第二章 一元二次函数、方程和不等式（举一反三讲义培优篇）高一数学人教A版2019必修第一册（解析版）

2/30第二章一元二次函数、方程和不等式（举一反三讲义·培优篇）【人教A版（2019）】题型1题型1利用作差法、作商法比较大小1．（24-25高一上·全国·课后作业）若p=a+6−a+4，q=a+5−A．p<q B．p=q C．p>q D．不确定【答案】A【解题思路】利用作差比较大小可得答案.【解答过程】由题意知p−q=a+6a+6=2=2a因为a2+9a+18−a所以2a即a+6+所以p−q=a+6故p<q.故选：A.2．（2025·山西晋城·一模）若实数m，n，p满足m=4e35，n=5e2A．p<m<n B．p<n<m C．m<p<n D．n<p<m【答案】A【解题思路】根据作商法比较大小，即可得出结果.【解答过程】因为实数m，n，p满足m=4e35，n=5所以mn∴m<n；又mp∴m>p；∴p<m<n．故选：A．3．（24-25高一上·四川宜宾·阶段练习）若x<y<0，设M=x2+y2x−y,N=x2【答案】＞【解题思路】利用作差法求解.【解答过程】解：因为x<y<0，所以x−y<0,xy>0，所以M−N=x=x−y则M−N>0，即M>N，故答案为：＞.4．（24-25高一上·贵州六盘水·期中）从下列三组式子中选择一组比较大小：①设x>1,M=x−x−1②设M=x+3x+4,N=③设a>b>0,M=a2−注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分.【答案】①M>N；②M>N；③M>N；【解题思路】①利用有理根式可得M=1x+x−1>0,N=②用作差法比较即可；③用作差法或作商法比较即可.【解答过程】解：①M>NM=x因为x+1+所以1x+1即x+1−∴M>N.②M>NM−N=x+3∴M>N.③M>N方法一（作差法）M−N==a−b因为a>b>0，所以a+b>0,a−b>0,2ab>0,a所以2aba−b所以a2∴M>N..方法二（作商法）因为a>b>0，所以a2所以MN所以a2∴M>N.5．（24-25高一上·黑龙江黑河·阶段练习）已知b克糖水中有a克糖(b>a>0)，往糖水中加入m克糖m>0，（假设全部溶解）糖水更甜了．(1)请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式；(2)利用（1）的结论比较M=20192020(3)证明命题：设x>0,y>0,z>0，证明：1<x【答案】(1)ab(2)M>N(3)证明见解析【解题思路】（1）根据题意，得到不等式ab（2）根据题意，化简M=20192020（3）由（1）中的结论，得到xx+y<x+zx+y+z,yy+z【解答过程】（1）由题意，可得不等式ab证明：由ab因为b>a>0,m>0，可得a−b<0,b+m>0，所以ab−a+m（2）由M=20192020由（1）中的结论，可得20192017+320232021+3>20192017（3）证明：因为x>0,y>0,z>0，由（1）中的结论，可得xx+y所以xx+y又由xx+y=x+y−y则xx+y由上述结论，可得yx+y+z综合①②，得1<x题型2题型2利用不等式的性质求取值范围1．（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）已知实数x，y满足1≤x+y≤4，−1≤x−y≤2，则4x−2y的取值范围是（

）A．−4,10 B．−3,6 C．−5,13 D．−2,10【答案】D【解题思路】利用待定系数法求得4x−2y=x+y+3x−y【解答过程】设4x−2y=mx+y+nx−y所以，m+n=4m−n=−2，解得m=1n=3，即∵1≤x+y≤4−1≤x−y≤2，则因此，4x−2y=x+y故选：D.2．（24-25高一上·四川泸州·阶段练习）已知实数x，y满足−4≤x−y≤−1，−1≤4x−y≤5，则6x−3y的取值范围是（

