第三章 函数的概念与性质（举一反三单元测试拔尖卷）高一数学人教A版必修第一册（解析版）

2/30第三章函数的概念与性质（举一反三单元测试·拔尖卷）参考答案与试题解析第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1．（5分）（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）以下各组函数中，不是同一函数的是（）A．f(x)=3x3C．f(x)=x0,g(x)=【答案】A【解题思路】对于选项B，C，D中两个函数的定义域相同，对应法则相同，故均为同一函数，而对于A选项，两个函数对应法则不同，故两个函数不是同一函数.【解答过程】对于A选项，两个函数的定义域相同，f(x)=3对于B，f(x)=x故得到两个函数是同一函数；对于C，两个函数的定义域相同为xx≠0且f(x)=x对于D，两个函数定义域相同，f(x)=x−1,x≥1对应法则相同，故两个函数是同一函数.故选：A.2．（5分）（24-25高一上·吉林通化·期末）已知fx+1=x+2A．fx=x2 B．C．fx=x2−2x+2（x≥1）【答案】D【解题思路】令x+1=t【解答过程】令x+1=tt≥1，则∴ft所以fx故选：D.3．（5分）（24-25高一上·云南昭通·期中）已知幂函数fx=m2−3m+3xm是R上的偶函数，且函数gA．3,+∞ B．−∞,1 C．−【答案】A【解题思路】根据幂函数的性质得到m=2，则gx=x【解答过程】因为幂函数fx=m则m2−3m+3=1，解得m=1或当m=1时，fx当m=2时，fx=x2，该函数是定义域为则gx=x因为gx在区间1,3上单调递减，则a≥3故选：A.4．（5分）（24-25高一上·四川成都·阶段练习）函数y=xx2A． B．C． D．【答案】B【解题思路】利用函数的奇偶性排除两个选项，再利用0<x<1时函数值的正负即可判断得解.【解答过程】函数y=xx2−1中，x2由|−x|(−x)2−1=|x|当0<x<1时，|x|x故选：B.5．（5分）（25-26高一上·全国·单元测试）已知点3,13在幂函数fx=xα的图象上，设a=f−1A．a>b>c B．b>c>a C．c>a>b D．c>b>a【答案】D【解题思路】根据已知条件求出fx【解答过程】由于点3,13在幂函数fx=x由于−1<0，所以a=f−1又22=1所以c>b>0>a，即c>b>a故选：D.6．（5分）（24-25高一上·全国·课后作业）数学建模，就是根据实际问题建立数学模型，对数学模型进行求解，然后根据结果去解决实际问题．小明和他的数学建模小队现有这样一个问题：提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，那么，怎样才可以提高呢？我们理想化地建立这样一个关系，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明，当x∈[20,200]时，车流速度v是车流密度x的一次函数．问：当车流密度多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大？（

）A．60 B．100 C．200 D．600【答案】B【解题思路】首先求得分段函数的解析式，然后分类讨论求解不等式即可确定车流密度的取值．【解答过程】解：当20≤x≤200时，设v=kx+b，则60=20k+b0=200k+b，解得于是v=设车流量为q，则q=v⋅x=当0≤x<20时，q=60x,此时，函数在区间[0,20)上是增函数，恒有q<1200；当20≤x≤200时，q=−13x2+因此恒有q≤100003，等号成立当且仅当综上所述，当x=100时，函数取得最大值，即车流量最大，最大值约为3333辆．故选：B．7．（5分）（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x1,x2∈(0,+∞)且x1≠A．(−∞,−6)∪(0,6) C．(−6,0)∪(0,6) D．(−【答案】B【解题思路】构造g(x)=f(x)x，利用函数单调性与奇偶性的定义与判断得g(x)的性质，再分类讨论x=0，x>0与x<0三种情况，利用【解答过程】由当x1,x2∈(0,+∞)令g(x)=f(x)x，则∀x1,因此函数g(x)在(0,+∞)上单调递增，又f(x)是定义在则g(x)的定义域为−∞,0∪于是g(x)是偶函数，g(x)在(−∞,0)上单调递减，当x=0时，f(0)=0，不等式f(x)>x无解；当x>0时，不等式f(x)>x⇔f(x)x>1⇔g(x)>1=g(6)当x<0时，不等式f(x)>x⇔f(x)x<1⇔g(x)<1=g(−6)因此−6<x<0或x>6，所以不等式f(x)>x的解集为(−6,0)∪(6,+∞故选：B.8．