专题3.3 奇偶性（举一反三讲义）高一数学人教A版必修第一册（解析版）

2/30专题3.3奇偶性（举一反三讲义）【人教A版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1函数奇偶性的定义与判断】 2【题型2由函数奇偶性求函数值、解析式】 4【题型3由函数奇偶性求参数】 5【题型4函数奇偶性的应用】 6【题型5抽象函数的奇偶性】 8【题型6函数图象的识别与判断】 11【题型7函数图象的应用】 13【题型8抽象函数的性质】 16【题型9函数的性质综合】 20知识点1函数的奇偶性1．函数的奇偶性(1)定义：定义偶函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果x∈I，都有-x∈I，且f(-x)=f(x)，那么函数f(x)叫做偶函数.奇函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果x∈I，都有-x∈I，且f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)叫做奇函数.非奇非

偶函数既不是奇函数又不是偶函数的函数，称为非奇非偶函数.定义域

特征定义域必须是关于原点对称的区间.等价

形式设函数f(x)的定义域为I，则有f(x)是偶函数⇔x∈I，-x∈I，且

f(-x)-f(x)=0；f(x)是奇函数⇔x∈I，-x∈I，且f(-x)+f(x)=0.特别地，若f(x)≠0，还可以判断是否成立.(2)奇偶函数的图象特征（几何意义）①奇函数的图象特征：若一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形；反之，若一个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.②偶函数的图象特征：若一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数.③奇偶函数的结论：奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数.(3)奇、偶函数图象对称性的应用①若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数；②若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数.2．函数奇偶性的判断判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立.3．函数奇偶性的应用(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.(2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题.【题型1\t"/gzsx/zj145208/_blank"\o"函数奇偶性的定义与判断"函数奇偶性的定义与判断】【例1】（24-25高一下·山西大同·阶段练习）下列函数中是奇函数的是（

）A．fx=x+1 C．fx=−2x 【答案】C【解题思路】利用函数的奇偶性的定义依次判断即可.【解答过程】对A，函数fx定义域为R，关于原点对称，f−x=−x+1对B，函数fx定义域为R，关于原点对称，f−x=对C，函数fx定义域为R，关于原点对称，f−x=2x对D，函数fx定义域为R，关于原点对称，f−x=故选：C.【变式1-1】（24-25高一上·云南大理·期末）下列函数中，是偶函数的是（

）A．y=x2（x>0） C．y=2x2【答案】C【解题思路】根据偶函数的定义，逐项分析即可得解.【解答过程】对于A选项，y=x2(对于B选项，x+1≠−x+1，所以对于C选项，函数y=2x2+2定义域为R，且对于D选项，3x−1≠3−x−1，所以故选：C.【变式1-2】（25-26高一上·全国·单元测试）下列函数中，既是奇函数又在0,+∞上单调递减的是（

A．y=x B．y=x C．y=1x【答案】C【解题思路】根据函数解析式及奇偶性定义判断函数的奇偶性和单调性即可得.【解答过程】A：函数y=x是奇函数，且在0,+∞B、D：函数y=x，y=1−C：函数y=1x是奇函数，且在故选：C.【变式1-3】（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知fx是定义在R上的奇函数，gx是定义在R上的偶函数，则（

