AB=8，BC=4，AC与BD相交于O点，P是平面ABCD外一点，PO⊥面ABCD，PO=4，M是PC的中点，则二面角M-BD-C的正切值为_________．【答案】【分析】取OC的中点N，连接MN，得到MN⊥面ABCD，且得到的值，过点N作NR⊥BD于点R，连接MR，得到∠MRN为二面角M-BD-C的平面角，过点C作CS⊥BD于点S，求得，从而得到，进而求得二面角M-BD-C的正切值．【详解】取OC的中点N，连接MN，则MN∥PO，∵PO⊥面ABCD，∴MN⊥面ABCD，，过点N作NR⊥BD于点R，连接MR，则∠MRN为二面角M-BD-C的平面角，过点C作CS⊥BD于点S，则，在Rt△BCD中，CD·BC=BD·CS，

则，则，所以，所以二面角M-BD-C的正切值为．故答案为：．例21．已知三棱锥中，△是边长为3的正三角形，与平面所成角的余弦值为．(1)求证：；(2)求二面角的平面角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）取中点为，连接，由正四面体的性质得，再由线面垂直的判定及性质证明结论；（2）取中点为，连接，由正四面体的性质和二面角的定义知为所求二面角的平面角，进而求其正弦值.【详解】（1）如图所示，取中点为，连接，O为△BCD的中心，因为△是边长为3的正三角形，，则面，又与平面所成角的余弦值为，所以，即，即三棱锥是正四面体，所以，又平面，所以平面，又平面，所以．（2）如图所示，取中点为，连接，由（1）知：三棱锥是正四面体，则，所以二面角的平面角为，另一方面，，所以由余弦定理得，所以，所以二面角的平面角的正弦值．例22．已知直四棱柱的底面为菱形，且，，点为的中点.(1)证明：平面；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接交于点，通过证明得平面；（2）方法一：取的中点，证明为二面角的平面角，在三角形中求；方法二：建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面ACE的法向量，用空间向量求二面角的余弦值.【详解】（1）连接交于点，连接，在直四棱柱中，所以四边形为平行四边形，即，又因为底面为棱形，所以点为的中点，点为的中点，即点为的中点，所以，即四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面.（2）方法一：取的中点，连接，，，在直棱柱中平面，所以，又因为，，所以平面，又平面，所以因为在中，，且点为的中点，所以，又，而点为的中点，所以，又，所以平面，又平面，即，则为二面角的平面角，在等腰直角三角形中，，又，在直角三角形中，所以，即二面角的余弦值为.例23．如图，直三棱柱中，，.(1)求直线与平面所成的角；(2)求二面角的正切值.【答案】(1)(2)【分析】（1）取的中点，连接和，结合条件可证明平面，由直线与平面所成角的定义可得直线与平面所成的角，由解直角三角形即可求解；（2）取的中点，连接，，先求得，再由二面角的定义找到二面角的平面角，由解直角三角形即可求解.【详解】（1）取的中点，连接和，如图所示：因为，所以，在直三棱柱中，平面，又平面，所以，因为，、平面，则平面，又平面，所以，则在中，，即直线与平面所成的角为，在直三棱柱中，平面，又因为平面，所以，因为，所以，即，则，，所以，则，又，所以，故直线与平面所成的角为.（2）取的中点，连接，，在直三棱柱中，平面，又因为平面，所以，因为，，由（1）知，，所以，，又平面，平面，所以是二面角的平面角；又，，，、平面，所以平面，平面，则，又，在中，，故二面角的正切值为.例24．如图所示，点是边长为4的正方形的中心，点分别是的中点，沿对角线把正方形折成直二面角.(1)求的大小.(2)求二面角的平面角的正切值.【答案】(1)120°(2).【分析】（1）如图过点作，垂足为，过点作，垂足为，由平面向量的线性运算求出EF，根据余弦定理求出，即可求解；（2）如图过点作垂直的延长线于点，连接，根据面面垂直的性质与三垂线定理可得，则是二面角的平面角，求出即可.【详解】（1）如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为，则，二面角为直二面角，得，.又在中，，，又，.（2）如图，过点作垂直的延长线于点，连接.二面角为直二面角，平面平面，交线为又平面，由三垂线定理，得.是二面角的平面角.在中，，二面角的平面角的正切值为.2.已知面面角例25．已知在长方体中，，，记平面和平面的交线为，已知二面角的大小为60°，则的值为（