（5分）（24-25高一上·福建福州·期中）已知函数fx的定义域为R，fx+4为偶函数，f−x+2为奇函数，且fA．fB．x=4为函数fxC．函数fx在4,8D．f1【答案】D【解题思路】由f−x+2为奇函数可得f−x+2+fx+2=0，取x=0，即可判断A；由fx+4为偶函数可得fx+4=f−x+4【解答过程】A选项，因f−x+2为奇函数，则f令x=0，得2f2=0，可得B选项，因fx+4为偶函数，则f即x=4为函数fxC选项，由f−x+2+fx+2=0，得又fx在0,2上单调递增，则f所以fx在0,4又由B选项可知函数fx在4,8D选项，由B选项，fx+4=f−x+4，令x=−3故选：D．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．（6分）（24-25高一上·吉林通化·阶段练习）下列说法正确的是（

）A．函数fx+1的定义域为−2,2，则函数fxB．fx=xC．函数y=1xD．定义在R上的函数fx满足2fx【答案】ACD【解题思路】对于A求抽象函数的定义域，由−2≤x≤2得−1≤x+1≤3即可判断，对于B判断是否是同一个函数只需判断定义域和对应关系即可，对于C由x2≥0得x2【解答过程】对于A：由fx+1的定义域为−2,2，则−2≤x≤2⇒−1≤x+1≤3，所以函数fx的定义域为对于B：函数fx=x2x的定义域为x对于C：由x2≥0⇒x2+3≥3，所以0<对于D：由2fx−f−x=x+1，所以故选：ACD.10．（6分）（24-25高一上·山东青岛·期中）已知函数fx=xa的图象经过点A．fx的图象经过点0,0 B．fx的图象关于C．fx在1,2上单调递减 D．fx在1,2【答案】BC【解题思路】根据函数解析式和图象经过的点求出a=−2，进而利用fx【解答过程】因为fx=x所以12a=4，解得a=−2对于A，因为fx=1所以fx的图象不经过点0,0对于B，因为fx=x又f−x所以fx是偶函数，其图象关于y对于C，因为t=x2在1,2上单调递增，且所以fx=1对于D，由选项C可知fx在1,2上最大值为f故选：BC.11．（6分）（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）若定义在−1,1上不恒为0的fx，对于∀x,y∈−1,1都满足fx+fy=fx+yA．f0=0 B．C．f13+f14>f【答案】ABD【解题思路】A：令x=0可得结果；B：令y=−x可得结果；先结合奇偶性分析fx在0,1上的单调性，由此可判断D；根据条件将f【解答过程】对于A：令x=y=0，则f0+f0对于B：令y=−x，则fx+f−x且定义域为−1,1关于原点对称，所以fx对于CD：∀x1,因为0<x1<x2<1，所以因为x1且x1所以x1−x21−因为x∈−1,0时，fx>0所以fx1>fx2又因为f13+f14故选：ABD.第II卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）（24-25高一上·云南红河·阶段练习）若函数fx的定义域为1,3，则函数gx=f【答案】1,2【解题思路】由1≤2x−1≤3x−1>0【解答过程】由题意可得：1≤2x−1≤3x−1>0解得：1<x≤2，所以定义域是1,2，故答案为：1,2.13．（5分）（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）已知幂函数fx=xp2−2p−3p∈N∗的图像关于y轴对称，且在0,+∞上是减函数，实数【答案】(−1,4)【解题思路】运用幂函数定义和性质求出p，再根据单调性解不等式.【解答过程】因为幂函数y=xp2所以p2−2p−3<0，即解得−1<p<3.又因为p∈N*，所以p=1或当p=1时，p2−2p−3=−4，图象关于y轴对称，且满足题意.原不等式为(a2−1)则不等式化为a2−1<3a+3，解得当p=2时，p2−2p−3=−3，fx综上，实数a的取值范围为(−1,4).故答案为：(−1,4).14．