）A．fxgx是偶函数 C．fx−gx是奇函数 【答案】D【解题思路】根据奇偶性的定义判断即可.【解答过程】因为fx是定义在R上的奇函数，所以fgx是定义在R上的偶函数，所以g则f−xg−xfg−x=ff−x−g−xgf−x=g故选：D.【题型2由函数奇偶性求函数值、解析式】【例2】（24-25高一上·甘肃兰州·期末）已知函数fx是奇函数，当x>0时，fx=x2−3，那么A．−3 B．−1 C．1 D．3【答案】B【解题思路】根据奇函数的性质即可求解.【解答过程】因为函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)=x则f(−2)=−f(2)=−(4−3)=−1.故选：B.【变式2-1】（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知y=fx是定义在R上的奇函数，当x≥0时，fx=x2−2x，则在A．−xx−2 B．xx−2 C．xx【答案】C【解题思路】利用函数奇偶性求对称区域解析式，再利用绝对值的意义，把分段函数又写成含绝对值的函数即可.【解答过程】当x<0时，−x>0，即有f−x再由y=fx是定义在R上的奇函数，所以f即有fx所以当x<0时，fx当x≥0时，fx综上可得：fx故选：C.【变式2-2】（24-25高一上·江苏淮安·阶段练习）设fx是定义在R上的奇函数，当x≥0时，fx=2x2A．−2 B．1 C．−1 D．−3【答案】D【解题思路】根据奇函数的定义可得f−1=−f1【解答过程】因为fx是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f所以f−1故选：D.【变式2-3】（24-25高一上·辽宁盘锦·阶段练习）已知函数fx是定义域为R的偶函数，且当x≥0时，fx=x2A．fx=xC．fx=x【答案】A【解题思路】利用偶函数的性质求函数解析式即得.【解答过程】当x<0时，−x>0，则f−x∵函数fx是定义域为R的偶函数，∴f∴fx故选：A.【题型3由函数奇偶性求参数】【例3】（24-25高三上·广西河池·期末）已知f(x)=x+a1−x2为奇函数，则a=A．-1 B．0 C．1 D．2【答案】B【解题思路】利用f(0)=0求出a值并验证即可.【解答过程】函数f(x)=x+a1−x2的定义域为(−1,1)，而此时f(x)=x1−x2，所以a=0.故选：B.【变式3-1】（24-25高一上·河南漯河·期末）已知fx=ax2+bx是定义在2a−3,4aA．−13 B．13 C．−【答案】D【解题思路】利用偶函数的定义域关于原点对称可求得a的值，由偶函数的定义可得a−x2+b【解答过程】因为fx=ax所以2a−3+4a=0，解得a=12又f−x=fx，所以a又x∈−2,2，所以b=0，所以a+b=故选：D.【变式3-2】（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数fx=1+x1−x，若A．a=1,b=−1 B．a=1,b=1 C．a=−1,b=−1 D．a=−1,b=1【答案】A【解题思路】fx的对称中心为1,−1，根据y=fx+a−b为奇函数得到f【解答过程】fx因为f1−x所以fx的对称中心为1,−1由题意得函数y=fx+a−b为奇函数关于则fx关于a,b解得a=1,b=−1，故选：A.【变式3-3】（24-25高一上·重庆·期中）设fx=ax3+bx2+cx+2b+c是偶函数，且定义域为A．12 B．13 C．14【答案】B【解题思路】根据奇偶性可得a=0，c=0，b−1+2b=0，解出b，进而得出答案．【解答过程】由偶函数的定义域是关于原点对称的，所以b−1+2b=0⇒b=1显然a=0，c=0，所以a+b−c=1故选：B．【题型4函数奇偶性的应用】【例4】（24-25高一上·广东揭阳·期末）设偶函数fx的定义域为R，当x∈0,+∞时，fx是增函数，则f−7，fA．fπ>f−3C．fπ<f−3【答案】A【解题思路】根据偶函数的性质，结合单调性即可求解.【解答过程】由于fx为偶函数，故f−7由于x∈0,+∞时，fx故fπ故选：A.【变式4-1】（24-25高一上·天津西青·期末）已知函数fx是定义在R上的奇函数，fx=fx+4，且f−1A．−1 B．0 C．1 D．2【答案】C【解题思路】根据函数周期性和奇函数性质求解.【解答过程】因为函数fx是定义在R所以f0=0，又fx=fx+4f2024故选：C.【变式4-2】（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）若函数y=fx是奇函数，则下列各点一定是函数y=fx+1+2A．1,−2 B．−1,2 C．−1,−2 D．1,2【答案】B【解题思路】利用函数的图象变换求解.【解答过程】因为函数y=fx所以函数y=fx又函数y=fx+1+2的图象是向上平移2个单位得到的，所以函数y=fx+1+2图象对称中心的是故选：B.【变式4-3】（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知fx为R上的奇函数，f2=2，若∀x1,x2∈A．−∞,0∪4,+∞B．−∞,0【答案】D【解题思路】设gx=xfx，由题意得到gx为偶函数且在0,+∞上单调递增，由2f2=g【解答过程】设gx=xfx，由∀x则gx在0,+∞上单调递增，∵fxg故gx而gx−2则−2<x−2<2，解得：0<x<4，故选：D.【题型5抽象函数的奇偶性】【例5】（24-25高一上·云南昆明·期末）已知函数f(x)的定义域为R，且f(1)=−2，若f(x)⋅f(y)=f(x+y)+f(x−y)，则（

