专题4.5 函数的应用（二）（举一反三讲义）高一数学人教A版必修第一册（原卷版）

2/30专题4.5函数的应用（二）（举一反三讲义）【人教A版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1求函数的零点】 2【题型2零点存在性定理的应用】 2【题型3求函数零点或方程根的个数】 3【题型4根据函数零点（方程根）的个数求参数范围】 3【题型5用二分法确定函数零点（方程根）所在的区间】 4【题型6用二分法求方程的近似解】 5【题型7用二分法求函数的近似值】 6【题型8指数函数模型】 7【题型9对数函数模型】 8【题型10建立拟合函数模型解决实际问题】 9知识点1函数的零点1．函数的零点(1)函数零点的概念：对于一般函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.即函数的零点就是使函数值为零的自变量的值.(2)函数的零点与方程的解的关系函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数解，也就是函数y=f(x)的图象与x轴的公共点的横坐标.所以方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)有零点⇔函数y=f(x)的图象与x轴有公共点.(3)几种常见函数的零点①二次函数的零点

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根也称为函数y=ax2+bx+c(a≠0)的零点.②正比例函数y=kx(k≠0)仅有一个零点0.

③一次函数y=kx+b(k≠0)仅有一个零点.

④反比例函数y=(k≠0)没有零点.

⑤指数函数y=ax(a>0,且a≠1)没有零点.

⑥对数函数y=(a>0,且a≠1)仅有一个零点1.

⑦幂函数y=xa，当a>0时，仅有一个零点0；当a≤0时，没有零点.2．函数零点存在定理(1)函数零点存在定理：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的解.(2)函数零点存在定理的几何意义：在闭区间[a,b]上有连续不断的曲线y=f(x)，且曲线的起始点(a,f(a))与终点(b,f(b))分别在x轴的两侧，则连续曲线与x轴至少有一个交点.3．确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在性定理：首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.(2)数形结合法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f(x)=g(x)-h(x)，作出y=g(x)和y=h(x)的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点.【题型1求函数的零点】【例1】（25-26高一上·江苏·阶段练习）函数y=−x2−2x+3的零点为（

A．1 B．－3 C．1和－3 D．1,0和−3,0【变式1-1】（25-26高一上·全国·课前预习）函数fx=lnA．e B．−eC．e,0或−e,0 【变式1-2】（24-25高一上·湖南衡阳·阶段练习）已知函数f(x)=2x−1,x≤11+logA．12，0 B．(12,0)，(0,0) C．【变式1-3】（24-25高一上·广东·期末）若函数fx=ax+ba≠0有一个零点是1，则函数gx=ax3A．0, 2 B．−1, 3 C．【题型2零点存在性定理的应用】【例2】（24-25高一上·陕西西安·期末）函数f(x)=2x+2x−12A．(−1,0) B．(0,1) C．(1,2) D．(2,3)【变式2-1】（24-25高一上·浙江宁波·期末）已知函数fx=x3+3x−5A．−1,0 B．0,1C．1,2 D．2,3【变式2-2】（24-25高一上·天津·期末）函数fx=xlnA．0,1 B．1,2 C．2,3 D．3,+∞【变式2-3】（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）函数fx=lnx−1A．2,3 B．3,4 C．4,5 D．5,6【题型3求函数零点或方程根的个数】【例3】（24-25高一上·江苏无锡·期末）函数fx=2A．0 B．1 C．2 D．3【变式3-1】（25-26高一上·全国·单元测试）函数fx=xA．0 B．1 C．2 D．3【变式3-2】（24-25高一上·云南昆明·期末）函数fx=logA．0 B．1 C．2 D．3【变式3-3】（24-25高三上·河北张家口·阶段练习）已知函数fx=lg−x+1,x<0A．6 B．5 C．4 D．3【题型4根据函数零点（方程根）的个数求参数范围】【例4】（25-26高三上·安徽·阶段练习）函数fx=fx−1,2<x≤52x−1A．−1,0 B．−1,0 C．0,1 D．0,1【变式4-1】（24-25高一上·广东清远·期末）已知函数fx=ex−1+1,x≤1lnx−1,x>1，若关于A．0,1∪2,+∞C．0,1∪2,+∞【变式4-2】（24-25高一上·北京密云·期末）已知函数f(x)=|log2x|,x>0,−4x2−4x,x≤0,函数g(x)=f(x)+m−2．若A．(1,32) B．(1,2) C．(【变式4-3】（24-25高一上·陕西西安·期末）定义在[−1,6]上的f(x)=|log2(x−2)|,2<x≤6(x−1)2,−1≤x≤2，f(x)满足对关于xA．(0,1) B．[0,1] C．(1,2) D．1,2知识点2二分法1．二分法(1)二分法的定义：

对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.(2)区间的中点：一般地，我们把x=称为区间(a,b)的中点.

