专题4.5 函数的应用（二）（举一反三讲义）高一数学人教A版必修第一册（解析版）

2/30专题4.5函数的应用（二）（举一反三讲义）【人教A版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1求函数的零点】 2【题型2零点存在性定理的应用】 3【题型3求函数零点或方程根的个数】 5【题型4根据函数零点（方程根）的个数求参数范围】 7【题型5用二分法确定函数零点（方程根）所在的区间】 10【题型6用二分法求方程的近似解】 12【题型7用二分法求函数的近似值】 13【题型8指数函数模型】 16【题型9对数函数模型】 18【题型10建立拟合函数模型解决实际问题】 20知识点1函数的零点1．函数的零点(1)函数零点的概念：对于一般函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.即函数的零点就是使函数值为零的自变量的值.(2)函数的零点与方程的解的关系函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数解，也就是函数y=f(x)的图象与x轴的公共点的横坐标.所以方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)有零点⇔函数y=f(x)的图象与x轴有公共点.(3)几种常见函数的零点①二次函数的零点

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根也称为函数y=ax2+bx+c(a≠0)的零点.②正比例函数y=kx(k≠0)仅有一个零点0.

③一次函数y=kx+b(k≠0)仅有一个零点.

④反比例函数y=(k≠0)没有零点.

⑤指数函数y=ax(a>0,且a≠1)没有零点.

⑥对数函数y=(a>0,且a≠1)仅有一个零点1.

⑦幂函数y=xa，当a>0时，仅有一个零点0；当a≤0时，没有零点.2．函数零点存在定理(1)函数零点存在定理：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的解.(2)函数零点存在定理的几何意义：在闭区间[a,b]上有连续不断的曲线y=f(x)，且曲线的起始点(a,f(a))与终点(b,f(b))分别在x轴的两侧，则连续曲线与x轴至少有一个交点.3．确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在性定理：首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.(2)数形结合法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f(x)=g(x)-h(x)，作出y=g(x)和y=h(x)的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点.【题型1求函数的零点】【例1】（25-26高一上·江苏·阶段练习）函数y=−x2−2x+3的零点为（

