自考-线性代数-第三章 向量空间

1

第三章

向量空间2背景：

向量及向量空间是最基本的数学概念之一，它不仅是线性代数的核心，而且它的理论和方法已经渗透到自然科学、工程技术、经济管理的各个领域，通过本章的学习可以进一步加深对矩阵的理解，并且对后续内容的学习会有很大的帮助。31向量及其运算2向量组的线性相关性3向量组的秩4向量空间4

§1向量及其运算

中学数学中已经接触过平面上的向量，可以称为二维向量。高等数学介绍过空间几何中的向量，可以称为三维向量。

然而仅仅考虑平面几何中的向量和空间几何中的向量是不够的。例如，人造卫星在太空运行中考虑它在某一个时刻的状态必须知道目前处于什么位置、其表面温度、此时受到的压力等等物理参数的情况，这时二维和三维向量就无法表达这么多的信息，必须推广到更多维数的向量。5称为一个n维向量，简称为向量。

列向量定义1

n个数组成的有序数组（a1,a2,…,an）行向量其中,数a1,a2,…,an称为这个向量的分量，ai称为这个向量的第i个分量或坐标。分量都是实数的向量称为实向量；分量是复数的向量称为复向量。

6注意：向量一般用小写的希腊字母等表示，其中n为向量的维数。一般所说的向量都是指列向量，行向量可看作是列向量的转置。如:定义2

如果向量和对应的分量都相等，即ai=bi，i=1,2,…,n就称这两个向量相等，记为。

说明：由于列向量就是一个列矩阵，所以列向量满足列矩阵的所有运算法则和运算律。7定义3

向量与的和因此，得到如下相关的定义定义4

分量全为零的向量(0，0，…，0)T称为零向量记为数与向量的数量乘积（简称为数乘）记为记为当时称为向量的负向量向量的减法定义为规定规定8

设k和l为两个任意的常数，为任意的n维向量向量的加法与数乘具有下列性质：满足(1)~(8)的运算称为线性运算。9例1已知求10§2向量组的线性相关性若干个维数相同的向量所构成的集合称为一个向量组如：向量组定义1：背景：研究向量时向量之间的线性关系（相关或无关）极为重要，是许多与向量有关的问题的理论基础。设向量组对于任何一组实数称为该向量组的一个线性组合定义2

根据向量的运算法则完全有意义思考:一个向量组有多少个线性组合?一个向量组有多少个线性组合取决于该向量组的维度和线性无关向量的数量。11则称向量是向量组A的一个线性组合，或称向量可以由向量组A线性表示。定义3：给定向量组和向量，如

果存在一组实数使得问题1.零向量是任何向量组的线性组合吗?为什么？问题2.任何向量都可由它本身所在的向量组线性表示吗？其中，问题１中的线性表示称为零向量的平凡表示。12例如：可以看出

所以，

是向量组的线性组合，或可以由向量组线性表示。

13向量组具有的线性相关或线性无关的性质称为向量组的线性相关性。定义4

对于向量组，如果该向量组对零向量只有平凡表示，也即对零向量的线性表示方法唯一，则称向量组

线性无关，否则，称其线性相关。定义4

对于向量组，如果存在一组不全为零的数k1,k2,…,km，使则称该向量组线性相关。反之，如果只有在k1=k2=…=km=0时上式才成立，就称

线性无关。

14思考：设向量组，如果对任何一组不全为零数，都有

则该向量组的线性相关性如何？答案：一定线性无关15解：

对任意的一组数k1,k2,…,kn都有所以要使当且仅当k1=k2=…=kn=0其中，是阶单位矩阵的第列因此线性无关。是由阶单位矩阵的各列组成的，称为单位坐标向量。例1

判断向量组的线性相关性。其中，是阶单位矩阵的第列16例2

讨论向量组

1=(1,-1,1)T,

2=(2,0,-2)T,

3=(2,-1,0)T的线性相关性。解：设有一组数

1，

2，

3,使即(

1+2

2+2

3,－

1－

3,

1－2

2)T=(0,0,0)T有

1+2

2+2

3=0－

1－

3=0

1－2

2=0

1

1+

2

2+

3

3=解得：

3=－

1不妨取

1=2,得非零解

1=2，

2=1,

3=－2所以，向量组

1,

2,

3

线性相关。17例3

设向量组线性无关，，，，试证向量组也线性无关。证设有k1,k2,k3,使且线性无关，故有由于满足k1,k2,k3的取值只有k1=k2=k3=0所以线性无关。思考：除定义以外，如何判定一个向量组的线性相关性？又18定理1