）A．−9,3 B．−7,26C．4,15 D．1,15【答案】A【解题思路】设6x−3y=mx−y+n4x−y，求出m【解答过程】设6x−3y=mx−y则m+4n=6m+n=3，解得m=2n=1，所以因为−4≤x−y≤−1，所以−8≤2x−y又−1≤4x−y≤5，所以−9≤2x−y+4x−y所以6x−3y的取值范围是−9,3.故选：A.3．（24-25高一上·全国·周测）若−2≤a≤2，1≤b≤3，则2a−b的取值范围为．【答案】−7,3【解题思路】由不等式式性质计算即可.【解答过程】因为−2≤a≤2，1≤b≤3，所以−4≤2a≤4，−3≤−b≤−1，根据同向不等式可加性得−7≤2a−b≤3．故答案为：−7,3．4．（24-25高一上·全国·课后作业）已知−1<x<4，2<y<3．(1)求x−y的取值范围；(2)求3x+2y的取值范围．【答案】(1)−4<x−y<2(2)1<3x+2y<18【解题思路】（1）由不等式的性质求解即可；（2）由不等式的性质求解即可；【解答过程】（1）因为−1<x<4，2<y<3，所以−3<−y<−2，所以−4<x−y<2．（2）由−1<x<4，2<y<3，得−3<3x<12，4<2y<6，所以1<3x+2y<18．5．（24-25高一上·重庆·期中）已知0<x<5,1<y<2(1)求x−2y,x(2)若将条件变为“−1≤x+y≤2,−2≤x−y≤1”，求x−2y的范围【答案】(1)−4<x−2y<3，x(2)x−2y∈【解题思路】（1）利用不等式的性质和齐次化可求x−2y,x（2）利用待定系数法结合不等式的性质可求x−2y的范围.【解答过程】（1）因为0<x<5,1<y<2，所以−4<−2y<−2，所以−4<x−2y<3；因为0<x<5，所以1x>15（2）令x−2y=mx+y+nx−y所以1=m+n−2=m−n，则m=−12因为−1≤x+y≤2,−2≤x−y≤1，所以−1≤−1所以x−2y∈−4,2题型3题型3利用不等式的性质证明不等式1．（24-25高一上·山西太原·阶段练习）若实数a，b满足a<b<0，则（

）A．a−b>0 B．ac<bc C．a<b 【答案】D【解题思路】利用不等式的性质，判断各选项是否正确.【解答过程】由a<b<0，则a−b<0，A选项错误；由a<b<0，c≤0时，不满足ac<bc，B选项错误；由a<b<0，则a>由a<b<0，则a+c<b+c，D选项正确.故选：D.2．（24-25高三上·吉林四平·阶段练习）已知实数a,b,c,若a>b>c,则下列不等式一定成立的是（

）A．a−b>b−c B．ac>C．aa−c>bb−c【答案】D【解题思路】由a>b>c不妨取特殊值将选项A,B,C排除,关于D,由a>b>c,即有a−c>b−c>0,取倒数即可证明选项正误.【解答过程】解:由题知a>b>c,不妨取a=3,b=2,c=−1,则有a−b=1<b−c=3,ac=−3<b故选项A,B错误;关于选项C,不妨取a=−1,b=−2,c=−3,aa−c故选项C错误;关于选项D,∵a>b>c,∴a−c>b−c>0,∴1故选项D正确.故选:D.3．（24-25高一上·全国·课后作业）设x>0，y>0，z>0，证明：1<x【答案】证明见解析【解题思路】由x+y+z>x+y，x+y+z>x+z，x+y+z>y+z和xx+y>xx+y+z，【解答过程】由题意知x>0，y>0，z>0，则有x+y+z>x+y，x+y+z>x+z，x+y+z>y+z，①xx+y>xx+y+z，所以xx+y又根据①的结论可知xx+y<x+zx+y+z，所以xx+y综上所述，1<x4．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知a>b>1，d<c<−2．(1)求证：a−1b−1(2)求证：ac+bd>bc+ad．