专题3.5 函数的应用（一）（举一反三讲义）高一数学人教A版必修第一册（原卷版）

2/30专题3.5函数的应用（一）（举一反三讲义）【人教A版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1一次函数模型的应用】 1【题型2二次函数模型的应用】 3【题型3幂函数模型的应用】 4【题型4分段函数模型的应用】 5【题型5分式型函数模型的应用】 6【题型6“对勾”函数模型的应用】 8【题型7函数模型的选择问题】 10知识点1一次函数、二次函数模型的应用1．实际问题中函数建模的基本步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系，初步选择模型.

(2)建模：将自然语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型.

(3)求解：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特征正确求得函数模型的解.

(4)还原：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科背景又要符合实际背景，因此解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，最后得出结论，作出回答.2．一次函数模型的应用一次函数模型：f(x)=kx+b(k,b为常数，k≠0).一次函数是常见的一种函数模型，在初中就已接触过.3．二次函数模型的应用二次函数模型：f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0).

二次函数为生活中常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值(或最小值)，故最优、最省等最值问题常用到二次函数模型.【题型1一次函数模型的应用】【例1】（24-25高一上·北京·期中）果蔬批发市场批发某种水果，不少于100千克时，批发价为每千克2.5元，小王携带现金3000元到市场采购这种水果，并以此批发价买进，如果购买的水果为x千克，小王付款后剩余现金为y元，则x与y之间的函数关系为（

）A．y=3000−100xB．y=3000−100xC．y=3000−2.5xD．y=3000−2.5x【变式1-1】（24-25高一上·浙江·期中）网上购物常常看到下面这样一张表，第一行可以理解为脚的长度，第二行是我们习惯称呼的“鞋号”．为了穿得舒适，鞋子不能挤脚，也不能过长．SIZE尺码对照表中国鞋码实际标注(同国际码)mm220225230235240245250255260265中国鞋码习惯叫法(同欧码)34353637383940414243一个篮球运动员的脚长为282mm，则从表格数据可以推算出，他最适合穿的鞋号是（

）A．45 B．46 C．47 D．48【变式1-2】（24-25高一上·湖北武汉·期中）从装满10升纯酒精的容器中倒出2升酒精，然后用水将容器加满，再倒出2升酒精溶液，再用水将容器加满，照这样的方法继续下去，设倒完第k次后，前k次共倒出纯酒精x升，倒完第k+1次后，前k+1次共倒出纯酒精fx升，则fx的解析式是（A．fx=45C．fx=45【变式1-3】（2025高一·全国·专题练习）南通至通州的某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的函数关系如图所示（收支差额＝车票收入一支出费用）．由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议（Ⅰ）不改变车票价格，减少支出费用；建议（Ⅱ）不改变支出费用，提高车票价格．下面给出的四个图形中，实线虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则（

）A．①反映了建议（Ⅰ），②反映了建议（Ⅱ）B．②反映了建议（Ⅰ），④反映了建议（Ⅱ）C．①反映了建议（Ⅰ），③反映了建议（Ⅱ）D．④反映了建议（Ⅰ），②反映了建议（Ⅱ）【题型2二次函数模型的应用】【例2】（24-25高一上·辽宁大连·期末）从甲地到乙地的距离为240km，经过多次实验得到一辆汽车每小时耗油量Q（单位：L）与速度V（单位：kmh）0≤V≤120的关系式为Q=0.000026V3−0.00416V2A．60 B．80 C．100 D．110【变式2-1】（24-25高一上·四川南充·开学考试）如图，用一段长为120米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，已知墙长80米，则菜园面积的最大值为（

）平方米.

A．1800 B．1750 C．1700 D．1600【变式2-2】（24-25高一上·吉林长春·期末）某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为10000辆，本年度为适应市场需求，计划适度增加投入成本，提高产品的档次.若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x.(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；(2)投入成本增加的比例多大时，本年度预计的年利润最大？最大值是多少？【变式2-3】（24-25高一上·浙江·阶段练习）临近新年，车厘子、榴梿等高档水果受到人们青睐.老张水果店瞄准商机，准备新进一大批车厘子来满足市场需求，同时为提高销售量，老张水果店特准备举办一场车厘子促销活动.据市场调查发现，当每斤车厘子的售价定为x元时，销售量为120−0.8x斤.现批发商为配合老张水果店的活动，将供货价格分为固定价格与浮动价格两部分，即：供货价格＝固定价格＋浮动价格，其中固定价格为50元/斤，浮动价格（单位：元）与销售量（单位：斤）成反比，比例系数为20.(1)试将总利润y表示成关于x的函数；(2)当每斤车厘子售价定为多少时，总利润最大，为多少？知识点2幂函数模型的应用1．幂函数模型的应用幂函数模型应用的求解策略:

(1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，确定函数关系式.