向量组（m≥2）线性相关的充要条件是向量组中至少有一个向量能由其余向量线性表示。即

必要性:所以线性相关。使则即可由线性表示

充分性:设

设中有一个向量，例如

能由其余向量线性表示，不妨设设该向量组线性相关，则存在一组不全为零的数19例如，向量组是线性相关的。推论：

两个非零向量

1,

2线性相关

即

1

,

2对应分量成比例

1=k

2,(其中k0)这是因为20即可由线性表出。

定理2

设向量组线性无关，而向量组线性相关，则能由向量组线性表示，且表示式是唯一的。

由

线性无关，得k≠0下面证明表示式是唯一的——证由于线性相关，就有不全为零的数

使21设为两个表达式。得到

l1=h1,l2=h2,…，lt=ht

因此表示式是唯一的。且线性无关22定理3

有一个部分组线性相关的向量组必定线性相关。证设向量组有一个部分组线性相关。因此也线性相关。(部分相关

整体相关)不妨设这个部分组为，则有不全为零的数k1,k2,…,kr，使23推论1：包含零向量的向量组一定线性相关推论2：若m个向量

1，

2，…，

m线性无关，则其中任一部分组也线性无关。(整体无关部分无关)24(2)如果线性无关，那么也线性无关。(1)如果线性相关，那么也线性相关。证对列向量来证明定理。定理4在r维向量组的各向量添上n-r个分量变成n维向量组。如果线性相关，就有一个非零的s1矩阵X，使因此，

也线性相关，即(1)成立。利用(1)式，用反证法容易证明(2)式也成立。25推论当m>n时，m个n维向量组成的向量组线性相关。（即当向量组中向量个数大于向量维数时必定线性相关）定理5

任意n+1个n维向量

组成的向量组必线性相关。（证明利用数学归纳法）26证对任意的常数k1,k2,…,ks，即是对各分量的顺序进行重排后得到的向量组，则这两个向量组有相同的线性相关性。例4

设p1,

p2

,…pn为1,2,…,n中的某一个排列，

和为两向量组，其中27上两式只是各分量的排列顺序不同，因此当且仅当所以和有相同的线性相关性。28§3向量组的秩若向量组可以由向量组线性表示，则必存在一个矩阵，使得系数矩阵思考:如何利用定义证明两个向量组等价？如果两个向量组可以互相线性表示，就称它们等价。定义1

如果向量组

中的每个向量都可以由向量组线性表示，就称向量组可由线性表示。29向量组的等价具有下列性质：

(1)反身性：向量组与它自己等价；(2)对称性:如果向量组与等价，那么也与等价。(3)传递性:如果向量组与等价，而向量组又与等价，

那么等价。与30向量组的极大无关组与向量组的秩定义2(1)

1，

2，…，

r线性无关；(2)任取

，总有

1,

2,…,

r,

线性相关

设

1,

2,…,

r是某向量组中的r个向量，若满足：

则称

1,

2,…,

r为向量组

的一个极大线性无关组，简称极大无关组。31例如：对于向量组

T

：而

1,

2线性无关为T

的一个极大无关组；同样可以验证

2,

3;

1,

3

也是T的极大无关组。思考：当一个向量组中向量的个数比较多时如何求出该向量组的一个极大无关组?可知：

1,

2,

3线性相关，因为2

1+

2－

3=32注:(1)只含零向量的向量组没有极大无关组；(2)一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身；(3)一个向量组的任一向量都能由它的极大无关组线性表示；(4)一个向量组的极大线性无关组一般是不唯一的；（如情形（2）是唯一的）(5)同一个向量组的各个极大线性无关组中含有向量的个数是唯一的。33定理6性质1

向量组的极大无关组与向量组本身等价。性质2

同一个向量组的任意两个极大无关组（若存在）都等价。线性无关组a1，a2，…

，ar是其所在向量组的极大无关组的充要条件是向量组中的任一向量都可以被线性无关组a1，a2，…

，ar线性表示。定理7两个向量组等价的充要条件是它们的极大无关组等价。（证明两个向量组等价的另一种方法）极大无关组的性质:34定义3

向量组的极大无关组中所含向量的个数称为这个向量组的秩，记作

。（1）只有零向量的向量组的秩为0。（4）如果向量组可以由向量组线性表示，则注：（2）向量组线性无关≤（3）向量组线性相关35推论1定理8设两个向量组的秩分别为

，如果组可由组线性表示，则.（证明利用反证法）推论2

若一个向量组的秩为r，则该向量组中任意r个线性无关的向量都是它的一个极大无关组。两个等价的向量组的秩相同。思考:反之，成立吗?