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解题思路】（1）利用不等式的性质证明即可；（2）应用作差法比较大小，即可证.【解答过程】（1）由a>b>1，则a−1>0,b−1>0，故(a−1)(b−1)>0，由d<c<−2，则c+2<0,d+2<0，故(c+2)(d+2)>0，所以a−1b−1（2）由ac+bd−bc−ad=c(a−b)+d(b−a)=(c−d)(a−b)，而a−b>0,c−d>0，所以ac+bd−bc−ad=(c−d)(a−b)>0，即ac+bd>bc+ad，得证.5．（24-25高一上·四川成都·阶段练习）如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：yx(1)证明糖水不等式；(2)已知a，b，c是三角形的三边，求证：1<a【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解题思路】（1）由作差法证明；（2）由糖水不等式变形证明．【解答过程】（1）y+mx+m因为x>y>0,m>0，所以x+m>0,x−y>0，所以mx−yxx+m（2）因为a,b,c是三角形的三边，所以b+c>a>0，由（1）知ab+c同理ba+c所以ab+c又ab+c>所以a所以原不等式成立．题型4题型4条件等式求最值1．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）若x>0，y>0，且x+y=xy，则xx−1+2yA．2+23 B．3+22 C．4【答案】B【解题思路】先化简已知等式，再应用基本不等式计算求解即可.【解答过程】因为x>0，y>0，且x+y=xy，则x−1y−1xy=x+y>y⇒x>1，同理y>1，则xx−1当且仅当x=1+22,y=1+2时，故选：B.2．（24-25高一上·四川德阳·期末）已知a>0,b>1,a+4b−1=1，则4A．15 B．16 C．17 D．18【答案】C【解题思路】根据条件等式有4a+b=(b−5)+16【解答过程】由题设a=1−4b−1=b−5b−1所以4当且仅当b−5=16b−5即故选：C.3．（24-25高一上·福建福州·期中）已知x>0，y>1且6x+y−1−xy−1=0，2x+3y的最小值为【答案】35【解题思路】由6x+y−1−xy−1=0，得到【解答过程】因为x>0，y>1且6x+y−1−xy−1=0，所以所以2x+3y=2x+3y−1=3当且仅当3y−1x=所以2x+3y最小值为35.故答案为：35.4．（24-25高一上·河北衡水·阶段练习）已知x>2，y>0，xy=y+4．(1)求x+y的最小值和x−12(2)求x+4【答案】(1)x+y的最小值为5，x−12+(2)5【解题思路】（1）依题意可得x=1+4（2）结合（1）可得x+4【解答过程】（1）因为x>2，y>0，xy=y+4，所以x=1+4y，所以x=1+4所以x+y=1+4y+y≥1+24y⋅y=5所以x+y的最小值为5；又x−12+y2=16y所以x−12+y（2）因为x=1+4y，x>2且0<y<4，所以所以x+=1+1+4−y当且仅当4−yy=y4−y，即所以x+44−y的最小值为5．（24-25高一上·江西·期中）已知正数a，b满足ab=2a+b+2.(1)求a+2b的最小值；(2)求1a【答案】(1)5+4(2)2【解题思路】（1）用a表示b得b=2a+2（2）计算得1a+2b+【解答过程】（1）由ab=2a+b+2，得b=2a+2因为a>0，b>0，所以a>1，所以a+2b=a+=a−1当且仅当a−1=8a−1，即故a+2b的最小值为5+42（2）由ab=2a+b+2，得2a+b+2ab=1，即令1a+2b=t，则2由1a+2b+整理得t2+4t−4≥0，解得t≥22又由t>0，得1a+2b≥2故1a+2题型5题型5利用基本不等式证明不等式1．（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）已知a,b>0，则下列不等式中不成立的是（

