专题4.2 指数函数（举一反三讲义）高一数学人教A版必修第一册（解析版）

2/30专题4.2指数函数（举一反三讲义）【人教A版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1指数函数的判定】 1【题型2根据函数是指数函数求参数】 2【题型3求指数函数的解析式】 4【题型4比较指数幂的大小】 6【题型5解指数不等式】 8【题型6指数函数图象的识别与应用】 9【题型7指数（型）函数的单调性问题】 12【题型8指数型复合函数及其应用】 14【题型9指数函数的实际应用】 17知识点1指数函数的概念1．指数函数的定义(1)一般地，函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.

(2)指数函数y=ax(a>0,且a≠1)解析式的结构特征：

①ax的系数为1；

②底数a是大于0且不等于1的常数.【题型1指数函数的判定】【例1】（24-25高一上·全国·课前预习）下列各函数中，是指数函数的是（

）A．y=x3 B．y=(−4)x C．【答案】D【解题思路】根据指数函数定义即可判断.【解答过程】根据指数函数的定义形如y=axa>0对于A：y=x对于B：y=(−4)x中对于C：y=5对于D：y=5故选：D.【变式1-1】（24-25高一上·全国·课前预习）判断函数是指数函数的是（

）A．y=x2 C．y=xx D．y=(a−1)x（【答案】D【解题思路】由指数函数定义可判断选项正误.【解答过程】指数函数是指形如y=axa>0则四个选项中，只有D满足条件.故选：D.【变式1-2】（24-25高一上·全国·课后作业）下列函数是指数函数的是（

）A．y=2x+1 B．y=2x+1 【答案】C【解题思路】由指数函数的定义即可判断.【解答过程】由指数函数的定义可知，y=2y=2x+1=2×y=2故选：C.【变式1-3】（24-25高一上·江西新余·期中）下列函数是指数函数的是（

）A．y=x4 B．y=(−2)x C．y=3【答案】D【解题思路】根据指数函数的定义，结合选项判断即可.【解答过程】根据指数函数的定义：形如y=ax（a>0且故选：D．【题型2根据函数是指数函数求参数】【例2】（25-26高一上·全国·课前预习）函数y=(7−2a)x是指数函数，则实数a的取值范围为（

）A．−∞,72 B．−∞,3【答案】C【解题思路】由指数函数的定义列出限制条件，求解不等式组可得答案.【解答过程】由指数函数的定义得7−2a>0,7−2a≠1,解得a<72，且a≠3，故a故选：C.【变式2-1】（24-25高一上·全国·课堂例题）若函数y=2a−1x（x是自变量）是指数函数，则a的取值范围是（A．(0,1)∪(1,+∞) C．12,1∪【答案】C【解题思路】由指数函数的定义即可求解.【解答过程】因为函数y=2a−1x（x是自变量）是指数函数，所以2a−1>02a−1≠1，解得：a>故选：C.【变式2-2】（24-25高一上·天津河西·期末）若函数fx=2a2A．2 B．1 C．1或12 D．【答案】D【解题思路】由指数函数的定义可得2a2−3a+2=1且a>0【解答过程】解：因为函数y=(2a∴2a2−3a+2=1且a>0由2a2−3a+2=1解得a=1∴a=1故选：D.【变式2-3】（24-25高一上·全国·课后作业）若函数fx=2k+1x（x是自变量）为指数函数，则实数A．−12,0C．−∞,0∪【答案】A【解题思路】根据条件，利用指数函数的定义，即可求解.【解答过程】由fx=2k+1x为指数函数，得2k+1>0且故选：A.【题型3求指数函数的解析式】【例3】（2025高一·全国·专题练习）若指数函数fx的图象过点3,8，则fA．fx=x3 B．fx=【答案】D【解题思路】设出解析式，将点3,8代入，求出解析式.【解答过程】设fx=ax（a>0且解得a=2，故fx故选：D.【变式3-1】（24-25高一上·全国·课后作业）若指数函数fx的图象过点4,81，则fx的解析式为（A．fx=xC．fx=1【答案】B【解题思路】设fx=ax，（a>0且【解答过程】设fx=ax，（因为函数fx的图象过点4,81，则f4=所以fx故选：B.【变式3-2】（24-25高一上·陕西宝鸡·期末）已知函数f(x)=(1)求f(x)的表达式；(2)判断F(x)=【答案】(1)f(x)=(2)F(x)是偶函数，证明见解析【解题思路】（1）由指数函数定义即可列方程求解；（2）由偶函数定义即可判断并得证.【解答过程】（1）∵函数f(x)=(a2−2a−2)∴a可得a=3或a=−1(舍去)，∴f(x)=（2）F(x)是偶函数