A．1 B．－3 C．1和－3 D．1,0和−3,0【答案】C【解题思路】根据零点定义令y=0计算求解.【解答过程】令y=0，−x2−2x+3=0，即x2+2x−3=0故选：C.【变式1-1】（25-26高一上·全国·课前预习）函数fx=lnA．e B．−eC．e,0或−e,0 【答案】D【解题思路】直接解方程即得函数的零点.【解答过程】令fx=lnx−1=0所以函数fx的零点为e和−故选：D.【变式1-2】（24-25高一上·湖南衡阳·阶段练习）已知函数f(x)=2x−1,x≤11+logA．12，0 B．(12,0)，(0,0) C．【答案】C【解题思路】令f(x)=0分段求解即可.【解答过程】因为f(x)=2当x≤1时，令f(x)=2x−1=0当x>1时，令f(x)=1+log2x=0所以函数f(x)的零点为0.故选：C.【变式1-3】（24-25高一上·广东·期末）若函数fx=ax+ba≠0有一个零点是1，则函数gx=ax3A．0, 2 B．−1, 3 C．【答案】D【解题思路】根据fx的零点是1可得b=−a，代入令gx=0【解答过程】由题意可得f1=a+b=0，可得可得gx令gx=0，因此解得x=0或x=1或x=−1；因此函数gx=ax故选：D.【题型2零点存在性定理的应用】【例2】（24-25高一上·陕西西安·期末）函数f(x)=2x+2x−12A．(−1,0) B．(0,1) C．(1,2) D．(2,3)【答案】A【解题思路】由零点存在定理即可求解.【解答过程】易知f(x)是R上的增函数，又f(−1)=−2<0，f(0)=12>0，所以f(x)故选：A.【变式2-1】（24-25高一上·浙江宁波·期末）已知函数fx=x3+3x−5A．−1,0 B．0,1C．1,2 D．2,3【答案】C【解题思路】利用零点存在性定理判断各区间端点处的符号即可得出结论.【解答过程】易知函数fx=x易知f−1f1满足f1f2<0，因此故选：C.【变式2-2】（24-25高一上·天津·期末）函数fx=xlnA．0,1 B．1,2 C．2,3 D．3,+∞【答案】B【解题思路】结合对数函数性质分析当0<x≤1时，fx<0，判断函数fx【解答过程】当0<x≤1时，lnx≤0，所以x故xlnx−1≤−1<0，所以函数fx设x1,x则1<x1故x1lnx所以fx1<fx2又f1=0−1<0，所以函数fx=xln故选：B.【变式2-3】（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）函数fx=lnx−1A．2,3 B．3,4 C．4,5 D．5,6【答案】B【解题思路】由题可得f3【解答过程】y=lnx−1是又函数y=−3x是故fx=lnf3=ln因为f3⋅f4<0,所以函数故选:B.【题型3求函数零点或方程根的个数】【例3】（24-25高一上·江苏无锡·期末）函数fx=2A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解题思路】先得到函数的单调性，由零点存在性定理得到存在唯一的x0∈−2,−1，使得f【解答过程】fx=2由于y=2x,y=−故fx=2其中f−2=−1由零点存在性定值可知，存在唯一的x0∈−2,−1又f1=0，故故选：C.【变式3-1】（25-26高一上·全国·单元测试）函数fx=xA．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解题思路】根据题意，分析每一段零点个数，当x≤0时，易得一个零点x=−2，当x>0，根据单调性及零点存在定理判断即可.【解答过程】当x≤0时，令x3+8=0，解得当x>0时，f14=f(4)f14<0，所以f(x)又因为f(x)=log4x+x在(0,+∞)综上，f(x)的零点个数为2.故选：C.【变式3-2】（24-25高一上·云南昆明·期末）函数fx=logA．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解题思路】先将问题转化为y=log2x与y=x的图象的交点问题，再由两函数的单调性分析得fx至多只有两个零点，又由f【解答过程】要求fx=log2x−在同一坐标系中作出y=log2x因为y=log2x且y=log2x所以两函数的图象至多只有两个交点，即fx又f4=log所以fx故选：C.【变式3-3】（24-25高三上·河北张家口·阶段练习）已知函数fx=lg−x+1,x<0A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【解题思路】先利用零点和根的关系得到fx=2或【解答过程】函数y=f即方程fx=1和fx由图可得方程fx=1和fx故选：C．【题型4根据函数零点（方程根）的个数求参数范围】【例4】（25-26高三上·安徽·阶段练习）函数fx=fx−1,2<x≤52x−1A．−1,0 B．−1,0 C．0,1 D．0,1【答案】A【解题思路】将fx+a=0有2个零点转化为函数y=−a与【解答过程】∵fx=f

又fx+a=0有2个零点相当于y=−a与根据图象可得0<−a<1，故−1<a<0，则实数a的取值范围为−1,0.故选：A.【变式4-1】（24-25高一上·广东清远·期末）已知函数fx=ex−1+1,x≤1lnx−1,x>1，若关于A．0,1∪2,+∞C．0,1∪2,+∞【答案】D【解题思路】因为2fx2−2a+5fx+5a=0，所以【解答过程】因为2fx2−因为关于x的方程2f所以fx的图象与直线y=52如图，fx的图象与直线y=所以只需fx的图象与直线y=a有3个交点，所以a∈故选：D．【变式4-2】（24-25高一上·北京密云·期末）已知函数f(x)=|log2x|,x>0,−4x2−4x,x≤0,函数g(x)=f(x)+m−2．若A．(1,32) B．(1,2) C．(【答案】A【解题思路】利用函数与方程的思想，将g(x)有四个不同的零点转化为函数y=f(x)与y=2−m有四个不同的交点A,B,C,D，作出图象，求得m∈(1,2)，利用对称性得x1+x2=−1，根据函数|log2【解答过程】由函数g(x)=f(x)+m−2有四个不同的零点x1,x2,x3设这四个交点的横坐标从小到大依次为x1,x2,因点A,B关于直线x=−12对称，故由0<yC=则有12<x3<1于是，x1因函数y=x+1x在(1则x1+x故选：A.【变式4-3】（24-25高一上·陕西西安·期末）定义在[−1,6]上的f(x)=|log2(x−2)|,2<x≤6(x−1)2,−1≤x≤2，f(x)满足对关于xA．(0,1) B．[0,1] C．(1,2) D．1,2【答案】A【解题思路】作出函数f(x)的图象，再变形给定方程得f(x)=1或f(x)=a，数形结合求出范围.【解答过程】作出函数y=f(x)的图象，如图，方程[f(x)]2−(a+1)f(x)+a=0⇔[f(x)−1][f(x)−a]=0，解得f(x)=1或关于x的方程[f(x)]2而直线y=1与函数y=f(x)的图象有4个交点，即方程f(x)=1有4个不同的实根，因此直线y=a与函数y=f(x)的图象有4个交点，由图象得0<a<1，所以实数a的取值范围是(0,1).故选：A.知识点2二分法1．二分法(1)二分法的定义：

对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.(2)区间的中点：一般地，我们把x=称为区间(a,b)的中点.