答案:不一定36例5

设有三个向量组它们的秩依次为则思考1:

本例中，如果三个向量组的秩都相等，你能得到什么结论？答案：向量组与向量组等价思考2：到目前为止，要证明两个向量组等价你能找到几种方法？37例6设求该向量组的秩及一个极大无关组。思考：利用定义求向量组的秩，有何不便之处？有没有更直接的方法？38如果矩阵经过初等行变换变成矩阵，则向量组与向量组有相同的线性相关性根据上述结论，要求一个向量组的秩和极大无关组可以利用矩阵的初等行变换来完成例:利用矩阵的初等行变换计算例639例7求矩阵A的列向量组的一个极大无关组，并且把其余的列向量用极大无关组线性表示。解：设矩阵A的各列分别为下面利用矩阵的初等行变换把此矩阵化为行阶梯形40所以，矩阵A的列向量组的秩是3就是列向量组的一个极大线性无关组继续对上面矩阵进行初等行变换化为行最简形可知41定理1

矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，即若A～B，则R(A)=R(B).（等价矩阵的秩相等）求矩阵秩的方法：把矩阵用初等行变换化成行阶梯形矩阵，则行阶梯形矩阵中非零行的行数就是原来矩阵的秩。例1:,求A的秩。证明（略）注意：本定理的逆命题不一定成立42思考：此矩阵的标准形是什么?你能得到什么结论?矩阵的标准型有三种：

1.

阶梯型矩阵：阶梯型矩阵是指其每个非零行的第一个非零元素的左侧及其所在列以下全为零的矩阵。

2.

行简化梯形矩阵：行简化梯形矩阵是指线性代数中的矩阵，在所有全零行的上面，即全零行都在矩阵的底部。

3.

等价标准形矩阵：等价标准形矩阵是指经过多次变换后，得到一种最简单的矩阵，其左上角是一个单位矩阵，其余元素都是零。此矩阵即为原矩阵的等价标准型。44

通过前面可知，把矩阵的每一行看成一个向量，则矩阵可看作由这些行向量组成，称为矩阵的行向量组；把矩阵的每一列看成一个向量，则矩阵可看作由这些列向量组成，称为矩阵的列向量组。思考：矩阵的秩与这些向量组的秩会有什么关系呢？

定理２若，则存在可逆矩阵,使得＝45定义3矩阵A的行向量组的秩称为矩阵的行秩，记作Rr(A).矩阵A的列向量组的秩称为矩阵的列秩，记作Rc(A)

.

定理3

矩阵的初等变换不改变矩阵的行秩与列秩。定理4R(A)=Rr(A)=Rc(A)

,即矩阵的三秩相等。（利用此定理可以求向量组的秩）46例如:求下列向量组的秩并写出它的一个极大线性无关组。具体求法：把向量组的向量作为列向量构成一个矩阵，然后对该矩阵进行初等行变换化为行阶梯形，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是该向量组的秩，非零行的第一个非零元素所在的列对应的原来的向量就是它的一个极大线性无关组。47矩阵秩的性质：1.任意矩阵有2.任何矩阵与可逆矩阵相乘，秩不变。定理6AnBn=O时，有特别地，当（运算可行）其中，都是可逆矩阵．

48证明：下面给出

(3)的证明。设使得令其中C1为r1×r2阶矩阵其中C1是C中去掉n-r1行，n-r2列49§4向量空间定义1设是由维向量构成的集合，如果集合非空，且该集合中任意两个向量对加法和数乘两种运算都封闭，则称集合构成一个向量空间。例1：n维向量的全体是一个向量空间。例2：集合构成向量空间例3：集合不构成向量空间在向量空间V这个向量集合中：①任意取V的两个向量α、β，则α+β∈V，这叫V对加法封闭；②任意取V的一个向量α，及一个实数k，则kα∈V，这叫V对数乘封闭。50记作dimW＝r，称W是r维向量空间。