,证明如下：F(x)=f(x)+1f(x)=∵F(−x)=3∴F(x)是偶函数．【变式3-3】（24-25高一上·重庆·期中）已知指数函数fx=ax(a>0(1)求函数fx(2)若f2m−1−fm+3【答案】(1)f(2)4,+【解题思路】（1）根据题意，由a−2（2）利用函数fx在R上递减，将不等式转化为f【解答过程】（1）解：因为指数函数fx=ax(a>0所以a−2=9，解得所以函数fx的解析式为f（2）由（1）知函数fxf2m−1−fm+3所以2m−1>m+3，解得m>4，所以实数m的取值范围是4,+∞知识点2指数函数的图象与性质1．指数函数的图象与性质0<a<1a>1图象性质定义域R值域过定点图象过定点(0,1)，即当x=0时，y=1单调性在上是减函数在上是增函数函数值的变化范围当x<0时，y>1当x<0时，0<y<1当x=0时，y=1当x=0时，y=1当x>0时，0<y<1当x>0时，y>12．底数对指数函数图象的影响指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的底数对图象的影响可以从不同角度来记忆理解.

(1)无论是a>1还是0<a<1，在第一象限内，自下而上，图象越高的指数函数的底数越大，即“底大图高”.(2)左右比较：在直线y=1的上面，a>1时，a越大，图象越靠近y轴；0<a<1时，a越小，图象越靠近y轴.(3)上下比较：比较图象与直线x=1的交点，交点的纵坐标越大，对应的指数函数的底数越大.3．比较指数幂的大小的方法比较指数幂的大小的方法（分三种情况）：(1)底数相同，指数不同：利用指数函数的单调性来判断；(2)底数不同，指数相同：利用底数不同的指数函数的图象变化规律来判断；(3)底数不同，指数不同：通过中间量来比较，一般引入中间量“1”.4．指数方程(不等式)的求解思路指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化求解.【题型4比较指数幂的大小】【例4】（24-25高一上·吉林长春·期中）已知a=20.3，b=40.1，c=A．a>b>c B．b>a>c C．b>c>a D．c≥a>b【答案】A【解题思路】根据给定条件，利用指数函数性质比较大小即得.【解答过程】依题意，b=(22)0.1所以a>b>c.故选：A.【变式4-1】（24-25高一上·湖北恩施·期中）已知a=0.60.7，b=0.70.6，A．c<b<a B．c<a<b C．a<b<c D．a<c<b【答案】D【解题思路】结合待比较的三个数的指数，底数的特点，构造指数函数，幂函数，根据它们的单调性即可求解.【解答过程】设y=0.7x(x∈R)，根据指数函数的单调性，y=0.7x在R设y=x0.7(x>0)，根据幂函数的单调性，y=x0.7在(0,+故a<c<b.故选：D.【变式4-2】（25-26高一上·全国·课后作业）已知0<a<1<b，则（