）A．f(0)=0 B．f(2)=1C．f(x)为偶函数 D．f(x)为增函数【答案】C【解题思路】通过赋值法，结合函数的奇偶性和单调性即可求解.【解答过程】令x=1,y=0，则f1则−2f0令x=1,y=1，则f1则4=f2令x=0，则f0所以fx由f0=2，f(1)=−2，可知故选：C.【变式5-1】（24-25高一上·重庆·期中）若x，y∈R，fx+y+fA．-2 B．-1 C．−12【答案】A【解题思路】利用赋值法，判断函数的周期，对称性，再利用周期性和对称性求值.【解答过程】令x=2，y=0，得2f2=2f2令y=2，fx+2又fx+4+fx=fx+2故fx得到周期T=12令x=0，fy+f−y=2fy又fx+6+fx=0，fx+6所以f3=0，f4=−f2所以f2020故选：A.【变式5-2】（24-25高一上·浙江温州·期末）已知定义域为R的函数fx满足：∀x,y∈R，fx−fy=fA．f0=1 C．fx是奇函数 D．∀x∈R，【答案】D【解题思路】利用赋值法结合题干信息逐项分析求解.【解答过程】对A，令x=6,y=0，则f(6)−f(0)=f(6−0)+2(6−0)×0，由f(6)=0，则0−f(0)=f(6)+0，即−f(0)=0，所以f(0)=0，故A错误；对B，令x=6,y=3，则f(6)−f(3)=f(6−3)+2(6−3)×3，因为f(6)=0，所以0−f(3)=f(3)+18，解得f(3)=−9，故B错误；对于C，令x=0，则f0又f(0)=0，所以−fy=f−y当x≠0时，f−x所以f(x)不是奇函数，故C错误；对D，由C选项知，−fx=f−x所以∀x∈R，fx故选：D.【变式5-3】（2025·甘肃庆阳·一模）已知函数fx的定义域为R，ffx+y=fx+fA．f0=0 B．C．f2024=2024 D．fx【答案】D【解题思路】利用赋值法x=1,y=0可得f0=0，即可判断A，利用y=−x，即可根据奇函数的定义判断B，利用ffx+1−x=f【解答过程】取x=1,y=0，则ff1=f1+f取y=−x，则ffx−x=fx+f对任意的x都有ffx+1−x=f因此fx的图象关于点1由于1=fx+f1−x且fx是奇函数，得因此f2故选：D.知识点2函数的图象1．函数图象的对称性(1)图象关于点成中心对称图形：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)-b为奇函数.(2)图象关于直线成轴对称图形：函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)为偶函数.2．函数图象的识别、判断(1)排除法：利用特殊点的值来排除；(2)利用函数的奇偶性、单调性来判断.3．对称性的三个常用结论(1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线对称.(2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点对称.(3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点对称.【题型6函数图象的识别与判断】【例6】（24-25高一上·四川成都·阶段练习）函数y=xx2−1A． B．C． D．【答案】B【解题思路】利用函数的奇偶性排除两个选项，再利用0<x<1时函数值的正负即可判断得解.【解答过程】函数y=xx2−1中，x2由|−x|(−x)2−1=|x|当0<x<1时，|x|x故选：B.【变式6-1】（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）函数fx=xA． B．C． D．【答案】A【解题思路】根据函数的奇偶性和函数值的符号可得正确的选项.【解答过程】fx的定义域为x|x≠±2，而f因此fx当0<x<2时，fx故选：A.【变式6-2】（24-25高一上·四川南充·期中）函数fx的大致图象如图所示，则fx可能是（

A．fx=1C．fx=x【答案】C【解题思路】根据图象分析fx【解答过程】由图象可知，fx为奇函数且定义域为x对于A：定义域为xx≠±1关于原点对称，f对于B：定义域为xx≠1对于C：定义域为xx≠±1关于原点对称，f对于D：定义域为xx≠±2故选：C.【变式6-3】（24-25高一上·贵州六盘水·期中）函数fx=1xA．