）A． B．1 C． D．2【答案】C【分析】如图所示，连接，，得到四点共面，确定二面角的大小为，计算得到答案.【详解】如图所示：连接，，故四点共面，故平面和平面的交线为，平面，平面，故，又，平面，平面，故二面角的大小为，.故选：C例26．边长为1的两个正方形和构成大小为的二面角，则异面直线和之间的距离为______．【答案】【分析】说明是二面角的平面角，过作于，证明是异面直线和的公垂线，求出线段的长即可．【详解】如图，由，知是二面角的平面角，因此，且因为，平面，所以平面，过作于，则，所以是异面直线和的公垂线，的长即为异面直线和之间的距离．中，，，则，，所以异面直线和之间的距离为．故答案为：．例27．已知三棱锥中，，，，若二面角的大小为120°，则三棱锥的外接球的表面积为___________.【答案】【分析】首先根据几何体确定外接球的球心，再求外接球的半径，即可求解三棱锥外接球的表面积.【详解】取的中点，中点，连结，因为，所以，，因为，所以，所以，过点作平面，过点作平面，，因为点分别是和的外心，所以点是三棱锥的外接球的球心，因为，，所以，则，所以，，所以,,所以，则三棱锥的外接球的半径为，所以外接球的表面积.故答案为：例28．如图，在以为顶点，母线长为的圆锥中，底面圆的直径长为2，是圆所在平面内一点，且是圆的切线，连接交圆于点，连接、．(1)求证：平面平面．(2)当二面角的大小为时，求四棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析(2)四棱锥的体积为.【分析】（1）由圆锥的几何性质推得平面平面，根据面面垂直的性质及线面垂直的性质，可得，再由面面垂直的判定定理，即可得证；（2）由平面平面，，知平面，从而有，，故，进而得，由和棱锥的体积公式，得解．【详解】（1）证明：是圆的切线，，由圆锥的性质知顶点在底面圆上的投影为底面圆心，∴平面，又平面，∴平面平面，平面平面，平面，平面，，，，则，，又，、平面，平面，平面，平面平面．（2），且为的中点，，平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，，，为二面角的平面角，即，，在中，，，，四棱锥的体积．考点四距离问题例29．如图所示，在四棱锥中，侧面侧面，，，，，.(1)求证：平面平面；(2)若点A关于中点的对称点为，三棱锥的体积为，求点A到的距离.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由余弦定理求出，从而由勾股定理逆定理得到，由面面垂直得到线面垂直，进而证明出面面垂直；（2）由三棱锥的体积求出点到平面的距离，求出点到平面的距离，由面面垂直得到点到的距离，求出，得到点A到的距离.【详解】（1）证明：在中，由，，，由余弦定理得，可得，所以，故，因为侧面侧面，平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面.（2）由题意可知，，，共面，且四边形是平行四边形.设点到平面的距离为，则三棱锥的体积，所以.因为，所以点到平面的距离也是2，又因为平面平面，交线为，所以点到的距离是2，所以.所以点A到的距离为.例30．某校积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍甍”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，、、分别是正方形的三边、、的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，连接、就得到了一个“刍甍”（如图．(1)若是四边形对角线的交点，求证：平面；(2)若二面角是直二面角，求点到平面的距离．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）取线段中点，证明四边形是平行四边形，可证平面；（2）由向量法求点到平面距离，或由体积法求点到平面距离.【详解】（1）证明：取线段中点，连接、，由图1可知，四边形是矩形，且，是线段与的中点，且，在图1中知且，且，所以在图2中，且，且，四边形是平行四边形，则，由于平面，平面，平面．（2）解：法二：同法一知：面，面，设点到平面的距离为，于是，其中．另一方面，，由，知点到平面的距离为．例31如图，在直三棱柱中，D是的中点，，，．(1)证明：平面BCD．(2)求点D到平面的距离．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）确定，根据相似得到，得到线面垂直.（2）计算，，再根据等体积法计算得到距离.【详解】（1）在直三棱柱中，平面，平面，故，，，平面，故平面，平面，．因为，，所以．又D是的中点，，所以，所以，则．因为，平面BCD，所以平面BCD．（2）．，所以．设点D到平面的距离为d，由，得，解得，即点D到平面的距离为．例32．如图（1），已知边长为2的菱形ABCD中，沿对角线BD将其翻折，使，设此时AC的中点为O，如图（2）．