）A．ba<aC．bb<a【答案】B【解题思路】利用指数函数的单调性比较大小即可.【解答过程】因为0<a<1<b，函数y=a所以0<a同理，函数y=bxb>1综上，可得ab故选：B.【变式4-3】（25-26高一上·全国·单元测试）若a=0.50.2,b=A．a>b>c B．b>a>cC．b>c>a D．c>a>b【答案】C【解题思路】根据指数函数的单调性比较大小即可.【解答过程】由b=0.25因为y=0.5x在R上单调递减，且所以b>c>a．故选：C.【题型5解指数不等式】【例5】（24-25高一上·全国·课前预习）若122a+1<23−2aA．(0,+∞) B．R C．(−【答案】B【解题思路】应用指数函数的单调性计算求解.【解答过程】函数y=12x因为122a+1<即1>−3恒成立，∴a∈R故选：B.【变式5-1】（25-26高一上·全国·课后作业）若2x2+1≤1A．−∞,−3 B．−3,1 C．−∞【答案】B【解题思路】利用指数函数的单调性解不等式即可得出结果．【解答过程】因2x2+1即x2+2x−3≤0，解得所以x的取值范围为−3,1．故选：B．【变式5-2】（24-25高一上·河北·期末）已知函数fx=ax2+bx+1（a>0，且(1)求a，b的值；(2)求不等式3<fx【答案】(1)a=3,(2)−1,0【解题思路】（1）将点0,3，1,1代入函数解析式，解方程组即可求解；（2）根据指数函数的单调性列不等式组求解即可.【解答过程】（1）因为函数fx=ax2所以f0=a=3f（2）由（1）得fx由3<fx<81，得31所以1<x−1<2或−2<x−1<−1，解得−1<x<0或2<x<3，即不等式3<fx<81的解集为【变式5-3】（24-25高一上·全国·周测）已知指数函数f(x)=ax（a>0且a≠1）的图象过点(−2,9)(1)求a的值；(2)若f(m)=2，f(n)=92，求(3)求不等式fx【答案】(1)a=(2)m+n=−2(3)x【解题思路】（1）将点(−2,9)代入解析式中即可得解；（2）利用（1）中的解析式以及指数幂的运算即可求解；（3）利用指数函数的单调性可求解.【解答过程】（1）∵指数函数f(x)=ax的图象过点∴f(−2)=a−2=9，∴a=±13（2）由（1）知，f(x)=1∵f(m)=2，f(n)=92，∴1∴13m（3）不等式fx2−5x−6∵f(x)=13x∴x2−5x−6<0，即x−6∴不等式的解集为x−1<x<6【题型6指数函数图象的识别与应用】【例6】（24-25高一上·山西吕梁·期末）已知a>0且a≠1，则在同一直角坐标系中，函数y=ax+1和y=1ax的图象可能是（A． B．C． D．【答案】C【解题思路】易得两个函数的图象都经过定点0,1，即可排除B；再分0<a<1和a>1两种情况讨论即可得解.【解答过程】题目所给的两个函数的图象都经过定点0,1，故B错误；因为a>0且a≠1，所以y=ax+1为增函数，当0<a<1时，y=1ax为增函数，此时y=ax+1当a>1时，y=1ax为减函数，此时y=ax+1故选：C.【变式6-1】（25-26高一上·全国·课前预习）已知函数y=ax（a>0，且a≠1）与函数y=1bx（b>0A．a>b>1 B．a>1>b>0 C．b>1>a>0 D．b>a>1【答案】A【解题思路】由指数函数的图象与性质可得a>1，b>1.再根据函数y=1bx（b>0，且b≠1）与函数y=bx【解答过程】由图得a>1，0<1b<1因为函数y=1bx（b>0，且b≠1）的图象与函数y=bx（b>0由图可知：a1>b故选：A.【变式6-2】（24-25高一上·浙江·期中）函数fx图象的一部分如图所示，则函数fx的解析式有可能是（A．y=2x−1 B．y=2x−1 【答案】A【解题思路】根据函数的单调性排除C、D，再由函数过点0,0，即可判断B.【解答过程】因为函数在定义域R上单调递增，因为y=2−x−1=12又当x=0时y=0，显然y=2x−1不过点y=2x−1在定义域R上单调递增，且2故选：A.【变式6-3】（24-25高一上·安徽六安·阶段练习）设指数函数C1：y=ax，C2：y=bx，CA．