专题4.3 对数（举一反三讲义）高一数学人教A版必修第一册（解析版）

2/30专题4.3对数（举一反三讲义）【人教A版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1对数的概念判断与求值】 2【题型2指数式与对数式的互化】 3【题型3对数的运算】 5【题型4对数的运算性质的应用】 6【题型5运用换底公式化简计算】 7【题型6指、对数方程的求解】 9【题型7带附加条件的指、对数问题】 10【题型8运用换底公式证明恒等式】 12【题型9对数的实际应用】 14知识点1对数的概念1．对数的定义、性质与对数恒等式(1)对数的定义：一般地，如果ax=N(a>0,且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.(2)对数的性质：①=0，=1(a>0,且a≠1)，负数和0没有对数.

②对数恒等式：=N(N>0,a>0,且a≠1).(3)对数与指数的关系：根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：当a>0，且a≠1时，ax=N.

用图表示为：2．常用对数与自然对数名称定义符号常用对数以10为底的对数叫做常用对数简记作lgN自然对数以e为底的对数叫做自然对数，e是无理数，e

≈2.71828简记作lnN【题型1对数的概念判断与求值】【例1】（24-25高一上·全国·课后作业）若代数式log8x2−2x−3有意义，则实数x的取值范围为（A．−∞,−1 C．3,+∞ D．【答案】D【解题思路】由对数的真数大于0列式即可求.【解答过程】由题可得x2−2x−3>0，解得x<−1或故实数x的取值范围为−∞故选：D.【变式1-1】（24-25高一上·全国·课后作业）有下列说法：①以10为底的对数叫作常用对数；②任何一个指数式都可以化成对数式；③以e为底的对数叫作自然对数；④零和负数没有对数.其中正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解题思路】根据对数的相关概念和性质，一一判断每个选项，可得答案.【解答过程】根据常用对数以及自然对数的概念可知①③正确，根据对数的性质可知④正确，只有当a>0且a≠1时，指数式ax故选：C.【变式1-2】（24-25高一上·天津西青·期中）log4log5x=0A．0 B．1 C．5 D．625【答案】C【解题思路】利用对数的性质loga1=0，【解答过程】∵log4(log5故选：C.【变式1-3】（24-25高一上·全国·随堂练习）对数loga+35−a中实数a的取值范围是（

）A．−∞,5 B．−3,5 C．−3,−2∪−2,5 【答案】C【解题思路】根据对数真数和底数的性质进行求解即可.【解答过程】因为对数式的底数为大于零不等于1的实数，真数为正实数，所以有5−a>0a+3>0故选：C.【题型2指数式与对数式的互化】【例2】（24-25高一上·全国·课后作业）若m2024=n（m>0且m≠1），则（

）A．logmn=2024 C．log2024m=n 【答案】A【解题思路】根据对数的定义将指数化为对数.【解答过程】因为m2024=n（m>0且m≠1），所以故选：A.【变式2-1】（24-25高三上·江苏南京·开学考试）已知ax=4，loga3=y，则A．5 B．6 C．7 D．12【答案】D【解题思路】根据对数式和指数式的互化，利用指数的运算即可求得答案.【解答过程】由loga3=y，得故ax+y故选：D.【变式2-2】（24-25高一上·全国·课后作业）将下列指数式化为对数式：(1)12(2)103(3)e2【答案】(1)log(2)lg(3)ln【解题思路】直接利用指数和对数的关系实现指对互化.【解答过程】（1）由12−5=32（2）由103=1000，得（3）由e2=x，得【变式2-3】（24-25高一上·上海·随堂练习）将下列指数式与对数式互化．(1)53(2)4−2(3)log1(4)log3【答案】(1)log(2)log(3)1(4)3【解题思路】根据指数式和对数式的互换公式ab=N⇔【解答过程】（1）53（2）4−2（3）log1（4）log3知识点2对数的运算性质1．对数的运算性质如果a>0，且a≠1，M>0,N>0,n∈R，那么我们有：运算数学表达式自然语言描述积的对数正因数积的对数等于同一底数的各因数的对数的和商的对数两个正数的商的对数等于同一底数的被除数的对数减去除数的对数幂的对数正数幂的对数等于幂指数乘同一底数的幂的底数的对数2．对数的换底公式及其推论(1)换底公式：设a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0，则.(2)换底公式的推论：①=1(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1)；