(3)用二分法求方程的近似解：

用二分法求方程的近似解：先找一个包含根的区间，然后多次将包含根的区间一分为二，直至根落在要求的区间内，即用区间中点将区间(a,b)一分为二，从而得到两个区间(a,)和(,b)，其中一个区间一定包含根，如若f(a)<0，f()>0，我们便知区间(a,)包含根，如图，不断重复上述步骤，根最终落在要求的区间内.(4)用二分法求函数零点的近似值的步骤

给定精确度ϵ，用二分法求函数y=f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下：

1.确定零点x0的初始区间[a,b]，验证f(a)f(b)<0.

2.求区间(a,b)的中点c.

3.计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：

①若f(c)=0(此时x0=c)，则c就是函数的零点；

②若f(a)f(c)<0(此时x0∈(a,c))，则令b=c；

③若f(c)f(b)<0(此时x0∈(c,b))，则令a=c.

4.判断是否达到精确度ϵ：若|a-b|<ϵ，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤2~4.【题型5用二分法确定函数零点（方程根）所在的区间】【例5】（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知函数fx=x3−2x−1，现用二分法求函数fA．32,2 B．1,32 C．【答案】A【解题思路】应用零点存在定理结合二分法，不断把区间一分为二计算求解.【解答过程】由二分法可知，第一次计算f2=3>0，又f1由零点存在性定理知零点在区间1,2上，所以第二次应该计算f32=−所以零点在区间32故选：A．【变式5-1】（24-25高一下·江苏南京·期中）在用二分法求方程lnx+2x−4=0在1,2上的近似解时，先构造函数fx=lnx+2x−4，再依次计算得f1<0，f2>0A．1,1.5 B．1.5,1.625 C．1.625,1.75 D．1.75,2【答案】C【解题思路】利用二分法即可判断.【解答过程】由题意，f1<0，f2>0，f1.5则由二分法可得近似解所在的区间为1.625,1.75.故选：C.【变式5-2】（24-25高一上·江西吉安·期末）已知函数fx=log3x+1A．−1,0 B．0,1 C．1,2 D．2,3【答案】B【解题思路】根据二分法的定义和计算方法求解即可.【解答过程】由函数的解析式可得函数fx的定义域为−1,+∞，且函数因为f0f1f2=1−1结合函数零点存在定理可知函数的零点位于的区间为0,1，故选：B.【变式5-3】（24-25高一上·北京·期末）设f(x)=3x+3x−8，用二分法求方程3x+3x−8=0的近似解的过程中，有f(1)<0，f(1.25)<0，A．(1,1.25) B．(1.25,1.5) C．(1.5,2) D．不能确定【答案】B【解题思路】先判断函数的单调性，根据已知条件结合零点存在定理即可判断.【解答过程】因为f(x)=3由已知f(1.25)<0，f(1.5)>0，所以f1.25根据零点存在定理定理可知，方程的根所在区间为(1.25,1.5)，故选：B.【题型6用二分法求方程的近似解】【例6】（25-26高一上·全国·单元测试）用二分法求方程的近似解时，求得fx=x121.51.751.8751.8125f−63−2.625−0.141.3420.5793则当精确度为0.1时，方程x3+2x−9=0的近似解可取（A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9【答案】C【解题思路】由二分法，结合表格可知函数f(x)的零点在区间(1.75,1.8125)内，然后根据选项判断即可.【解答过程】由表格可得，函数f(x)=x3+2x−9且1.8125−1.75=0.0625<0.1，结合选项可知，方程x3故选：C.【变式6-1】（24-25高一上·全国·随堂练习）若函数fxffffff那么方程x3+xA．1.25 B．1.40625 C．1.4375 D．1.421875【答案】D【解题思路】利用零点存在性定理找到零点所在区间，即可获得方程的近似解【解答过程】∵f(1.40625)=−0.054<0<f(1.4375)=0.162>0，∴f(1.40625)⋅f(1.4375)<0，零点在区间(1.40625,1.4375)内，即该方程的根在区间(1.40625,1.4375)内，结合各选项，方程的近似解为1.421875.故选：D.【变式6-2】（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知函数fx在区间2,3内单调且f2⋅fA．4 B．7 C．10 D．13【答案】C【解题思路】根据二分法结合零点的近似值求解.【解答过程】由所给区间2,3的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n次操作后，区间长度变为12则12n≤0.001故选：C.【变式6-3】（24-25高一上·湖南·阶段练习）已知函数fx=x3x751.3125f−10.875−0.29690.2246−0.05151那么方程x3−x−1=0的一个近似根（精确度为0.1）为（A．1 B．1.5 C．1.25 D．1.3125【答案】D【解题思路】由零点存在性定理和1.375−1.3125=0.0625<0.1，得到方程的一个近似根为1.3125.【解答过程】由于fxf1.375=0.2246>0，且1.375−1.3125=0.0625<0.1，而1.5−1=0.5>0.1,1.5−1.25=0.25>0.1,1.375−1.25=0.125>0.1，均不合要求，故方程x3故选：D.【题型7用二分法求函数的近似值】【例7】（24-25高一上·天津·阶段练习）已知函数fx=x−x10.50.750.6250.5625f0.6321−0.10650.277600897−0.0007那么函数fx的一个零点的近似值（精确度为0.1）为（