(2)根据题意，直接列出相应的函数关系式.【题型3幂函数模型的应用】【例3】（24-25高一上·湖北荆州·期中）为响应国家退耕还林的号召，某地的耕地面积在最近50年内减少了20%，如果按照此规律，设2024年的耕地面积为m，则2029年的耕地面积为（

）A．1−0.2250mC．0.8250m 【变式3-1】（2025·广西·模拟预测）异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率y与其体重x满足y=kxα，其中k和α为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则α为（A．14 B．12 C．23【变式3-2】（24-25高一上·青海西宁·期末）为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种加密密钥密码系统(PrivateKeyCryptosystem)，其加密、解密原理为：发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文．现在加密密钥为y=kx3，如“4”通过加密后得到密文“2”，若接受方接到密文“1256A．12 B．14 C．2 【变式3-3】（25-26高一上·全国·单元测试）遗忘曲线（又称“艾宾浩斯遗忘曲线”）是由德国心理学家艾宾浩斯（H．Ebbinghaus）研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律．陈同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率y与初次记忆经过的时间x（单位：时）的大致关系：y=1−0.6x0.06，若陈同学需要在明天15：00考语文时拥有复习背诵记忆的42%，则他明天复习背诵的时间需大约在（

）参考数据：120.06≈0.9593A．14：30 B．14：00 C．13：30 D．13：00知识点3分段函数模型的应用1．分段函数模型的应用由于分段函数在不同区间上具有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化前后的实际问题中具有广泛的应用.【题型4分段函数模型的应用】【例4】（24-25高二下·北京朝阳·期末）某研究所开发一种新药，据监测，一次性服药t0≤t≤12小时后每毫升血液中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间近似满足图中所示的曲线关系.据测定，每毫升血液中含药量不少于4毫克时治疗疾病有效，则12小时内药物在体内对治疗疾病一直有效所持续的时长为（