B．

C．

D．

【答案】D【解题思路】判定函数的奇偶性和正负即可得解.【解答过程】fx=1x2所以fx当x≠0时，fx故选：D.【题型7函数图象的应用】【例7】（24-25高一上·天津滨海新·期中）已知函数f(x)是(−∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数，且当x<0时，函数的部分图象如图所示，则不等式fA．(−3,−1)∪(1,3) B．(−3,−1)∪(0,1)∪(3,+C．(−∞,−3)∪(−1,1)∪(3,+∞【答案】D【解题思路】根据题设，将不等式化为f(x)x【解答过程】由题设fx−f−x当x<0时，f(x)x由图可知，x∈(−∞,−3)∪(−1,0)时f(x)>0，x∈(−3,−1)时当x>0时，f(x)x根据奇函数的对称性，有x∈(0,1)∪(3,+∞)时f(x)<0，x∈(1,3)时所以，不等式的解集为(−∞故选：D.【变式7-1】（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数fx是定义在区间a2−6,a内的奇函数，且fx在区间0,a内的图象如图所示，则A．−2,−1 B．−1,1 C．−2,−1和1,2 D．1,2【答案】C【解题思路】根据奇函数的定义求出a的值，由图象可得函数在1,2内单调递增，根据奇函数的对称性，求出函数在−2,−1内单调递增，即可得解.【解答过程】因为函数fx是定义在区间a所以a2−6+a=0a所以函数fx是定义在区间−2,2由图可知，函数在1,2内单调递增，由奇函数的性质可知函数在−2,−1内单调递增，因此fx的单调递增区间为−2,−1和1,2故选：A.【变式7-2】（24-25高一上·贵州六盘水·期中）已知函数fx=x−1A．fx的定义域为R B．fxC．fx在区间−∞,0上单调递减 D．【答案】D【解题思路】根据解析式和图像直接判断AB；对于C：结合奇函数性质分析判断；对于D：利用单调性解不等式即可.【解答过程】对于选项A：显然函数fx=x−1对于选项B：由图象可知fx可以为负值，所以fx的值域不为因为f−x=−x−1对于选项C：由图象可知：fx在区间0,+则fx在区间−对于选项D：因为fx在区间0,+且f1=0，此时fx又因为fx在区间−且f−1=−f1=0，此时综上所述：fx>0的解集为故选：D.【变式7-3】（24-25高一上·四川南充·期中）已知偶函数fx与奇函数gx的定义域都是−2,2，它们在0,2上的图象分别如图1、图2所示，则使关于x的不等式fxgA．−2,−1∪1,2 C．−2,−1∪0,1 【答案】C【解题思路】补全两个函数的图象，数形结合可得出不等式fx【解答过程】因为函数fx为偶函数，函数g因为fxgx>0，则由图可得，不等式组fx<0g不等式组fx>0g综上所述，不等式fxgx故选：C.【题型8抽象函数的性质】【例8】（24-25高一上·安徽宿州·期中）已知定义在−∞，0∪0，+∞上的函数fx，满足fA．f−1=2 B．C．f−2025<f−2024 D．若【答案】C【解题思路】A选项，先令x=y=1，可得f1=2，再令B选项，令y=−1，结合fxC选项，由题可判断fx在0D选项，由ABC选项可解不等式fx+2【解答过程】A选项，在fxy+2=fx得f1+2=f1+f1得f1+2=f−1B选项，令y=−1，得f−x+2=fx又fx的定义域关于原点对称，所以fC选项，设0<x1<x2所以fx所以fx在0,+∞上是增函数，因为所以fx在−∞,0D选项，因为fx是偶函数，则f又fx在0,+∞上是增函数，所以x+2<1故选：C．【变式8-1】（2025·新疆乌鲁木齐·二模）已知fx，gx都是定义在R上的函数，对任意x，y满足fx−y=fxA．f0=1 B．函数g2x+1C．