（5分）（24-25高一上·广东广州·期末）设f(x)是定义在R上的奇函数，对任意的x1,x2∈(0,+∞),x1≠x【答案】[0,2]∪(−【解题思路】令g(x)=f(x)x,x≠0，由条件可得g(x)的奇偶性与单调性，分为x>0,x<0,x=0【解答过程】因为f(x)为R上的奇函数，所以f−x=−fx不妨设x1>x2>0则x2f(x令g(x)=f(x)x,x≠0，则g(x)=g(x)=f(x)x的定义域为且g(−x)=f(−x)故g(x)=f(x)x为偶函数，g(x)=f(x)当x>0时，f(x)−2x≤0⇒f(x)≤2x⇒f(x)因为f2=4，所以故f(x)x≤f(2)2，即当x<0时，f(x)−2x≤0⇒f(x)≤2x⇒f(x)因为g2=2，所以故gx≥g−2当x=0时，f0故不等式f(x)−2x≤0的解集为0,2∪(−故答案为：0,2∪(−四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。15．（13分）（24-25高一上·新疆阿克苏·期中）求下列函数的定义域或值域：(1)求y=1(2)f(x)=−【答案】(1)x|−2≤x≤2且x≠1且x≠(2)0,3.【解题思路】（1）根据题意由x−1≠02x−1≠0（2）令t=−x2+4x+5【解答过程】（1）解：由题意得：x−1≠02x−1≠0解得−2≤x≤2且x≠1且x≠1所以函数的定义域为x|−2≤x≤2且x≠1且x≠（2）由题意得t=−x所以y=t所以函数f(x)的值域是0,3.16．（15分）（24-25高一上·吉林四平·阶段练习）已知幂函数fx=p(1)求fx(2)若f3−a>f2a−1【答案】(1)f(2)1【解题思路】（1）根据幂函数的定义，结合f3（2）根据幂函数的定义域以及单调性求解不等式即可.【解答过程】（1）由fx可得p2−3p+3=1，解得p=1或当p=1时，fx=x−1在当p=2时，fx=x12故fx（2）由（1）知fx=x12，则函数fx的定义域为又f3−a所以3−a≥02a−1≥03−a>2a−1，解得所以实数a的取值范围是1217．（15分）（24-25高一上·山东潍坊·期中）某地结合实际情况，因地制宜发展生态产业，计划未来五年内在当地建造一批生态农场.经过调研得知，初期需投入固定成本300万元，除此之外，建造x个生态农场需另投入成本Dx万元，且D(1)求该期间生态农场带来的利润Lx（万元）关于农场数目x(2)建造多少个生态农场能给当地带来最大利润？并求最大利润.【答案】(1)L(2)70个，640万元【解题思路】（1）利润=销售额-另投入成本-固定成本，分段计算整理即可；（2）分别计算分段函数的最值，比较得出函数最值.【解答过程】（1）根据题意得当0<x≤30时，Lx当x>30时，Lx=30x−34x−19600所以L（2）当0<x≤30时，LxLx在0,30内单调递增，所以当x=30时，L当x>30时，Lx因为4x+19600x≥2即x=70时，等号成立，所以Lx因为640>450，所以当x=70时，Lx所以建造70个生态农场获得的利润最大，最大利润为640万元.18．（17分）（24-25高一上·四川乐山·期中）已知函数fx=ax+bx2(1)求函数fx(2)判断函数fx在−3,(3)解不等式f2t【答案】(1)f(x)=x(2)f(x)是(−3,3)上的增函数，证明见解析；(3)(1【解题思路】（1）由f(0)=0求得b，再由f1=1（2）根据单调性定义证明；（3）由奇偶性变形不等式，再由单调性求解．【解答过程】（1）因为函数fx=ax+bx2+9定义在所以f(1)=a1+9=110f(−x)=−x所以f(x)=x（2）f(x)是(−3,3)上的增函数，证明如下：设−3<x1<因为−3<x1<x2<3，所以所以f(x1)−f(所以f(x)是(−3,3)上的增函数；（3）由题意f(x)是(−3,3)上的递增的奇函数，由f(2t)+f(t−1)>0得f(2t)>−f(t−1)=f(1−t)，所以2t>1−t−3<2t<3−3<t−1<3，解得所以不等式的解集为(119．（17分）（24-25高一上·辽宁·阶段练习）已知定义在R上的函数f(x)满足：对任意的实数x,y，均有f(xy)=f(x)f(y)，且f(−1)=−1，当0<x<1时，f(x)∈(0,1)．(1)判断f(x)的奇偶性；(2)判断f(x)在(0,+∞(3)若对任意x1，x2∈[−1,1]，a∈[−1,5]，总有2【答案】(1)奇函数(2)f(x)在(0,+∞(3)(−∞【解题思路】（1）令y=−1，结合f−1=−1得（2）先利用条件证x>0时，fx（3）先判断f