）A．a+b+1ab≥2C．a2+b【答案】D【解题思路】根据基本不等式依次判断选项即可.【解答过程】A.∵a+b≥2ab（当且仅当a=b∴a+b+1ab≥2ab+选项A正确.B.(a+b)1a+1b选项B正确.C.∵a2+b∴a2选项C正确.D.∵a+b≥2ab（当且仅当a=b∴2aba+b选项D错误.故选：D.2．（24-25高一上·云南文山·阶段练习）已知a,b为不相等的正实数，满足a+1a=b+A．a+b>2 B．1C．ba+16【答案】C【解题思路】由已知可得ab=1，再利用基本不等式判断各个选项.【解答过程】由a+1因为a,b为不相等的正实数，所以ab=1，对于A，a+b>2ab对于B，1a+1b+8a+b对于C，ba+16b=对于D，8a2+b2a2+1≥4故选：C．3．（24-25高一上·全国·课后作业）（1）若a，b，c，d都是正数，求证：ab+cdac+bd（2）若a，b，c都是正数，求证：ab【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解题思路】（1）对ab+cd,ac+bd分别应用基本不等式即可证明；（2）对b2【解答过程】证明

（1）由a，b，c，d都是正数，利用基本不等式可知，ab+cd≥2abcd当且仅当ab=cd时，等号成立；ac+bd≥2acbd，当且仅当ac=bd所以ab+cdac+bd即有ab+cdac+bd≥4abcd，当且仅当a=d，（2）由a，b，c都是正数，利用基本不等式可知，b2+cc2+aa2+b所以ab当且仅当a=b=c时，等号成立.4．（24-25高一上·四川德阳·阶段练习）已知a>0，b>0，c>0，且a+b+c=1，证明：(1)a2(2)(1+a)(1+b)(1+c)≥8(1−a)(1−b)(1−c).【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解题思路】（1）利用基本不等式可证不等式成立；（2）利用基本不等式结合“1”的代换可证不等式成立.【解答过程】（1）因为a2当且仅当a=b=c时等号成立，故a2c+故a2（2）(1+a)(1+b)(1+c)=2a+b+c由基本不等式有2a+b+c=a+c+a+b≥2a+c2b+a+c=b+c+b+a≥2b+c2c+a+b=c+a+c+b≥2a+c故(1+a)(1+b)(1+c)≥8a+b当且仅当a=b=c=15．（24-25高一上·上海·课后作业）（1）已知x、y都是正数，求证：x+yx（2）已知a>0，b>0，c>0，求证：bca【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解题思路】（1）对x+y，x2+y（2）对bca+acb，【解答过程】证明：（1）∵x、y都是正数，∴x+y≥2xy>0，x2∴x+yx2+当且仅当x=y时，等号成立．（2）∵a>0，b>0，c>0，∴bca+acb≥2c∴2bc故bca+ac即a=b=c时等号成立．题型6题型6基本不等式的恒成立问题1．（24-25高一上·四川达州·期中）已知a>0，b>0，若不等式ma+b≤4a+9bab恒成立，则实数A．64 B．25 C．13 D．12【答案】B【解题思路】将不等式变形为m≤4a+9b【解答过程】a>0，b>0，则a+b>0，不等式ma+b≤4a+9b4a+9bab当且仅当4ab=9b所以m≤25，即实数m的最大值为25.故选：B.2．（24-25高三上·浙江宁波·期末）设实数x,y满足x>32，y>3，不等式k2x−3y−3≤8A．12 B．24 C．23 D．【答案】B【解题思路】原不等式可转化为4x2y−3【解答过程】由x>32，y>3变形可得2x−3>0，令a=2x−3>0，b=y−3>0，则k2x−3y−3≤8x3其中4x当且仅当a=3b=3ba=a所以不等式4x2y−3故选：B.3．