A．0.55 B．0.57 C．0.65 D．0.7【答案】B【解题思路】根据函数单调性结合零点存在性定理分析零点所在区间，再根据二分法可得结果.【解答过程】根据题干所给数据可知，f0.625>0，f0.5625<0，且函数由零点存在定理可知，函数fx的唯一零点在区间0.5625,0.625区间长度为0.625−0.5625=0.0625<0.1，结合选项可知，其近似值为0.57.故选：B.【变式7-1】（24-25高一上·全国·课后作业）借助信息技术，用二分法求函数fxx1.001.251.501.625f0.69310.43250.0879-0.1193则由表中的数据，可得函数fx=lnA．1.5625 B．1.25 C．1.4375 D．1.46875【答案】A【解题思路】利用零点存在性定了即可判断.【解答过程】因为f1.50⋅f1.625<0，故区间长度为0.125>0.1，因此需要取区间1.50，两个区间1.50,1.5625和1.5625,1.625中必有一个满足区间端点的函数值符号相异，此时区间长度0.0625<0.1，因此1.5625是一个近似解．故选：A.【变式7-2】（24-25高一上·湖南·期末）用二分法求函数fx=ex−x−2的一个正零点的近似值（精确度为0.1)A．已经达到精确度的要求，可以取1.1作为近似值B．已经达到精确度的要求，可以取1.125作为近似值C．没有达到精确度的要求，应该接着计算fD．没有达到精确度的要求，应该接着计算f【答案】C【解题思路】由二分法的定义直接求解即可.【解答过程】由二分法的定义，可得正零点所在区间不断缩小，1,1.5→1,1.25→故没有达到精确的要求，应该接着计算f1.125+1.25故选：C.【变式7-3】（24-25高一上·全国·课前预习）用二分法求函数fxx0.06250.093750.1250.156250.1875f-0.4567-0.18090.09780.37970.6647根据上述数据，可得fx=5A．0.09375 B．0.109375 C．0.125 D．0.078125【答案】B【解题思路】根据二分法的性质即可求解.【解答过程】已知f0.09375<0，f0.125所以零点在区间[0.09375,0.125]上，|0.125−0.09375|=0.03125<0.025×2，所以0.125+0.093752=0.109375可以作为故选：B.知识点3函数模型的应用我们知道，函数是描述客观世界变化规律的数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来刻画.面临一个实际问题，该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢?1．指数函数、对数函数模型(1)指数型函数模型：f(x)=bax+c(a,b,c为常数，b≠0，a>0且a≠1).

(2)对数型函数模型：f(x)=blogax+c(a,b,c为常数，b≠0，a>0且a≠1).2．实际问题中函数建模的基本步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系，初步选择模型.

(2)建模：将自然语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型.

(3)求解：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特征正确求得函数模型的解.

