专题1.2 集合间的基本关系（举一反三讲义）高一数学人教A版2019必修第一册（原卷版）

2/30专题1.2集合间的基本关系（举一反三讲义）【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【题型1子集、真子集的确定】 2【题型2集合的子集（真子集）的个数问题】 3【题型3判断两个集合是否相等】 4【题型4根据两个集合相等求参数】 4【题型5空集的判断、性质及应用】 4【题型6Venn图表示集合的关系】 5【题型7判断集合间的关系】 6【题型8根据集合间的关系求参数】 7【题型9集合间关系中的新定义问题】 8知识点1子集与真子集1．子集的概念定义一般地，对于两个集合A,B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集记法

与读法记作(或)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)图示或结论(1)任何一个集合是它本身的子集，即；

(2)对于集合A,B,C，若，且，则2．真子集的概念定义如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的真子集记法记作(或)图示结论(1)且，则；

(2)，且，则【注】(1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B.(2)不能把“”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B.(3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A.(4)对于集合A，B，C，若，，则；任何集合都不是它本身的真子集.(5)若，且，则.(6)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n-1个，非空子集有2n-1个，非空真子集有2n-2个.【题型1子集、真子集的确定】【例1】（25-26高一上·全国·课后作业）集合M=0,1,2的子集为（

）A．0,1,C．0,1,【变式1-1】（24-25高三上·四川·期末）集合A=x−4<x<2的一个真子集可以为（A．3 B．x−1<x<3 C．0 D．【变式1-2】（24-25高一上·四川眉山·期末）已知集合A=1,a−2,2a2(1)求a的值；(2)写出集合A的所有真子集.【变式1-3】（24-25高一·全国·随堂练习）写出下列集合的所有子集：(1)0；(2)xx−1【题型2集合的子集（真子集）的个数问题】【例2】（24-25高一上·河南·期中）设集合A=1,2,3,4,5,9，B=x∣x∈A,x∈Z，则A．3 B．4 C．7 D．8【变式2-1】（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）已知集合A={1,2,3,4,5,6}，B=x6x−1∈N,x∈A，则集合A．7 B．4 C．8 D．15【变式2-2】（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）已知集合A=x∈N|x−4≤−1，则集合A的真子集个数为（

A．7 B．8 C．15 D．16【变式2-3】（24-25高一上·山东泰安·期中）已知集合A=1, 2, 3A．8 B．16 C．32 D．64知识点2集合相等与空集1．集合相等的概念如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B且B⊆A，则A＝B.2．空集的概念(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.(2)规定：空集是任何集合的子集.【注】注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集.3．Venn图的优点及其表示(1)优点：形象直观.(2)表示：通常用封闭曲线的内部表示集合.【题型3判断两个集合是否相等】【例3】（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）下列每组集合是相等集合的是（

）A．A=x∈Nx≤2，B=x∈C．A=x|y=x，B=xy=x2x【变式3-1】（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）下面选项中的两个集合相等的是（

）A．M={(0,1)},N={(1,0)} B．M=C．M=xx2【变式3-2】（25-26高一上·全国·课后作业）在下列集合的表示中，集合P与集合Q表示同一集合的是（

）A．P=2,3，Q=23 B．P=C．P={x|x>1}，Q={y|y>1} D．P=1,2，【变式3-3】（24-25高一上·广东汕头·阶段练习）下列集合中表示同一集合的是（

）A．M=3,2，N=2,3 B．M=C．M=x,yx+y=1，N=yx+y=1 【题型4根据两个集合相等求参数】【例4】（24-25高三上·安徽宣城·期末）已知集合A=0,4,a2，B=0,4,3a−2，若A=B，则aA．1或2 B．−1或0 C．1 D．−1【变式4-1】（24-25高一上·全国·课堂例题）已知集合A=1,a,b，B=a2,a,ab，若A=B，则A．−1 B．0 C．1 D．2【变式4-2】（24-25高一上·浙江杭州·阶段练习）已知a∈R，b∈R，若集合a,ba,1=aA．−2 B．1 C．−1 D．2【变式4-3】（24-25高一上·全国·课后作业）若集合A中有三个元素1，a+b，a；集合B中有三个元素0，ba，b，集合A与集合B相等，则b−a等于（