（24-25高一上·上海杨浦·期中）若对任意正实数a，b；不等式a2+4b2≥【答案】−【解题思路】变形得1k≤a【解答过程】因为a>0，b>0，所以由a2+4b2≥由基本不等式得ab+4ba≥2因此ab+4ba的最小值为4，则1k故答案为：−∞4．（24-25高一上·广东深圳·期中）已知x,y>0满足x+y=6.(1)求yx(2)若x2+4y【答案】(1)1(2)m【解题思路】（1）变形后，利用基本不等式“1”的代换求出最小值；（2）先求出0<y<6，参变分离得到m≤x2+4y2x+4y，变形得到x2【解答过程】（1）y≥1当且仅当2yx=x即yx+3（2）由x>0,y>0,x+y=6，得x=6−y>0，即0<y<6，不等式x2+4yx=5当且仅当y+2=16y+2，即因此当x=4,y=2时，x2+4y2x+4y所以m的取值范围mm≤5．（24-25高一上·四川达州·阶段练习）已知正数x，y满足2x+y−xy=0.(1)求4xx−1(2)若xy+2−42【答案】(1)25(2)−6,1【解题思路】（1）由已知等量关系化简代数值并转化“1”，然后利用基本不等式解得最小值；（2）不等式恒成立等价于求最值问题，先利用等量代换和基本不等式求出左边最小值，再解不等式即可得出范围.【解答过程】（1）∵2x+y−xy=0，∴2y+1x=1∴4xx−1当且仅当18xy=2yx，即所以4xx−1（2）∵y=xy−2x=xy−2，∴x=∴xy+2∵x=yy−2>0且y>0∴xy+2=y−2+8y−2+6≥4∴xy+2∴6>m2+5m恒成立，即m所以实数m的取值范围为−6,1.题型7题型7基本不等式的有解问题1．（24-25高一上·重庆渝北·阶段练习）若两个正实数x，y满足1x+4y=1，且不等式x+A．m<4 B．m>4 C．m<2 D．m>2【答案】B【解题思路】根据基本不等式"1"的替换进行求解即可.【解答过程】因为正实数x，y满足1x所以x+y当且仅当y4x=4x因此要想x+y只需m>4，故选：B.2．（24-25高一上·云南昆明·阶段练习）若两个正实数x,y满足x+y=1，且存在这样的x,y使不等式1x+1+4y+2<A．m−3<m<34C．{m∣m<−3或m>3【答案】C【解题思路】利用基本不等式进行代换，从而求出答案.【解答过程】由x+y=1,x,y>0，可得，(x+1)+(y+2)=4所以1=1当且仅当y+2x+1=4(x+1)所以m2+94m>故选：C.3．（24-25高一上·浙江·阶段练习）已知正实数x，y满足3x+y=1，若不等式yx+1y≤m【答案】2【解题思路】利用“1”的代换及基本不等式求出yx【解答过程】因为正实数x，y满足3x+y=1，所以yx当且仅当yx=3xy，即所以yx+1y的最小值为所以m≥23+1，即实数m的取值范围为故答案为：234．（24-25高一上·江苏连云港·期中）已知正实数x，y，满足x+2y−xy=0．(1)求xy的最小值；(2)若关于x的方程x(y+1)−42【答案】(1)8；(2)m≥3或m≤−2﹒【解题思路】(1)利用基本不等式将x＋2y转化为xy形式，解不等式即可；(2)结合已知条件对x(y+【解答过程】（1）∵x，y为正实数，x+2y−xy=0，∴x+2y=xy≥2解得：xy≥8，当且仅当x=2y，即x＝4，y＝2时，等号成立，则xy的最小值为8．（2）由x+2y−xy=0得：x+2y=xy，则2x∴x(y+1)−4=2(x+y)−42xy+当且仅当x=2y，即x=2+∴m2−m≥6，解得：m≥3或5．（24-25高一上·云南玉溪·阶段练习）已知a>0，b>0.