专题03 函数性质的灵活运用必考八类问题（举一反三专项训练）高一数学人教A版必修第一册（原卷版）

2/30专题03函数性质的灵活运用必考八类问题（举一反三专项训练）【人教A版】TOC\o"1-3"\h\u【类型1函数的单调性的综合应用】 3【类型2函数的最值问题】 4【类型3函数的奇偶性的综合应用】 5【类型4对称性与周期性的综合应用】 6【类型5函数图象的判断及应用】 7【类型6抽象函数的性质及其应用】 9【类型7函数性质的综合应用】 10【类型8函数新定义】 11知识点1函数的单调性与最值问题的解题策略1．函数单调性的判断(1)定义法；(2)图象法；(3)简单函数单调性；(4)单调性的四则运算：增+增=增；减+减=减；增-减=增；减-增=减；(5)复合函数：函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.2．函数单调性的应用函数单调性的主要应用有以下几个方面：(1)利用函数的单调性求参数；(2)利用函数的单调性比较大小；(3)利用函数的单调性解不等式.3．求函数最值的三种基本方法：(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.知识点2函数的奇偶性及其应用1．函数奇偶性的判断(1)判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：①定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；②判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立.(3)运算函数的奇偶性规律：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶．(4)复合函数的奇偶性原则：内偶则偶，两奇为奇．2．函数奇偶性的应用(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.(2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题.知识点3函数的周期性与对称性的常用结论1．函数的周期性常用结论(a是不为0的常数)(1)若f(x+a)=f(x)，则T=a；(2)若f(x+a)=f(x-a)，则T=2a；(3)若f(x+a)=-f(x)，则T=2a；(4)若f(x+a)=，则T=2a；(5)若f(x+a)=，则T=2a；(6)若f(x+a)=f(x+b)，则T=|a-b|(a≠b)；2．对称性的三个常用结论(1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线对称.(2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点对称.(3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点对称.3．函数的的对称性与周期性的关系(1)若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且；(2)若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；(3)若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且．知识点4函数的图象1．函数图象的对称性(1)图象关于点成中心对称图形：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)-b为奇函数.(2)图象关于直线成轴对称图形：函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)为偶函数.2．函数图象的识别、判断(1)排除法：利用特殊点的值来排除；(2)利用函数的奇偶性、单调性来判断.知识点5抽象函数的解题策略1．抽象函数及其求解方法我们把不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数称为抽象函数，一般用y=f(x)表示，抽象函数问题可以全面考查函数的概念和性质，将函数定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、图象集于一身，是考查函数的良好载体.解决这类问题一般采用赋值法解决.【类型1函数的单调性的综合应用】1．（24-25高一上·广东广州·期中）函数y=1x2−2x的单调递减区间是（

）A．(−∞,1) B．(−∞,0) C．2．（24-25高一上·江苏宿迁·期中）已知定义在R上的函数f(x)满足f(−x)=f(x)，且f(x)在(0,+∞)上单调递减，则f(−3)，f(5A．f(52)<f(−3)<f(C．f(72)<f(−3)<f(3．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）已知函数fx满足：∀x1,x2∈R，当.x1≠xA．−2,2C．−∞,−24．（24-25高一上·上海青浦·阶段练习）已知函数fx=3−ax−4a,x<1ax2−3x,x≥1，是5．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数fx=2x+ax+1，且(1)求函数gx(2)用定义法判断gx6．（24-25高一上·重庆·期中）已知函数f(x)=(1)求实数a值；(2)判断函数f(x)在(1,+∞(3)求函数f(x)的单调区间．【类型2函数的最值问题】7．（24-25高一上·北京·期末）若x>0，则fx=2−x−4xA．最大值为6 B．最小值为−6 C．最大值为−2 D．最小值为28．（24-25高一上·福建泉州·期中）当x≥1时，下列函数的最小值不为4的有（

）A．y=x2+5C．y=4x+1x 9．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数fx满足fx+2=x+b，若fx在区间A．0 B．1 C．3 D．610．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数fx满足fx+3f1x=4x+4x，则11．（24-25高一上·广东汕头·期中）已知函数fx(1)函数单调性的定义证明：函数fx在−1,+(2)求函数fx在区间1,412．（24-25高一上·宁夏吴忠·期中）已知f(x)=(1)根据单调性的定义证明函数f(x)在区间(2,+∞(2)若函数g(x)=2x+1x−2,x∈[3,a]（a>3【类型3函数的奇偶性的综合应用】13．（25-26高三上·重庆·开学考试）已知fx是定义在R上的奇函数，当x>0时，fx=x2A．－7 B．7 C．－5 D．514．（25-26高一上·天津·期中）函数fx是定义域为R的偶函数，且在0,+A．f−π>f−1C．f−π>f(2)>f15．（24-25高一上·广东江门·期中）已知函数f(x)是定义在(−∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数，且f(−1)=0，若对于任意两个实数x1,x2∈(0,+A．(−∞,−1)∪(0,1) C．(−1,0)∪(1,+∞) 16．（25-26高一上·全国·课前预习）若函数fx=ax5+bx4−717．（25-26高一上·山东德州·开学考试）判断下列函数的奇偶性，并说明理由(1)fx(2)fx(3)fx(4)fx18．（2025高三·全国·专题练习）已知单调函数fx满足fx+y=fx+f(1)求证：fx(2)若f1−x+f1−【类型4对称性与周期性的综合应用】19．（2025高三·全国·专题练习）已知函数fx,gx的定义域均为R，y=fx的图象关于点1,0中心对称，g1−2x−g1+2x=0，A．−2 B．2 C．−4 D．100320．（2025·广东河源·模拟预测）已知定义在R上的函数fx满足fx+1为奇函数，且y=f2x的图象关于直线x=1对称，若f0=−1A．−1 B．0 C．1 D．221．（24-25高一上·贵州黔东南·期末）已知函数fx的定义域为R，fx+1为奇函数，fx+2为偶函数，且对任意的x1、x2∈1,2A．fx是偶函数 B．C．fx的图象关于−1,0对称 D．22．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）已知定义在R上的函数f(x)的图象关于点−34,0对称，且满足f(x)=−fx+32，又f(−1)=123．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数fx是定义在R上的奇函数，且函数图像关于直线x=2(1)当x∈0,4时，fx=4x−x2(2)若f1=2，f2=3，24．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数fx是定义在R上的偶函数，且y=fx的图象关于直线(1)证明：fx(2)若当x∈−2,2时，fx=x2【类型5函数图象的判断及应用】25．（25-26高一上·湖南邵阳·阶段练习）函数fx=xA． B．C． D．26．（2025·天津·高考真题）已知函数y=fx的图象如下，则fx的解析式可能为（A．f(x)=x1−|x| B．f(x)=x|x|−1 C．27．（24-25高一上·四川遂宁·期中）已知定义域为−4,4的奇函数fx在0,4的图象如图所示，则下列说法错误的是（