(1)求证：点O是点D在平面上的射影；(2)求点A到平面BCD的距离．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接DO，BO，利用勾股定理证明，再证明平面，即可得证；（2）利用等体积法求解即可.【详解】（1）连接DO，因为，O为AC的中点，所以，设菱形ABCD的边长为2，又因为，所以，连接BO，则，又因为，，所以，所以，所以，又，所以，所以，又，平面，平面，所以平面，所以点O是点D在平面上的射影；（2）设点A到平面BCD的距离为h，由菱形ABCD的边长为2，且，则的面积为，则，的面积为，由（1）知，平面，，所以，由得，，所以，即点A到平面BCD的距离为．例33．如图，四棱锥的底面为矩形，，，侧面底面，是上的动点（不含、点）．(1)证明：平面平面；(2)若，，当为的中点时，求点到平面的距离．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据面面垂直证明线面垂直与线线垂直，进而可证线面垂直与面面垂直；（2）利用等体积转化法求点到平面距离.【详解】（1）由已知侧面底面，且平面平面，又底面为矩形，，平面，即平面，又平面，，又，且，，平面，平面，又平面，平面平面；（2）如图所示，取中点，连接，由，，得，且，，又侧面底面，平面平面，平面，，由（1）得平面，平面，且平面，平面，，，又为的中点，，，设点到平面得距离为，则，解得，所以点到平面得距离为.例34．如图，在三棱锥中，为的中点.(1)证明：平面；(2)求点到平面的距离.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）证明，，结合线面垂直的判定即可证；（2）点O到平面PAC距离，即为三棱锥面PAC的高，计算出与即可.【详解】（1）证明：因为为的中点，所以.连接，因为，所以.又，所以，所以.因为平面平面，所以平面.（2）因为，所以，.，.设点到的距离为，则，则.设点到平面的距离为，则.因为，所以，解得，即点到平面的距离为.例35．已知三棱锥的侧棱，．且为靠近的三等分点．(1)证明：；(2)求点到平面的距离．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用勾股定理和线面垂直的判定可得平面，由线面垂直性质可得结论；（2）设点到平面的距离为，可知所求距离为，利用体积，结合棱锥体积公式可构造方程求得，进而得到结果.【详解】（1），，，，，，又，平面，平面，平面，.（2）设点到平面的距离为，为靠近的三等分点，，点到平面的距离为．，，又，，平面，平面，又，；，，，，解得：，，即点到平面的距离为.1．已知正四面体，，点为线段的中点，则直线与平面所成角的正切值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作出图形，找出直线与平面所成角的平面角，在三角形内即可求解.【详解】如图，过点向底面作垂线，垂足为，连接，过点作于G，连接，由题意可知：且，因为平面，所以平面，则即为直线与平面所成角的平面角，设正四面体的棱长为2，则，，所以，则，在中，由余弦定理可得：，在中，，所以，所以直线与平面所成角的正切值是，故选：.2．已知直线和平面所成的角为，则直线和平面内任意直线所成的角的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由线面角的定义得出与内直线所成角的最小值，再确定最大值得出直线和平面内任意直线所成的角的取值范围.【详解】根据线面角的定义，线面角是平面外的直线与平面内所有直线所成角中最小的角，故与内直线所成角的最小值为，当在内的射影与平面内的直线垂直时，与之所成的角为，故与内直线所成角的范围为.故选：D.3．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，二面角的大小为，若球的表面积等于，则三棱锥的体积等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】作出辅助线，找到球心，求出外接球半径，求出底面积和高，得到三棱锥的体积.【详解】取的中点，连接，因为，所以到的距离相等，故即为球心.由球的表面积等于，设外接球半径为，故，解得，过作垂直于于点，因为，，所以，同理，因为二面角的大小为，所以,故三棱锥的高为，其中，所以三棱锥的体积.故选：A4．（多选）已知四棱锥，它的各条棱长均为2，则下面说法正确的是（