g1+g−1=0 【答案】D【解题思路】利用赋值法结合题目给定的条件可判断AC，取fx=sin2π3x,gx=cos2π3x可判断B，对于D，通过观察选项可以推断【解答过程】解：对于A，令x=y=0，代入已知等式得f0=f0对于B，取fx=sin2π因为g3=cos2π所以函数g2x+1的图象不关于点1,0对于C，令y=0，x=1，代入已知等式得f1可得f11−g0=−g1f0再令x=0，代入已知等式得f−y将f0=0，g0=1代入上式，得令x=1，y=−1，代入已知等式，得f2因为f−1=−f1又因为f2=−f−2因为f1≠0，所以对于D，分别令y=−1和y=1，代入已知等式，得以下两个等式：fx+1=fx两式相加易得fx+1+fx−1即：fx有：−fx即：fx−1=fx+2因为f1=1，所以f−2=1，所以所以f1所以n=12023故选：D.【变式8-2】（24-25高一上·辽宁丹东·期中）定义域为x∣x≠0的函数fx满足f(1)求证：f1(2)求证：fx(3)当x>1时，fx>0，求证：fx在0,+【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【解题思路】（1）取x=y=1计算出f1=0，再取（2）取y=−1，再取x=y=−1计算出f−1（3）利用定义法证明函数在0,+∞上的单调性，再结合函数奇偶性得出函数在−【解答过程】（1）取x=y=1代入fx+fy取y=1x代入得fx+f1（2）取y=−1代入fx+fy取x=y=−1代入fx+fy所以fx=f−x，因为当x∈x∣x≠0时，（3）设x1,x2∈所以fx2−f因为fx为偶函数，所以f−x2>f−x【变式8-3】（24-25高一上·重庆·期中）已知函数fx的定义域为R，对任意的x,y∈R都有fxy=fxfy，且x<0(1)求f1的值并判断函数f(2)讨论fx(3)若f4=16，fx【答案】(1)f1(2)增函数，证明见解析(3)(−【解题思路】（1）对已知式中的x,y依次赋值，求得f(1)=1，f(−1)=−1，利用奇偶性定义证明即得；（2）先证明x>0时,fx>0，由y=f(x)是R上的奇函数，可得f0=0，再由函数的单调性定义证明在f(x)在0,+∞（3）通过赋值法，将题设不等式化成f(x2+x)≥f(2ax+12)，再利用fx在R上是增函数将其化成【解答过程】（1）因对任意的x,y∈R都有f当x>1时,令y=1,则f(x)=f(x)f(1)，因f(x)>1，则f(1)=1；再令x=y=−1,则f(1)=f(−1)f(−1)，即f2(−1)=1，因f(−1)<0，则令y=−1,则f(−x)=f(−1)f(x)=−f(x),故y=f(x)是奇函数.（2）fx在R当0<x<1时,1x>1,则f(1x)>1又f1=1>0，且x>1时,f(x)>1，故x>0时,又因fx是定义在R上的奇函数,所以f任取x1>x2f∴fx1>f又因fx是R上的奇函数,则fx在−∞故fx在R（3）在fxy=fxfy中，令x=y=2，可得f(4)=由fxfx+1即f(因fx在R上是增函数，即得x2+(1−2a)x−12≥0设g(a)=−2xa+x则g(0)=x2+x−12≥0g(1)=即实数x的取值范围为(−∞【题型9函数的性质综合】【例9】（24-25高一上·北京东城·期末）已知y=fx奇函数，fx=f2−x恒成立，且当0≤x≤1时，fx=x，设A．gB．函数y=gxC．函数y=gxD．函数y=gx在区间2022,2023【答案】D【解题思路】推导出函数fx是周期函数，可推导出函数gx为周期函数，结合周期性可判断AB选项；利用函数的对称性可判断C选项；求出函数y=gx【解答过程】因为函数y=fx为奇函数，f则fx=−fx−2故函数fx是周期为4对于A选项，gx+4所以，函数gx是周期为4则g2022当当0≤x≤1时，fx=x，则f3所以，g2022对于B选项，由A选项可知，B对；对于C选项，因为g=fx+1所以，函数gx的图象关于直线x=又因为g−1−x所以，gx+g−x−1=0，故函数因此，函数y=gx对于D选项，当2022<x<2023时，2023<x+1<2024，0<x−2022<1，0<2023−x<1，则fxfx+1此时，gx所以，函数gx在区间2022,2023故选：D.【变式9-1】（24-25高一上·福建福州·期中）已知函数fx的定义域为R，fx+4为偶函数，f−x+2为奇函数，且fA．fB．x=4为函数fxC．函数fx在4,8D．f1【答案】D【解题思路】由f−x+2为奇函数可得f−x+2+fx+2=0，取x=0，即可判断A；由fx+4为偶函数可得fx+4