A．1 B．−1 C．2 D．−2【题型5空集的判断、性质及应用】【例5】（24-25高一上·北京东城·期中）下列正确的是（）A．0∈0,1,2 B．0∈∅ C．∅=0 【变式5-1】（24-25高一上·上海宝山·期中）已知六个关系式①∅∈{∅}；②∅⊂≠{∅}；③{0}⊃≠∅；④0∉∅；⑤A．3 B．4 C．5 D．6【变式5-2】（2025高一上·全国·专题练习）下列四个集合中是空集的是（

）A．{∅} B．{x∈C．x|1<x<2 D．{x|【变式5-3】（24-25高一上·重庆·期中）下列关于0与∅说法不正确的是（）A．0∉∅ B．0∈C．0=∅ D．【题型6Venn图表示集合的关系】【例6】（24-25高一上·福建南平·期末）下列Venn图能正确表示集合M={0,1,2}和N=xx2−2x=0A．

B．

C．

D．

【变式6-1】（2025高一·上海·专题练习）已知集合U=R，则正确表示集合M={-1，0，1}和N={x|x2-x=0}关系的文氏图是（）A． B．C． D．【变式6-2】（24-25高一上·上海·随堂练习）请用文氏图表示下列集合关系：A=高一1班班委成员【变式6-3】（24-25高一·全国·随堂练习）举例说明集合间的包含关系与相等关系，并用Venn图直观表示．知识点3集合间关系的性质1．集合间关系的性质(1)任何一个集合都是它本身的子集，即AA.(2)对于集合A，B，C，①若AB，且BC，则AC；②若AB，B=C，则AC.(3)若AB，A≠B，则AB.【题型7判断集合间的关系】【例7】（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合P={1,2,3,4},Q=yy=x+1,x∈P，那么集合M={3,4,5}与Q的关系是（

A．M⊈Q B．M⫋Q C．Q⫋M D．Q=M【变式7-1】（24-25高一上·吉林·阶段练习）已知集合M=xx=2m+13,m∈Z，N=xx=n−23,nA．M=N⫋P B．M⫋N=PC．M⫋N⫋P D．N⫋P⫋M【变式7-2】（24-25高一上·上海·课堂例题）指出下列各对集合之间的关系：(1)A=−1,1，B=(2)A=−1,4，B=(3)A={x∣x是等边三角形}，B={x∣x是等腰三角形}．【变式7-3】（25-26高一·江苏·假期作业）指出下列各对集合之间的关系.(1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}；(2)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}；(3)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}；(5)A＝{x|x＝2a＋3b，a∈Z，b∈Z}，B＝{x|x＝4m－3n，m∈Z，n∈Z}.【题型8根据集合间的关系求参数】【例8】（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合A={x∣0<x<a},B={x∣0<x<2}．若A⊆B，则实数aA．{a∣0<a≤2} B．{a∣0≤a≤2} C．【变式8-1】（24-25高一上·广东东莞·期末）设集合A={x|−2<x<1}，B={x|x<a−1}，满足A⊆B，则实数a的取值范围是（

）A．{a|a≤−1} B．{a|a≥−1} C．{a|a≥2} D．{a|a≤2}【变式8-2】（2025高一上·全国·专题练习）已知集合A=9,13，B=(1)若A⊆B，求实数m的取值范围；(2)若A⫋B，求实数m的取值范围．【变式8-3】（2024高一上·全国·专题练习）已知集合A=x−2≤x≤5(1)若B⊆A，B={xm+1≤x≤2m−1,m为常数}，求实数m(2)若A⊆B，B={xm+1≤x≤2m−1,m为常数}，求实数m(3)若B={xm+1≤x≤2m−1,m为常数}，是否存在实数m，使得A=B？若存在，求出m【题型9集合间关系中的新定义问题】【例9】（24-25高一上·山东烟台·期中）若集合U的三个子集A,B,C满足A⫋B⫋C，则称A,B,C为集合U的一组“亲密子集”.已知集合U=1,2,3，则U的所有“亲密子集”的组数为（

）A．9 B．12 C．15 D．18【变式9-1】（24-25高一上·河北保定·阶段练习）定义A∗B=ZZ=xy+1,x∈A,y∈B，设集合A=0,1，集合B=1,2,3，则A．14 B．15 C．16 D．17【变式9-2】（24-25高一上·湖北孝感·阶段练习）定义：若一个n位正整数的所有数位上数字的n次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数.已知集合A=8,23,81,153,254,370，B={x