(1)4a+9b=ab且a+b<m2−24m(2)ab−a−2b−2=0，求a+1b+2【答案】(1)−(2)25【解题思路】（1）利用基本不等式可求a+b的最小值，进而得不等式25<m（2）由ab−a−2b−2=0得b=a+2【解答过程】（1）因为正数a，b满足4a+9b=ab，所以4b所以a+b=a+b4b当且仅当4ab=9ba，即所以a+b的最小值为25，由a+b<m2−24m即m2−24m−25>0，解得m>25或所以实数m的取值范围是−∞（2）因为a>0，b>0，且满足ab−a−2b−2=0，所以b=a+2a−2>0，所以a>2则a+1=3a+12a−2+7=3当且仅当3a−2=12a−2，即所以a+1b+2题型8题型8由一元二次不等式的解确定参数1．（24-25高一上·湖北·阶段练习）已知不等式ax2+bx+c<0的解集为{x∣x<−1或x>3}A．a>0B．c<0C．a+b+c<0D．cx2【答案】D【解题思路】根据不等式与方程的关系，结合韦达定理，求得a,b,c的关系，再分析选项即可求解.【解答过程】对于A，由已知可得y=ax2+bx+c对于BCD，x=−1,x=3是方程ax所以−b所以c>0,a+b+c=a−2a−3a=−4a>0，⇒cx故选：D.2．（24-25高一上·河北沧州·阶段练习）若关于x的不等式x2−a+3x+2a+2<0的解集中恰有3个整数，则实数A．a−3≤a<−2 B．{aC．{a−3<a<−2或4<a<5} D．【答案】B【解题思路】将原不等式化为x−2x−a−1<0，按照【解答过程】x2当a=1时，不等式x−22当a>1时，不等式x−2x−a−1<0的解集为要使关于x的不等式x2只需满足a+1>5,a+1≤6,解得4<a≤5当a<1时，不等式x−2x−a−1<0的解集为要使关于x的不等式x2只需满足a+1<−1,a+1≥−2,解得−3≤a<−2综上，实数a的取值范围为a−3≤a<−2故选：B.3．（24-25高一上·云南昆明·阶段练习）若关于x的不等式−x2+2a+1x−2a>0【答案】a−1≤a<−1【解题思路】应用分类讨论求一元二次不等式的解集，根据整数解个数列不等式求参数范围.【解答过程】令x2−2a+1x+2a=0，解得当2a>1，即a>12时，不等式x2−2a+1x+2a<0的解集为当2a=1，即a=12时，不等式x2当2a<1，即a<12时，不等式x2−2a+1x+2a<0的解集为综上，a的取值范围是a−1≤a<−12故答案为：a−1≤a<−124．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)，关于x不等式1≤f(x)≤2(1)解关于x的不等式ax(2)关于x的不等式ax2+(b−5)x−2c−1≤0【答案】(1)答案见解析(2)5【解题思路】（1）结合不等式的解集，利用三个二次关系列式求得b=−3ac=2a+20<a≤4，然后将所求不等式转化为（2）将所求不等式化简为(x+1)x−4a+5a≤0，结合【解答过程】（1）因为不等式1≤f(x)≤2的解集为{x∣1≤x≤2}，且a>0，所以ax2+bx+c≥1故−ba=3不等式ax2+(b−1)x+3<0整理得x−1当a=13时，不等式化为(x−3)2当13<a≤4时，1a<3，原不等式的解为当0<a<13时，1a>3，原不等式的解为（2）不等式ax2+(b−5)x−2c−1≤0整理得(x+1)x−因为0<a≤4，所以4a+5a>−1，所以不等式的解集为因为不等式ax所以5≤4a+5a<6，解得52<a≤55．（24-25高一上·河北衡水·阶段练习）已知a,b,c∈R，关于x的一元二次不等式−x2+bx+6>0(1)求b，c的值；(2)若a为非负实数，解关于x的不等式ax【答案】(1)c=3，b=1(2)答案见解析【解题思路】（1）根据一元二次不等式的解以及根与系数关系求得b,c.（2）对a进行分类讨论，由此求得不等式的解集.【解答过程】（1）因为不等式−x2+bx+6>0所以−2和c是方程−x根据韦达定理，可得−2+c=−b−1=b解得c=3，b=1.（2）由（1）知b=1，c=3，则不等式为ax2−(3a+1)x+3<0当a=0时，不等式化为−x+3<0，解得x>3.