(4)还原：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科背景又要符合实际背景，因此解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，最后得出结论，作出回答.3．拟合函数模型的建立(1)函数拟合：根据收集的数据或给出的数据画出散点图，然后选择函数模型并求出函数解析式，再进行拟合、比较，从而选出最恰当的函数模型的过程，称为函数拟合(或数据拟合).(2)函数拟合与预测的一般步骤①绘图：通过原始数据、表格，绘出散点图；②连线：通过观察散点图，画出拟合直线或拟合曲线；③列式：求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式；④判定：根据拟合误差要求判断，选择最佳的拟合函数；⑤预测：利用选取的拟合函数进行预测；⑥结论：利用函数关系式，根据条件所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据.【题型8指数函数模型】【例8】（25-26高三上·重庆·开学考试）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y=192ekx，其中k为常数.若该食品在20℃的保鲜时间为48小时，则在30℃的保鲜时间是（A．20小时 B．24小时 C．28小时 D．32小时【答案】B【解题思路】根据题意得到方程，求出e10k=12，当【解答过程】由题意得192e20k=48，即e20k=当x=30时，y=192e故选：B.【变式8-1】（25-26高一上·全国·单元测试）血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数．人体的血氧饱和度正常范围是95%~100%，当血氧饱和度低于90%时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：St=S0eKt描述血氧饱和度St随给氧时间t（单位：时）的变化规律，其中S0为初始血氧饱和度，（精确到0.1，参考数据：ln2≈0.69,A．0.5小时 B．0.6小时 C．0.7小时 D．0.9小时【答案】A【解题思路】依据题给条件列出关于时间的方程，解之即可求得给氧时间至少还需要的小时数.【解答过程】设使得血氧饱和度达到90%，给氧时间至少还需要（t由题意可得60%即6e两边同时取自然对数并整理，得K=lnKt=ln则t=ln则给氧时间至少还需要0.5小时．故选：A.【变式8-2】（24-25高一下·广西柳州·期中）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气中的污染物含量P（单位：mgL）与时间t（单位：h）间的关系为P=P0e−kt，其中P0，A．70% B．85% C．81% D．72.9%【答案】D【解题思路】根据所给函数模型，利用指数幂的运算性质计算可求解.【解答过程】当t=0时，P=P当t=5时，P0⋅e当t=15时，P0故选：D.【变式8-3】（2025·四川攀枝花·模拟预测）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1℃，空气的温度是θ0℃，那么tmin后物体的温度θ（单位：℃）可由公式θ=θ0+θ1−θ012A．2.9min B．3.4minC．3.9min D．4.4min【答案】D【解题思路】根据给定的函数模型，列式并借助对数运算求解即得.【解答过程】依题意，由100℃的物体，放在10℃的空气中冷却，1min后物体的温度是70℃得70=10+(100−10)(12该物体70℃的温度降至20℃需要冷却的时间为t，则20=10+(70−10)[于是(23)所以该物体的温度降至20℃还需要冷却的时间约为4.4min故选：D.【题型9对数函数模型】【例9】（2025·广东广州·二模）声强级LI（单位：dB）由公式LI=10lgI10−12给出，其中IA．0∼20dB B．C．40∼60dB D．【答案】C【解题思路】依题意可得10−8≤I≤10【解答过程】依题意可得10−8≤I≤10−6，所以所以40≤10lgI10故选：C.【变式9-1】（24-25高一上·广东阳江·期末）大部分大西洋蛙鱼每年都要逆流而上游回出生地产卵.研究蛙鱼的科学家发现蛙鱼的游速v(单位：m/s)可以表示为v=12log3A．3倍 B．9倍 C．18倍 D．27倍【答案】B【解题思路】设原来的游速为v0，则提速后的游速为v0+1，原来的耗氧量的单位数为O【解答过程】设原来的游速为v0，则提速后的游速为v原来的耗氧量的单位数为O1，后来的耗氧量的单位数为O则v0所以log3log3O2所以若蛙鱼的游速每增加1m/s故选：B.