②(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1,c>0,且c≠1,d>0)；

③(a>0,且a≠1,b>0,m≠0,n∈R).3．对数运算的常用技巧(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并.(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.(3)指对互化：(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.【题型3对数的运算】【例3】（24-25高一上·全国·课前预习）计算：log153−log6A．－2 B．0 C．1 D．2【答案】B【解题思路】利用对数的运算性质计算可得所求代数式的值.【解答过程】原式=log故选：B.【变式3-1】（25-26高一上·全国·课后作业）求值：2log510−A．1 B．log516 C．2 【答案】C【解题思路】根据对数运算公式，即可求解.【解答过程】2log故选：C.【变式3-2】（24-25高一上·江苏宿迁·阶段练习）对于一个声强为I（单位：Wm2）的声波，其声强级L（单位：dB）可由如下公式计算：L=10lgII0（其中I0是能引起听觉的最弱声强）.设声强为I1时的声强级为70dB，声强为A．10 B．100 C．1010 【答案】A【解题思路】代入求值，得到I1=10【解答过程】令L=70，则10lgI1令L=60，则10lgI2故I1故选：A.【变式3-3】（24-25高一上·江苏常州·期中）一个39位整数的64次方根仍是整数，这个64次方根是（

）（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解题思路】根据题意设这个39位数为a×1038(0<a<10)，这个数的64次方根为k【解答过程】设设这个39位数为a×1038(0<a<10)所以a×1038=所以lgk=1932所以0.59375<0.59375+1也即0.59375<lg因为lg2≈0.301，lg3≈0.477，所以所以k=4，故选：C.【题型4对数的运算性质的应用】【例4】（24-25高一上·重庆黔江·期末）计算lg2+lg50−2A．−2 B．−1 C．4 D．5【答案】B【解题思路】根据对数运算法则即可得到答案.【解答过程】lg2+故选：B.【变式4-1】（24-25高一上·上海·期中）设a是不等于1的正数，M，N是任意给定的正数，c是任意给定的实数，则下列性质中错误的是（