）A．其外接球的表面积为B．其内切球的半径为C．侧面与底面所成角的余弦值为D．不相邻的两个侧面所成角的余弦值为【答案】ACD【分析】连接，，且交于，连接，根据题意可得是四棱锥外接球的球心，是其半径，代入即可计算其外接球的表面积，从而即可判断A；利用等体积公式，即可求内切球的半径，从而即可判断B；取的中点，连接，，先证明是侧面与底面所成角，即可求得侧面与底面所成角的余弦值，从而即可判断C；再取的中点，连接，，显然是平面与平面所成的角，再结合余弦定理求解即可判断D．【详解】对于A，连接，，且交于，连接，又四棱锥的各条棱长均为2，则，所以四棱锥的外接球的球心，半径为，所以四棱锥的外接球的表面积为，故A正确；对于B，设内切球的半径为，则，即，解得，故B错误；对于C，根据题意不妨求侧面与底面所成角的余弦值，取的中点，连接，，结合选项A，可知，且平面平面，所以是侧面与底面所成角，又，，所以，即侧面与底面所成角的余弦值为，故C正确；对于D，根据题意不妨求平面与平面所成的角的余弦值，过点作，且作的中点，结合A选项，再取的中点，连接，，则，，又平面平面，所以是平面与平面所成的角，又，，所以根据余弦定理得，所以不相邻的两个侧面所成角的余弦值为，故D正确．故选：ACD．5．（多选）如图，棱长为2的正方体中，点E，F，G分别是棱的中点，则（

）A．直线为异面直线 B．C．直线与平面所成角的正切值为 D．过点B，E，F的平面截正方体的截面面积为9【答案】BC【分析】作出图形，利用中位线定理和平行的传递性即可判断选项A；利用等体积法计算即可判断选项B；根据线面角的概念即可判断选项C；利用平面的性质即可判断选项D.【详解】对于A，连接，由题意可知，因为，所以，所以共面，故选项A错误；对于B，连接，由题意可知，所以，故选项B正确；对于C，连接，由正方体的性质可知平面，所以即为直线与平面所成的角，则，故选项C正确；对于D，连接，根据正方体的性质可得，且，所以平面即为过点B，E，F的平面截正方体的截面，该四边形为梯形，其上底，下底为，高为，所以截面面积为，故选项D错误；故选：BC6．（多选）在长方体中，，，则（

）A．直线与所成的角为60°B．直线与所成的角为90°C．直线与平面所成的角为30°D．直线与平面所成的角的余弦值为【答案】AC【分析】根据空间中的平行、垂直关系，结合异面直线所成角、直线与平面所成角逐项分析判断.【详解】对于A选项：如图，连接交于点，∵，且，故为平行四边形，则，所以就是异面直线与所成的角或其补角，因为，，则，所以，即直线与所成的角为60°，所以A选项正确；对于B选项：连接，若直线与所成的角为90°，即，∵平面，平面，∴，，平面，故平面，又∵平面，则，则为正方形，与题设矛盾，所以B选项不正确；对于C选项：∵平面，则即为直线与平面所成的角，在中，，，则，所以，所以C选项正确；对于D选项：连接交于点，连接，因为，所以四边形为正方形，所以，又∵平面，平面，∴，，平面，故平面，则直线与平面所成的角即为，在中，，，所以，则，所以D选项不正确．故选：AC．7．在棱长为2的正方体中，点到平面的距离为____________．【答案】【分析】由正方体的性质易得△斜边上的高为到平面的距离，结合已知即可求值.【详解】由题设可得示意图如下，根据正方体的性质知：面面，又△为等腰直角三角形，∴△斜边上的高，即为到平面的距离，又正方体棱长为2，∴到平面的距离为.故答案为：.8．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，异面直线AB与CD的夹角为__________．【答案】【分析】把展开图恢复到原正方体，得到AEDC，从而得到∠BAE或其补角是异面直线AB与CD所成的角，从而可解.【详解】如图所示，把展开图恢复到原正方体．连接AE，BE．由正方体可得且，∴四边形ADCE是平行四边形，∴AEDC．∴或其补角是异面直线AB与CD所成的角．由正方体可得：，∴是等边三角形，∴．∴异面直线AB与CD所成的角是60°．故答案为：60°9．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，底面ABCD，E是PC的中点，已知，，，则P到平面ABE的距离为___________．

【答案】【分析】取AB的中点F，连接EF，可证EF为三棱锥的高，求出三棱锥的体积，连接AC，取AC的中点O，连接EO，求出各边长度可证是等边三角形，利用等体积法，即可算出P到平面ABE的距离.【详解】解：取AB的中点F，连接EF，AC，取AC的中点O，连接EO，E是PC的中点，底面ABCD是矩形，，且，，又底面ABCD，底面ABCD，，，而，平面PAB，平面PAB，平面PAB，即EF为三棱锥的高，,在中，，在中，，则，，在中，，则，在中，，又分别是PC，AC的中点，底面ABCD，，且，，在中，，则，是等边三角形，设P到平面ABE的距离为d，则，故答案为：.10．如图与所在平面垂直，且，，则二面角的余弦值为_______.【答案】【分析】根据题意以及面面垂直的性质定理，可作出在平面内的射影，再利用摄影面积法求出二面角的余弦值，再根据所求角与二面角互补即可求得结果.