【变式9-2】（24-25高一上·云南德宏·期末）北京时间2024年10月30日4时27分，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号F遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，约10分钟后，神舟十九号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，发射取得圆满成功.据测算，在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v（单位：kms）和燃料的质量M（单位：kg），火箭（除燃料外）的质量m（单位：kg）的函数关系是v=2ln1+Mm.据悉，此次发射火箭全长58.34m，起飞质量479.8t（火箭起飞质量=燃料质量M+（参考数据：e5A．3.2t B．147.4t C．476.6t【答案】C【解题思路】根据题意得10=2ln1+M【解答过程】由题意知10=2ln1+M即Mm+1=e5，计算得解得M≈147.4×479.8148.4≈476.6故选：C．【变式9-3】（24-25高一上·四川凉山·期末）凉山州地处川西南横断山系东北缘，地质构造复杂，时常发生有一定危害程度的地震，尽管目前我们还无法准确预报地震，但科学家通过多年研究，已经对地震有了越来越清晰的认识与了解．例如：地震时释放出的能量E（单位：J）与地震里氏震级M之间的关系为M=23lgE−165，2022年11月16日，我州会理市发生里氏4.3级地震，它所释放出来的能量是A．10−1.8倍 B．0.56倍 C．10−1.2倍【答案】A【解题思路】设里氏4.3级、5.5级地震所释放的能量分别为E1、E2，利用对数的运算性质结合指数与对数的互化可求得【解答过程】设里氏4.3级、5.5级地震所释放的能量分别为E1、E2，则上述两个等式作差可得23lgE1E故选：A.【题型10\t"/gzsx/zsd28256/_blank"\o"建立拟合函数模型解决实际问题"建立拟合函数模型解决实际问题】【例10】（24-25高一上·广东佛山·期末）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和茶水的温度有关．经验表明，某种绿茶，用一定温度的水泡制，再等到茶水温度降至某一温度时，可以产生最佳口感．某研究员在泡制茶水的过程中，每隔1min测量一次茶水温度，收集到以下数据：时间/min012345水温/℃857973.668.7464.3460.24设茶水温度从85°C开始，经过tmin后温度为y℃，为了刻画茶水温度随时间变化的规律．现有以下两种函数模型供选择：①y=kat(1)选出你认为最符合实际的函数模型，说明理由，并参考表格中前3组数据，求出函数模型的解析式；(2)若茶水温度降至55°C时饮用，可以产生最佳口感，根据（1）中的函数模型，刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？（参考数据：lg2≈0.30,【答案】(1)因为随着时间的变化（变大），茶的温度越来越低，且不再升高，所以选择模型①y=kat(2)7.5 min【解题思路】（1）根据表中数据变化情况可知选用模型①符合，代入前三组数据，用待定系数法求得k、a、b的值，即可得解析式；（2）根据（1）的解析式，将y=55代入解析式求t的值即可.【解答过程】（1）由表中数据知，随着时间的变化（变大），茶的温度越来越低，但温度最多低至室内温度后，不再下降，也不再升高，因此选用模型①，代入前三组数据k+b=85ka+b=79ka2+b=73.6（2）由（1）知55=60×0.9t+25，即0.9t=log所以刚泡好的茶水大约需要放置7.5分钟才能达到最佳饮用口感.【变式10-1】（24-25高一上·江西·期末）近几年，直播平台逐渐被越来越多的人们关注和喜爱．某平台从2021年初建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐年增加．已知从2021到2024年，该平台会员每年年．末的人数如下表所示：（注：第4年数据为截止至2024年10月底的数据）建立平台第x年1234会员人数y（千人）16285286(1)请根据表格中的数据，从下列三个模型中选择一个恰当的模型估算建立该平台xx∈N∗①y=bx+c(b>0)，②y=dlogrx+e(r>0且(2)为了更好的维护管理平台，该平台规定会员人数不能超过k⋅4x(k>0)【答案】(1)选择模型③，y=6⋅2(2)4．【解题思路】（1）根据表格中的数据可选择模型③，将表格中的数据代入函数模型解析式，求出三个参数的值，即可得出函数模型解析式，再将x=4代入函数模型解析式，即可得解；（2）由已知可得出6⋅2x+4≤k⋅4x，令μ=12【解答过程】（1）由表格中的数据可知，函数是一个增函数，且函数增长得越来越快，故选择模型③较为合适，由表格中的数据可得ta+s=16ta所以，函数模型的解析式为y=6⋅2令x=4,y=6⋅2（2）由题意可得6⋅2令μ=12x令fμ=4μ2+6μ又μ关于x在定义域上单调递减，根据复合函数的单调性，fμ即k≥4．所以k的最小值为4．【变式10-2】（24-25高一上