）A．logaa=1 C．logaMc【答案】D【解题思路】对于ABC：根据对数的定义和运算性质分析判断即可；对于D：举反例说明即可.【解答过程】因为a是不等于1的正数，M，N是任意给定的正数，c是任意给定的实数，对于选项A：loga对于选项B：loga对于选项C：loga对于选项D：例如a=M=N=2，则loga此时loga故选：D.【变式4-2】（24-25高一上·上海嘉定·期末）已知log52=a，5b=3，则A．2a+b B．2ab C．a2+b 【答案】A【解题思路】根据指数和对数的互化以及对数运算法则即可得出结果.【解答过程】由5b=3，则b=log∴log故选：A.【变式4-3】（24-25高一上·江苏南京·期中）我们知道，任何一个正实数P可以表示成P=a×10n1≤a<10,n∈Z，此时lgP=n+lga（1≤a<10），当n>0时，P是n+1位数，则A．14 B．15 C．55 D．56【答案】B【解题思路】根据对数的运算性质即可求解.【解答过程】lg2所以211故选：B.【题型5运用换底公式化简计算】【例5】（24-25高一上·甘肃武威·阶段练习）已知lg2=a，lg3=b，则log30A．a+2bb−1 B．a+2bb+1 C．a−2bb−1【答案】B【解题思路】根据对数的运算性质即可结合换底公式求解.【解答过程】由题意，log30故选：B．【变式5-1】（24-25高一上·全国·课后作业）设lg2=a，lg3=b，则A．b−a+1a+2b B．b+a+1a+2b C．b−a+1a−2b【答案】A【解题思路】利用对数换底公式和对数运算性质即可求解.【解答过程】∵lg2=a，log18即log18故选：A.【变式5-2】（2025·青海·模拟预测）若a=log35，5b=6A．1 B．−1 C．2 D．−2【答案】A【解题思路】指数式化为对数式，利用对数运算法则和换底公式进行求解.【解答过程】由5b故ab−=log故选：A.【变式5-3】（24-25高一上·福建南平·期末）已知logaM=6，logbM=10，logcM=15（a>0，且a≠1；b>0，且b≠1；c>0，且c≠1；M>0），则A．13 B．3 C．130【答案】B【解题思路】由条件结合换底公式可求logM【解答过程】由logaM=6，可得同理，可得logMb=1∴log所以logabc故选：B.【题型6指、对数方程的求解】【例6】（24-25高一上·江苏宿迁·阶段练习）若lga，lgb是方程5x2−10x+3=0的两个实根，则A．2 B．12 C．100 D．【答案】C【解题思路】由韦达定理可得：lga+【解答过程】由韦达定理可得：lga+所以lgab=lga+故选：C.【变式6-1】（24-25高一上·广东韶关·阶段练习）已知lga，lgb是方程6x2−4x−3=0A．49 B．139 C．149【答案】D【解题思路】由韦达定理可得：lga+lgb=【解答过程】由韦达定理可得：lga+lgb=所以lga故选：D.【变式6-2】（24-25高一·山东枣庄·课后作业）若方程lgx2+lg7+lg5lgx+A．lg7⋅lg5 B．lg35 【答案】D【解题思路】运用一元二次方程根的求法，结合对数性质可解.【解答过程】lgx2+则lgx+lg7=0,解得x=17或x=1故选：D.【变式6-3】（25-26高一上·全国·单元测试）甲、乙两人同时解关于x的方程：log2x+b+clogx2=0．甲写错了常数b，得两根为14及18；乙写错了常数cA．x=2 B．x=4C．x=4或x=8 D．x=2或x=8【答案】C【解题思路】将原方程变形为log2x2+blog【解答过程】原方程两边同时乘以log2x，可变形为∵甲写错了b，得到两根为14及18，∴又∵乙写错了常数c，得到两根为12及64，∴b=−∴原方程为log2x2∴log2x=2或log2故选：C.【题型7带附加条件的指、对数问题】【例7】（24-25高一上·河南开封·期末）求满足下列条件的各式的值：(1)若10m=4，10n(2)若xlog32=1【答案】(1)2(2)9【解题思路】（1）根据给定条件，利用指数运算计算得解.（2）利用对数换底公式及指数式与对数式的互化关系计算得解.【解答过程】（1）由10m=4，10n所以m+2n=2.（2）由xlog32=1所以4x【变式7-1】（24-25高一上·全国·周测）（1）已知2a=5（2）已知32x=4【答案】（1）13【解题思路】先利用指对互化，再利用换底公式化简.【解答过程】（1）由已知，a=log所以1a（2）因为32x=43y=3y=log412所以3x【变式7-2】（24-25高一上·吉林延边·期末）（1）若xlog23=1（2）已知lg2=a，lg3=b，试用a，b表示【答案】（1）52；（2）【解题思路】（1）根据对数运算性质及对数式化指数式得3x（2）根据对数的运算性质即可得解.【解答过程】（1）因为xlog23=1所以3x=2，则所以3x（2）因为lg2=a，lg所以lg15=lg3×10【变式7-3】（24-25高一上·江苏南京·期末）已知6m=2，6(1)求62m−n(2)用m，n表示log20【答案】(1)45(2)n−m+12m+n【解题思路】（1）逆用指数运算法则计算即可.（2）化指数式为对数式，再利用换底公式及对数运算法则求解.【解答过程】（1）由6m=2，6n（2）由6m=2，6n所以log20【题型8\t"/gzsx/zj145214/_blank"\o"运用换底公式证明恒等式"运用换底公式证明恒等式】【例8】（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）已知：2x=3【答案】证明见详解【解题思路】将指数式化为对数式，再结合对数运算以及换底公式运算分析证明.【解答过程】设2x=3则x=log2a,y=所以2x【变式8-1】（24-25高一下·广西崇左·阶段练习）求满足下列条件的各式的值(1)若xlog34=1(2)设3x=4【答案】(1)10(2)证明见解析【解题思路】（1）运用对数的运算法则即可求解；（2）运用对数的换底公式即可证明.【解答过程】（1）∵xlog∴log3∴4x∴4（2）证明：设3x则x=log3m，y=所以1x=logm3所以1x所以1x【变式8-2】（24-25高一·全国·课后作业）证明：（1）loga（2）loga【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解题思路】利用换底公式及对数的性质即可证明【解答过程】证明：（1）loga故loga（2）∵logam【变式8-3】（24-25高一下·上海·课后作业）已知在△ABC中，∠C=90°，角A，B，C所对应的三条边长分别为a，b，c．求证：【答案】见解析【解题思路】利用直角三角形的勾股定理、对数的运算性质以及对数的运算法则可以证明等式成立.【解答过程】证明：在△ABC中，因为∠C=90°，所以因为log(b+c)a+log(c−b)=loga[(c−b)(c+b)]=所以log(b+c)知识点3对数的实际应用1．对数的实际应用在实际生活中，经常会遇到一些指数或对数运算的问题.求解对数的实际应用题时，一是要合理建立数学模型，寻找量与量之间的关系；二是要充分利用对数的性质以及式子两边取对数的方法求解.

对数运算在实际生产和科学研究中应用广泛，其应用问题大致可以分为两类：

(1)建立对数式，在此基础上进行一些实际求值，计算时要注意指数式与对数式的互化；

(2)建立指数式，再进行指数求值，此时往往将等式两边同时取对数进行计算.【题型9对数的实际应用】【例9】（2025·陕西·模拟预测）2025年1月西藏定日发生6.8级地震，已知M（里氏震级）的计算公式为M=lgA−lgA0（其中A是被测地震最大振幅，常数AA．1.8 B．18 C．63 D．128【答案】C【解题思路】根据题意可得A=A0⋅10M【解答过程】由M=lgA−lgA0当M=6.8时，地震最大振幅为A1当M=5时，地震最大振幅为A2则A1故选：C.【变式9-1】（24-25高一上·安徽合肥·期末）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V间的关系为L=5+lgV.已知五分记录法的评判范围为[4.0,5.2]，设lga=1.4，五分记录法中，最大值对应的小数记录法数据为M，最小值对应的小数记录法数据为m，则MA．a+102 B．20a10+a C．a2【答案】D【解题