当0<a<13时，1a当a=13时，不等式化为(1当a>13时，1a综上所得，当a=0时，解集为{x|x>3}；当0<a<13时，解集为当a=1当a>13时，解集为题型9题型9一元二次不等式恒成立问题1．（24-25高一上·海南海口·阶段练习）不等式ax2+2ax+1>0对一切实数x恒成立，则实数aA．(0,1) B．[0,1] C．[0,1) D．(−【答案】C【解题思路】当a=0时符合题意，当a≠0时，根据一元二次不等式在R上恒成立可得a的取值范围.【解答过程】当a=0时，1>0恒成立，符合题意.当a≠0时，a>0Δ=2a综上得，a的取值范围是[0,1).故选：C.2．（24-25高一上·江苏南通·期中）∀x∈−1,+∞,x2A．−∞,−1 B．−∞,0 C．【答案】D【解题思路】转化问题为k≤x2+x+1x+1对于【解答过程】由x2+1−k则问题转化为k≤x2+x+1又x2当且仅当x+1=1x+1，即所以k≤1，即实数k的取值范围为−∞故选：D.3．（24-25高一上·安徽宿州·期中）已知关于x的不等式x2−a+4x+2a+5≥0在−∞,2上恒成立，则【答案】−2【解题思路】条件可转化为a≥−2−x−12−x在−∞【解答过程】由不等式x2−a+4得2−xa≥−x2所以a≥−x2又2−x+12−x当且仅当2−x=12−x，即所以a≥−2，故a的最小值为−2.故答案为：−2.4．（24-25高一上·内蒙古包头·期末）已知关于x的不等式2ax(1)若不等式2ax2+ax−(2)在（1）的条件下，解关于x的不等式x2【答案】(1)a|−3<a≤0；(2){x|a<x<1−a}.【解题思路】（1）根据给定条件，按a=0或a<0分类讨论，列式求出a的取值范围.（2）根据（1）中的取值范围可得到不等式对应方程的根的大小，进而求出不等式的解集.【解答过程】（1）关于x的不等式2ax则当a=0时，原不等式为−3当a≠0时，2a<0Δ=a所以a的取值范围为a|−3<a≤0.（2）不等式x2−x−a由（1）知，−3<a≤0，则1−a>0≥a，解得a<x<1−a，所以原不等式的解集为{x|a<x<1−a}.5．（24-25高一上·四川成都·阶段练习）设y=mx(1)解关于x的不等式y<m−x−5(m∈R(2)若对于任意1≤x≤3，y<0恒成立，求实数m的取值范围；(3)若对于任意−2≤m≤2，y<0恒成立，求实数x的取值范围.【答案】(1)答案见解析；(2)−∞(3)−1,2.【解题思路】（1）就m的不同的取值范围分类讨论后可得不等式的解集；（2）利用参变分离结合二次函数的性质可求参数的取值范围；（3）构建关于m的一次函数，根据其单调性可得关于x的不等式，从而可求x的范围.【解答过程】（1）由mx2−mx−6+m<m−x−5，化简得m当m=0时，x−1<0，解得x<1.当m>0时，不等式mx+1x−1<0解得当−1<m<0时，不等式mx+1x−1<0解得x<1或当m=−1时，不等式mx+1x−1<0解得x<1或当m<−1时，对于不等式mx+1x−1<0，解得x>1或综上所述：当m<−1时，关于x的不等式解为−∞当m=−1时，关于x的不等式解为−∞当−1<m<0时，关于x的不等式解为−∞当m=0时，关于x的不等式解为−∞当m>0时，关于x的不等式解为−1（2）要使fx=mx即mx2−x+1因为当x∈1,3时，x2−x+1∈1,7，所以有当x∈1,3时，令gx=所以m<6x2−x+1在即m<67，故实数m的取值范围为（3）设f则gm是关于m的一次函数，且一次项系数为x所以gm在−2,2所以gm<0等价于g2故实数x的取值范围为−1,2.题型10题型10一元二次不等式有解问题1．（24-25高一上·福建莆田·阶段练习）若∃x∈x|1≤x≤3，使得x2−2ax+a+2≤0成立，则实数aA．a≥1 B．a≥2 C．a≥3 D．a≥【答案】B【解题思路】分析可知原题