0<c<1<b<a B．0<a<1<b<cC．c<b<a D．0<c<1<a<b【答案】A【解题思路】做直线x=1，数形结合，可得a,b,c的大小关系.【解答过程】如图：做直线x=1，得到直线与三个指数函数图象的交点分别为1,a，1,b，1,c，由图可知：0<c<1<b<a.故选：A.【题型7指数（型）函数的单调性问题】【例7】（24-25高二下·天津滨海新·阶段练习）函数f(x)=0.3x2−2xA．(−∞,1) B．(1,+∞) C．【答案】A【解题思路】利用复合函数的单调性，结合二次函数、指数函数的单调性可得结果.【解答过程】函数f(x)=0.3x2−2x中，令t=x2−2x而函数y=0.3t为减函数，因此函数f(x)在−∞所以函数f(x)=0.3x2故选：A.【变式7-1】（2025·山东济宁·二模）若函数fx=12x2−axA．a≤2 B．a≥2 C．a≤1 D．a≥1【答案】A【解题思路】f(x)=(12)x2−ax【解答过程】f(x)=(12)x在y=(12)u中，b=因为f(x)=(12)x2−ax根据复合函数“同增异减”的原则，可知内层函数u=x2−ax对于二次函数u=x2−ax二次函数在对称轴右侧单调递增，要使u=x2−ax则对称轴需满足a2≤1，解得故选：A.【变式7-2】（24-25高一上·重庆江北·期末）函数fx=2A．−∞,−1 B．−∞,1 C．【答案】B【解题思路】根据复合函数单调性“同增异减”的原则可确定选项.【解答过程】令gx=2x，∵gx在R上为增函数，hx在∴fx=2故选：B.【变式7-3】（24-25高一上·山东日照·期末）若函数f(x)=2x2−ax+3在区间(2,3)上单调递增，则实数A．(−∞,4] B．(−∞,6] C．【答案】A【解题思路】根据复合函数的单调性求解判断.【解答过程】令u=x2−ax+3，对称轴为x=因为fx=2所以a2≤2，即所以实数a的取值范围为−∞故选：A.【题型8指数型复合函数及其应用】【例8】（24-25高一上·黑龙江大庆·期末）已知函数fx(1)若fx在0,2上为增函数，求实数a(2)若fx在0,2上最小值为4，求实数a【答案】(1)a≤3(2)a=0【解题思路】（1）由复合函数的性质得y=t2−(a−1)t+2在[1,4]（2）换元后根据二次函数的对称轴与区间的关系分类讨论．【解答过程】（1）令2x=t∈1,4，由于t=2x则y=t2−(a−1)t+2则a−12≤1（2）令2即fx若a−12≤1则t=1时最小，得若1<a−12<4则t=若a−12≥4时则t=4时最小，得∴a=0.【变式8-1】（24-25高一上·河南·阶段练习）已知函数fx=m⋅9(1)当m=32时，求(2)若fx单调递增，求m【答案】(1)−3,+(2)3【解题思路】（1）当m=32代入fx（2）通过（1）可知只需y=mt2−3t−m在1,+∞上单调递增，分别讨论m=0，【解答过程】（1）当m=32时，令t=3x，则t>1，故所以fx的值域为−3,+（2）由（1）可得fx=y=mt因为t=3x在要使fx在0,+∞上单调递增，只需y=mt①当m=0时，y=−3t在1,+∞②当m<0时，y=mt③当m>0时，则需32m≤1，解得：所以m的取值范围是32【变式8-2】（25-26高一上·新疆·期中）已知函数f(x)=2x+1+a2x(1)求实数a的值；(2)①判断函数g(x)的单调性并用定义证明；②求不等式g(2x−1)+g(x)>0的解集；(3)若∀x∈[0,3]，不等式f(x)>b⋅g(x)恒成立，求实数b的取值范围.