A．fB．fC．fxD．fx在−4,4的最大值与最小值之和为28．（24-25高一上·福建三明·阶段练习）已知函数fx=x−1,gx=2x，记maxa,b=a,a≥bb,a<b，若29．（24-25高一上·天津·期中）定义在R上的函数fx为奇函数，且当x>0时，f(1)求f2和f(2)求函数fx(3)作fx30．（24-25高一上·海南海口·期中）已知函数y=fx是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，fx=x2(1)请补充完整函数y=fx的图象，并根据图象写出函数y=fx的单调递增区间及使fx(2)求出函数fx在R【类型6抽象函数的性质及其应用】31．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知函数f(x)的定义域为R，且f(1)=−2，若f(x)⋅f(y)=f(x+y)+f(x−y)，则（

）A．f(0)=0 B．f(2)=1C．f(x)为偶函数 D．f(x)为增函数32．（24-25高一上·重庆·期中）若x，y∈R，fx+y+fA．-2 B．-1 C．−1233．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知函数f(x)的定义域为R，对任意实数x，y满足f(x+y)=f(x)+f(y)+12，且f12=0，当x>12时，f(x)>0．给出以下结论：①f(0)=−12；②f(−1)=−A．①②④ B．①④ C．①② D．①②③④34．（24-25高一上·山东济宁·期中）若定义在−∞,0∪0,+∞上的函数fx满足：对任意的x,y∈−∞,0∪0,+∞，都有：35．（24-25高一上·辽宁丹东·期中）定义域为x∣x≠0的函数fx满足f(1)求证：f1(2)求证：fx(3)当x>1时，fx>0，求证：fx在0,+36．（24-25高一上·云南大理·期中）已知函数fx的定义域为R，并且满足下列条件：对任意x,y∈R，都有fx+y=fx+fy(1)求f0(2)证明：fx(3)解不等式fx【类型7函数性质的综合应用】37．（24-25高一下·海南海口·期末）已知定义在实数集R上的函数fx满足：∀x,y∈R，fx+y+fx−y=2fA．fx是奇函数 B．fx在区间C．fx的周期为3 D．38．（24-25高一上·福建福州·期中）已知函数fx的定义域为R，fx+4为偶函数，f−x+2为奇函数，且fA．fB．x=4为函数fxC．函数fx在4,8D．f139．（24-25高一下·湖南怀化·期末）已知函数f(x)对任意的x∈R都有f(x)=f(x+6)+f(3)，若y=f(x+2)的图象关于直线x=−2对称，且对于∀x1,x2∈[0,3]，当A．f(2)=0 B．f(x)是奇函数C．f(x)是周期为4的周期函数 D．f(2023)>f(2024)40．（25-26高一上·全国·单元测试）设函数y=fxx≠0，对于任意正数x1,x2x1≠x2都有x2341．（25-26高一上·河南驻马店·开学考试）已知定义在R上的函数fx满足对任意的x，y∈R，fx+y=fx+fy，当(1)证明：fx(2)证明：fx在R(3)求不等式fx42．（24-25高一上·重庆·期中）已知函数f(x)是定义在[−3,3]上的奇函数，满足f(1)=15，当−3≤x≤0(1)求函数f(x)的解析式；(2)判断f(x)的单调性，并利用定义证明；(3)若对∀x∈[−3,3]，都有f(x)≤m2−2am+13【类型8函数新定义】43．（24-25高一上·广东汕头·期中）fx的定义域为D，若对于任意的x1，x2∈D，当x1<x2时，都有fx1≤fx2，则称fx在D上为非减函数.设函数A．132 B．164 C．112844．（24-25高一上·山东青岛·期中）用maxfx,gx表示fx，gx中的最大者，用minfx,gx表示A．hx是奇函数 B．hx在C．hx的值域是−∞,−1∪0,145．（24-25高一下·云南玉溪·期中）对于任意的x∈R，[x]表示不超过x的最大整数，例如：[1.2]=1，[−1.2]=−2．十八世纪，y=[x]被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”．下列说法正确的是（

）A．函数y=[x]是奇函数 B．函数y=x−[x]的值域为[0,1]C．函数f(x)=x−[x]最小正周期为1 D．不等式2[x]246．（24-25高一上·湖南娄底·期末）若函数f(x)同时满足：（ⅰ）对于定义域上的任意x，恒有f(x)+f(−x)=0；（ⅱ）对于定义域上的任意x1,x2，当x1≠x2时，恒有47．（24-25高一上·陕西商洛·期末）设函数y=f(x)的定义域为I，一般地