）A．4小时 B．5小时 C．6小时 D．7小时【变式4-1】（24-25高一上·全国·课后作业）某重装企业的装配分厂举行装配工人技术比赛，根据以往技术资料统计，某工人装配第n件工件所用的时间(单位：分钟)f(n)大致服从的关系为fn=kn,n<MkM,n≥M(A．40分钟 B．35分钟C．30分钟 D．25分钟【变式4-2】（25-26高一上·湖南衡阳·期末）某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元，每生产1万部还需另投入16万元.设该公司一年内共生产该款学习机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为R(x)万元，且R(x)=a−4x,0<x≤15(1)求a，b；(2)写出年利润W（万元）关于年产量x（万部）的函数解析式；(3)当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润.【变式4-3】（24-25高一上·贵州黔南·期末）在辽阔的中华大地上，农村的医疗服务一直是国家关注的焦点.随着时代的进步和社会的发展，国家正致力于提高农村医疗服务水平，以保障广大农民的健康权益.某公司为了满足市场需求，进一步增加市场竞争力，计划自主研发新型基础型CT机.已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为200台.每生产x台，需另投入成本Gx万元，且G(1)写出年利润Wx（单位：万元）关于年产量x（单位：台）的函数解析式.（利润=销售收入−(2)当该产品的年产量为多少时，该公司所获年利润Wx【题型5分式型函数模型的应用】【例5】（24-25高一上·山东聊城·期中）某商场经营一批进价为19元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x（单位：元）与日销售量y（单位：件）之间有如下表所示的关系.x…24313949…y…44302012…根据表中提供的数据，可用函数y=kx+1+b(x>0)来近似刻画y(1)求y与x之间的函数解析式；(2)设经营此商品的日销售利润为P（单位：元），写出P关于x的函数解析式，并求销售单价为多少元时，才能获得最大日销售利润？【变式5-1】（24-25高二下·全国·期中）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用32年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为8万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位；cm）满足关系：Cx=16(1)求fx(2)隔热层修建多厚时，总费用fx【变式5-2】（24-25高二下·北京房山·期中）某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为750m2的矩形花园.图中阴影部分是宽度为1m的小路，中间A，B，C三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（其中B，C区域的形状、大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为xm(1)用含有x的代数式表示a；(2)当x的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？【变式5-3】（24-25高一上·广东·期末）某大学校园选择了一个八边形区域AEFBCGHD设计一个校园景观，如图所示，图中四个三角形为全等的等腰直角三角形，主干路总面积（图中阴影部分和中间白色正方形面积之和）为100m2，在重合的部分MNPQ处建一正方形特色凉亭，凉亭造价为600元/m2；在四个空角（图中四个三角形）建造水池和喷泉，造价为1600元/m2；四个矩形路（图中阴影部分）不处理，造价忽略不计.设AM长为y（单位：m），MN(1)求y关于x的函数关系式；(2)设校园景观总造价为S（单位：元），求S的最小值.知识点4“对勾”函数模型的应用1．“对勾”函数模型的应用对勾函数模型是常考的模型，要牢记此类函数的性质，尤其是单调性：y=ax+(a>0,b>0)，当x>0时，在(0,]上递减，在(,+)上递增.另外，还要注意换元法的运用.2．“对勾”函数模型的求解方法(1)利用“对勾”函数的单调性求解；(2)利用基本不等式求解.【题型6“对勾”函数模型的应用】【例6】（24-25高一上·重庆长寿·期末）某电脑公司为了提高产值，预计生产电脑的固定成本为200万元，每生产x千台电脑，需投入成本R(x)万元，R(x)=700x−10000x−1250.按前几年的统计数据，最少生产0.4万台，最多每年生产1万台电脑.已知每台电脑的售价为(1)以利润L(万元)为函数y，年产量x（千台）为自变量，求函数解析式；(2)求当年利润的取值范围.【变式6-1】（24-25高一上·上海杨浦·期中）如图，某学校准备利用一面长度20米的旧墙建造一间体育活动室，活动室为占地224平方米的矩形.工程费用情况如下:①翻修1米旧墙的费用为25元;②建造1米新墙的费用为100元;③拆去1米旧墙，然后用所得的材料修建1米新墙的费用为50元.记利用旧墙的一条矩形边长为x米(x∈(0,20])，建造活动室围墙的总费用为y元.请问如何利用旧墙，能使得建造活动室围墙的总费用最低?并求出最低费用.【变式6-2】（24-25高一上·辽宁锦州·期末）某广场欲建一块2500m2的矩形绿地，在绿地的四周铺设2m宽的人行道，如图所示．设矩形绿地的长为xm，绿地与人行道一共占地ym(1)试写出y关于x的函数关系式；(2)求x为何值时，占地面积y最小．【变式6-3】（24-25高一上·北京西城·期末）A,B两地相距520km，货车从A地匀速行驶到B地，全程限速100km/h．已知货车每小时的运输成本（单位：元）由固定成本和可变成本组成：固定成本为400元，可变成本与车速x的平方成正比，比例系数为kk>0．(1)把货车的全程运输成本y（单位：元）表示为车速x（km/h）的函数；(2)为使全程运输成本最小，货车应以多大速度行驶？【题型7函数模型的选择问题】【例7】（24-25高二下·宁夏银川·期末）2023年金年中国新能源汽车产销量分别达到958.7万辆和949.5万辆，比分别增长35．8%和37．9%；我国新能源汽车产销量占全球比重超过60%，连续9年位居世界第一位．新能源汽车出口120.3万辆、同比增长77．2%v60708090100110120P810.413.216.4202428.4为描述该电动汽车在高速公路上行驶时每小时耗电量P与速度v的关系，现行以下两种函数模型供选择：①P1(v)=kv(1)请选择你认为最符合表格中所列数据的函数模型（不需要说明理由），并求出相应的函数解析式；(2)李华驾驶一辆同型号电动汽车从银川出发经高速公路（最低限速60km/h，最高限速120km/h）匀速行驶到距离为510km/h【变式7-1】（24-25高一下·浙江·期中）2022年第24届北京冬季奥林匹克运动会，于2022年2月4日星期五开幕，将于2月20日星期日闭幕．该奥运会激发了大家对冰雪运动的热情，与冰雪运动有关的商品销量持续增长．对某店铺某款冰雪运动装备在过去的一个月内（以30天计）的销售情况进行调查发现：该款冰雪运动装备的日销售单价P(x)（元/套）与时间x（被调查的一个月内的第x天）的函数关系近似满足P(x)=1+kx（k为正常数）．该商品的日销售量Q(x)（个）与时间x10202530Q(x)110120125120已知第10天该商品的日销售收入为121元．(1)求k的值；(2)给出两种函数模型：①Q(x)=ax+b，②Q(x)=a|x−25|+b，请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量Q(x)与时间x的关系，并求出该函数的解析式；(3)求该商品的日销售收入f(x)（1≤x≤