(3)用二分法求方程的近似解：

用二分法求方程的近似解：先找一个包含根的区间，然后多次将包含根的区间一分为二，直至根落在要求的区间内，即用区间中点将区间(a,b)一分为二，从而得到两个区间(a,)和(,b)，其中一个区间一定包含根，如若f(a)<0，f()>0，我们便知区间(a,)包含根，如图，不断重复上述步骤，根最终落在要求的区间内.(4)用二分法求函数零点的近似值的步骤

给定精确度ϵ，用二分法求函数y=f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下：

1.确定零点x0的初始区间[a,b]，验证f(a)f(b)<0.

2.求区间(a,b)的中点c.

3.计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：

①若f(c)=0(此时x0=c)，则c就是函数的零点；

②若f(a)f(c)<0(此时x0∈(a,c))，则令b=c；

③若f(c)f(b)<0(此时x0∈(c,b))，则令a=c.

4.判断是否达到精确度ϵ：若|a-b|<ϵ，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤2~4.【题型5用二分法确定函数零点（方程根）所在的区间】【例5】（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知函数fx=x3−2x−1，现用二分法求函数fA．32,2 B．1,32 C．【变式5-1】（24-25高一下·江苏南京·期中）在用二分法求方程lnx+2x−4=0在1,2上的近似解时，先构造函数fx=lnx+2x−4，再依次计算得f1<0，f2>0A．1,1.5 B．1.5,1.625 C．1.625,1.75 D．1.75,2【变式5-2】（24-25高一上·江西吉安·期末）已知函数fx=log3x+1A．−1,0 B．0,1 C．1,2 D．2,3【变式5-3】（24-25高一上·北京·期末）设f(x)=3x+3x−8，用二分法求方程3x+3x−8=0的近似解的过程中，有f(1)<0，f(1.25)<0，A．(1,1.25) B．(1.25,1.5) C．(1.5,2) D．不能确定【题型6用二分法求方程的近似解】【例6】（25-26高一上·全国·单元测试）用二分法求方程的近似解时，求得fx=x121.51.751.8751.8125f−63−2.625−0.141.3420.5793则当精确度为0.1时，方程x3+2x−9=0的近似解可取（A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9【变式6-1】（24-25高一上·全国·随堂练习）若函数fxffffff那么方程x3+xA．1.25 B．1.40625 C．1.4375 D．1.421875【变式6-2】（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知函数fx在区间2,3内单调且f2⋅fA．4 B．7 C．10 D．13【变式6-3】（24-25高一上·湖南·阶段练习）已知函数fx=x3x751.3125f−10.875−0.29690.2246−0.05151那么方程x3−x−1=0的一个近似根（精确度为0.1）为（A．1 B．1.5 C．1.25 D．1.3125【题型7用二分法求函数的近似值】【例7】（24-25高一上·天津·阶段练习）已知函数fx=x−x10.50.750.6250.5625f0.6321−0.10650.277600897−0.0007那么函数fx的一个零点的近似值（精确度为0.1）为（

A．0.55 B．0.57 C．0.65 D．0.7【变式7-1】（24-25高一上·全国·课后作业）借助信息技术，用二分法求函数fxx1.001.251.501.625f0.69310.43250.0879-0.1193则由表中的数据，可得函数fx=lnA．1.5625 B．1.25 C．1.4375 D．1.46875【变式7-2】（24-25高一上·湖南·期末）用二分法求函数fx=ex−x−2的一个正零点的近似值（精确度为0.1)A．已经达到精确度的要求，可以取1.1作为近似值B．已经达到精确度的要求，可以取1.125作为近似值C．没有达到精确度的要求，应该接着计算fD．没有达到精确度的要求，应该接着计算f【变式7-3】（24-25高一上·全国·课前预习）用二分法求函数fxx0.06250.093750.1250.156250.1875f-0.4567-0.18090.09780.37970.6647根据上述数据，可得fx=5A．0.09375 B．0.109375 C．0.125 D．0.078125知识点3函数模型的应用我们知道，函数是描述客观世界变化规律的数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来刻画.面临一个实际问题，该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢?1．指数函数、对数函数模型(1)指数型函数模型：f(x)=bax+c(a,b,c为常数，b≠0，a>0且a≠1).

(2)对数型函数模型：f(x)=blogax+c(a,b,c为常数，b≠0，a>0且a≠1).2．实际问题中函数建模的基本步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系，初步选择模型.

(2)建模：将自然语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型.

(3)求解：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特征正确求得函数模型的解.