【详解】过A作的延长线于E，连结DE，∵平面平面，平面平面，∴平面∴E点即为点A在平面内的射影，∴为在平面内的射影，设，则，∴由余弦定理可得，∴，∴，又，∴，设二面角为，∴.而二面角与互补，∴二面角的余弦值为.故答案为：11．在三棱柱中，三棱锥是正三棱锥，，为的中点．若异面直线与所成角的余弦值为，则______．【答案】【分析】取的中点，连接，，则（或其补角）就是异面直线与所成角．然后在三角形中，利用余弦定理即可求解.【详解】如图，取的中点，连接，，，则（或其补角）就是异面直线与所成角．在正三棱锥中，易得，平面，则平面，又平面，则．因为，所以，所以平行四边形是矩形．设．在中，，，，由余弦定理，得，即，解得，所以．故答案为：.12．在直四棱柱中，四边形为平行四边形，平面平面．(1)求证：；(2)若，分别为，的中点，求到平面BDF的距离．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）先证明出平面，再利用线面垂直的判定定理证明出；（2）连接，证明出平面BDF．进而求出点到平面BDF的距离.【详解】（1）由题意知平面，平面，所以．过在平面内作直线；交于点G，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面．又平面，所以．因为，，平面，所以平面，又平面，所以．（2）连接，由（1）知，因为，所以．因为为中点，且，所以，，，，，，所以，因此，又因为，所以平面BDF．因为为的中点，所以点到平面BDF的距离为．13．如图，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱垂直于底面ABC，，D是CB延长线上一点，且．(1)证明：直线平面；(2)求二面角的大小；(3)直线到平面的距离．【答案】(1)证明过程见详解(2)(3)【分析】（1）构造平行四边形，进而即可证明直线平面；（2）取的中点，连接，，证明二面角的平面角，求解即可；（3）结合（1）可知直线平面，可得直线到平面的距离与点到平面的距离相等，根据即可求解．【详解】（1）依题意可得，且，则四边形为平行四边形，所以，又平面，且平面，所以直线平面．（2）取的中点，连接，，在中，，则，由三棱柱的底面是边长为2的正三角形，则，则，所以，在中，，则，又平面平面，所以二面角的平面角，所以，又，则，故二面角的大小为．（3）结合（1）可知直线平面，所以直线到平面的距离与点到平面的距离相等，设点到平面的距离为，结合（2）得，则，所以，，又，即，得，所以直线到平面的距离为．14．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中.(1)求A1B与平面AA1D1D所成的角；(2)求A1B与平面BB1D1D所成的角.【答案】(1)(2)【分析】(1)根据AB⊥平面AA1D1D找出A1B与平面AA1D1D所成的角的平面角，求解即可；(2)连接A1C1交B1D1于点O，连接BO.证明A1O⊥平面BB1D1D，从而确定A1B与平面BB1D1D所成的角的平面角，求解即可.【详解】（1）∵在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB⊥平面AA1D1D，∴∠AA1B就是A1B与平面AA1D1D所成的角，在中，∴A1B与平面AA1D1D所成的角是.（2）连接A1C1交B1D1于点O，连接BO.∵BB1⊥平面A1B1C1D1，平面A1B1C1D1，∴BB1⊥A1O，又∵A1O⊥B1D1，BB1∩B1D1＝B1，平面BB1D1D，∴A1O⊥平面BB1D1D，∴∠A1BO就是A1B与平面BB1D1D所成的角.设正方体的棱长为1，则A1B＝，A1O＝.又∴sin∠A1BO＝＝，又∴A1B与平面BB1D1D所成的角是.15．如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，，，．(1)证明：平面平面PAC；(2)求AD与平面PCD所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）计算，，根据勾股定理得到，再证明平面PAC，得到答案.（2）作，垂直为H，连接DH，确定为AD与平面PCD所成的角，计算，得到答案.【详解】（1），，，则，．中，，故，故，又因为底面ABCD，底面ABCD，所以，又因为，平面PAC，平面PAC，底面PCD，故平面平面PAC，另解：平面ABCD，平面ABCD，故，过C做AD的垂线，垂足为E，连接CE，则，，，，在中，，，即，又，PA，平面PAC，故平面PAC，平面PCD，故平面平面PAC，（2）作，垂直为H，连接DH，因为平面平面PAC，且平面平面，平面，所以平面PCD，故为AD与平面PCD所成的角，中，，，所以直线AD与平