【答案】(1)0(2)①单调递增，证明见解析；②((3)(−【解题思路】（1）利用函数为奇函数，结合其定义，即可求得答案；（2）①结合（1）得出g(x)的解析式，结合函数单调性的定义可判断并进行证明；②利用函数单调性的定义求解，即得答案；（3）由已知可分离参数，得b<2x+12【解答过程】（1）因为g(x)是R上的奇函数，所以g(−x)+g(x)=0，所以1−f(x)+1−f(−x)=0，所以f(x)+f(−x)=2，即2x+1+a2即(a+2)⋅2x+1=22（2）①由（1）得f(x)=2所以g(x)=1−f(−x)=1−2所以函数g(x)在R上单调递增，证明如下：由于g(x)的定义域为R，任取x1则g(x因为x1<x2，所以2x1<所以g(x1)<g(x2②因为g(x)是R上的奇函数，所以不等式g(2x−1)+g(x)>0等价于g(2x−1)>−g(x)，即g(2x−1)>g(−x)，因为函数g(x)在R上单调递增，所以2x−1>−x，解得x>1所以不等式g(2x−1)+g(x)>0的解集为(1（3）因为f(x)>b⋅g(x)，所以2x+12x因为∀x∈[0,3]，不等式f(x)>b⋅g(x)恒成立，所以当x=0时，2>b⋅(20−1)当x∈(0,3]时，b<2令h(x)=2x+12则h(x)=2×(2x所以h(x)≥h(3)=167，所以所以实数b的取值范围为(−∞【变式8-3】（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）已知函数fx(1)试确定fx(2)求证：函数fx在R(3)若对任意的t∈R，不等式ft2【答案】(1)奇函数(2)证明见解析(3)−【解题思路】（1）由于函数的定义域为R，关于原点对称，且化简求得f−x=−fx（2）化简函数fx的解析式为22x+1−1，设x1<（3）由于fx为奇函数，不等式即ft2−2t<fk−2t2恒成立，再由函数fx在R【解答过程】（1）函数fx=1−且有f−x故函数fx（2）证明：∵fx设x1<x可得fx故函数fx在R（3）∵对任意的t∈R，不等式ft2∴ft由函数fx在R可得t2即3t∴Δ=4+12k<0，解得：故k的取值范围为−∞【题型9指数函数的实际应用】【例9】（25-26高三上·重庆·开学考试）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y=192ekx，其中k为常数.若该食品在20℃的保鲜时间为48小时，则在30℃的保鲜时间是（A．20小时 B．24小时 C．28小时 D．32小时【答案】B【解题思路】根据题意得到方程，求出e10k=12，当【解答过程】由题意得192e20k=48，即e20k=当x=30时，y=192e故选：B.【变式9-1】（25-26高一上·全国·单元测试）某学校一个课外实验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据实验数据可知，在相同条件下，这种植物每天以a%的增长率生长，8天后，该植物的长度是原来的32倍，则24天后该植物的长度是原来的（A．2716倍 B．272倍 C．278倍 【答案】C【解题思路】设植物原来长度为m，根据8天后，该植物的长度是原来的32倍，求出1+a【解答过程】方法1设植物原来长度为m，8天后，该植物的长度是原来的32故m1+a%8=324天后该植物的长度是m1+a%24又1+a%所以24天后该植物的长度是原来的278方法2

设植物原来长度为1，8天后，该植物的长度是1+a%24天后，该植物的长度是1+a%即24天后该植物的长度是原来的278故选：C.【变式9-2】（24-25高一上·四川泸州·期末）把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度为θ1℃，空气的温度为θ0℃，那么tmin后物体的温度θ（单位：℃）可由公式θ=θ0+θ(1)求e−k(2)小王想喝40℃的温水，发现水的温度为100℃，如果他等待水温自然冷却，至少需要等待多少min？(3)某电热水壶会自动检测壶中水温，如果水的温度高于35℃，电热水壶不加热，水的温度冷却到35℃，电热水壶开始加热，直至水的温度达到80℃才停止加热，且水的温度从35℃加热到80℃需要8min.现该电热水壶中水的温度为80℃，经过98min后，此时壶中水的温度是多少？【答案】(1)e(2)至少需要等待60min(3)50℃【解题思路】（1）根据题意代入相应数据运算即可；（2）根据题意可知θ0=20℃,θ（3）根据题意可得水的温度由80℃冷却到35℃，需要60min【解答过程】（1）已知空气的温度为20℃，把水放在空气中冷却，水的温度从100℃冷却到60℃需要30mi