(4)还原：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科背景又要符合实际背景，因此解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，最后得出结论，作出回答.3．拟合函数模型的建立(1)函数拟合：根据收集的数据或给出的数据画出散点图，然后选择函数模型并求出函数解析式，再进行拟合、比较，从而选出最恰当的函数模型的过程，称为函数拟合(或数据拟合).(2)函数拟合与预测的一般步骤①绘图：通过原始数据、表格，绘出散点图；②连线：通过观察散点图，画出拟合直线或拟合曲线；③列式：求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式；④判定：根据拟合误差要求判断，选择最佳的拟合函数；⑤预测：利用选取的拟合函数进行预测；⑥结论：利用函数关系式，根据条件所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据.【题型8指数函数模型】【例8】（25-26高三上·重庆·开学考试）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y=192ekx，其中k为常数.若该食品在20℃的保鲜时间为48小时，则在30℃的保鲜时间是（A．20小时 B．24小时 C．28小时 D．32小时【变式8-1】（25-26高一上·全国·单元测试）血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数．人体的血氧饱和度正常范围是95%~100%，当血氧饱和度低于90%时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：St=S0eKt描述血氧饱和度St随给氧时间t（单位：时）的变化规律，其中S0为初始血氧饱和度，（精确到0.1，参考数据：ln2≈0.69,A．0.5小时 B．0.6小时 C．0.7小时 D．0.9小时【变式8-2】（24-25高一下·广西柳州·期中）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气中的污染物含量P（单位：mgL）与时间t（单位：h）间的关系为P=P0e−kt，其中P0，A．70% B．85% C．81% D．72.9%【变式8-3】（2025·四川攀枝花·模拟预测）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1℃，空气的温度是θ0℃，那么tmin后物体的温度θ（单位：℃）可由公式θ=θ0+θ1−θ012A．2.9min B．3.4minC．3.9min D．4.4min【题型9对数函数模型】【例9】（2025·广东广州·二模）声强级LI（单位：dB）由公式LI=10lgI10−12给出，其中IA．0∼20dB B．C．40∼60dB D．【变式9-1】（24-25高一上·广东阳江·期末）大部分大西洋蛙鱼每年都要逆流而上游回出生地产卵.研究蛙鱼的科学家发现蛙鱼的游速v(单位：m/s)可以表示为v=12log3A．3倍 B．9倍 C．18倍 D．27倍【变式9-2】（24-25高一上·云南德宏·期末）北京时间2024年10月30日4时27分，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号F遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，约10分钟后，神舟十九号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，发射取得圆满成功.据测算，在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v（单位：kms）和燃料的质量M（单位：kg），火箭（除燃料外）的质量m（单位：kg）的函数关系是v=2ln1+Mm.据悉，此次发射火箭全长58.34m，起飞质量479.8t（火箭起飞质量=燃料质量M+（参考数据：e5A．3.2t B．147.4t C．476.6t【变式9-3】（24-25高一上·四川凉山·期末）凉山州地处川西南横断山系东北缘，地质构造复杂，时常发生有一定危害程度的地震，尽管目前我们还无法准确预报地震，但科学家通过多年研究，已经对地震有了越来越清晰的认识与了解．例如：地震时释放出的能量E（单位：J）与地震里氏震级M之间的关系为M=23lgE−165，2022年11月16日，我州会理市发生里氏4.3级地震，它所释放出来的能量是A．10−1.8倍 B．0.56倍 C．10−1.2倍【题型10\t"/gzsx/zsd28256/_blank"\o"建立拟合函数模型解决实际问题"建立拟合函数模型解决实际问题】【例10】（24-25高一上·广东佛山·期末）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和茶水的温度有关．经验表明，某种绿茶，用一定温度的水泡制，再等到茶水温度降至某一温度时，可以产生最佳口感．某研究员在泡制茶水的过程中，每隔1min测量一次茶水温度，收集到以下数据：时间/min012345水温/℃857973.668.7464.3460.24设茶水温度从85°C开始，经过tmin后温度为y℃，为了刻画茶水温度随时间变化的规律．现有以下两种函数模型供选择：①y=kat(1)选出你认为最符合实际的函数模型，说明理由，并参考表格中前3组数据，求出函数模型的解析式；(2)若茶水温度降至55°C时饮用，可以产生最佳口感，根据（1）中的函数模型，刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？（参考数据：lg2≈0.30,【变式10-1】（24-25高一上·江西·期末）近几年，直播平台逐渐被越来越多的人们关注和喜爱．某平台从2021年初建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐年增加．已知从2021到2024年，该平台会员每年年．末的人数如下表所示：（注：第4年数据为截止至2024年10月底的数据）建立平台第x年1234会员人数y（千人